专题08 圆锥曲线的焦点三角形问题-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题08 圆锥曲线的焦点三角形问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、焦点三角形的周长 3 类型二、焦点三角形的面积 5 类型三、焦点三角形的内角 7 类型四、焦点三角形的内切圆 10 类型五、焦点三角形的中位线 13 类型六、焦点三角形的角平分线 15 类型七、焦点三角形关系求离心率 18 类型八、焦点三角形中的存在性问题 20 压轴能力测评（10题） 23 一、椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，， 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 2、常用性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 性质3：当为短轴的端点时，最大 推导：由性质2得， . ∵，当且仅当时，即点是短轴端点时取等号， ∴. 又∵在上单调递减，∴当为短轴的端点时，最大。 性质4： 当，即为短轴的端点时，的面积最大，最大值为 推导：由性质3的推导过程得,∴， ∴ 二、双曲线的焦点三角形 1、如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积. 2、焦半径公式：如图，对于双曲线，，对双曲线，其焦半径的范围为. 3、双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a. 4、如图，过焦点的弦的长为，则的周长为. 类型一、焦点三角形的周长 例．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）已知分别为椭圆的左，右焦点，A为椭圆的上顶点，且为等边三角形；过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为 ． 【答案】16 【解析】由，得 因为为等边三角形，， 且过且垂直于的直线与椭圆交于两点， 所以DE为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为. 【变式训练1】（24-25高二上·江苏连云港·月考）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【解析】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为．故选：C. 【变式训练2】（23-24高二上·云南曲靖·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（    ） A．5 B．16 C．21 D．26 【答案】D 【解析】由题意可知：，即， 所以的周长.故选：D. 【变式训练3】（23-24高二上·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 【答案】 【解析】由题意， 在双曲线中，， ∴，， 由余弦定理的推论可得， 所以， 所以，， 所以，所以， 所以的周长为． 故答案为：. 类型二、焦点三角形的面积 例．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意可得：， 则， 设， 由题意可得：，解得， 代入方程可得，则， 又因为， 则.故选：A. 【变式训练1】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ． 【答案】/ 【解析】由椭圆，知，∴， ∴点关于直线的对称点， 由题意得：，∴， ∵，， ，∴， ∴在中， ， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 【变式训练2】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ． 【答案】 【解析】设，则根据题意可知，， 所以，，又易知， 在中，由勾股定理可得：，解得， 又，所以， 所以的面积为． 故答案为： 【变式训练3】（23-24高二下·福建厦门·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为 . 【答案】6 【解析】由，得，则， 因为为右支上一点，所以， 因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以的面积为. 故答案为：6 类型三、焦点三角形的内角 例．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以．设，则． 在中，． 在中，， 所以，整理得，． 于是．故选：D． 【变式训练1】（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 . 【答案】 【解析】如图，记，， 因为，则，， 由椭圆的定义可得， 所以，则， 又且，有或， 解得或，又点在第一象限，所以， 得，则. 【变式训练2】（24-25高二上·辽宁·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为右支上的一点，点是线段上靠近点的三等分点，线段交轴于点，且、、三点共线，的周长为，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意可知，点为的重心， 又因为、、三点共线，所以，为线段的中点， 所以，，即，且， 由双曲线的定义可得，所以，，所以①， 将代入双曲线的方程可得，可得， 不妨设点在第一象限，则，② 结合①②可得，，， 在中，. 【变式训练3】（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知、是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，是坐标原点.若，则 . 【答案】 【解析】不妨设点为双曲线的右支上一点（不是顶点），延长、交于点， 因为且，所以，， 易知为的中点， 又因为为的中点，所以，， 又因为，，则， 即，解得. 故答案为：. 类型四、焦点三角形的内切圆 例．（23-24高二上·广东汕头·期末）（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为，则（    ） A． B． C． D．、、三点共线 【答案】BC 【解析】如图所示，设切点为，内切圆半径为， 对于A，由椭圆方程得， 则， 所以，， 所以，故A错误； 由题意得， 又因为，解得，B正确； 从而， 所以，所以，而， 所以，，C正确； 由题知，若、、三点共线，则为的中线， 又因此时为的角平分线，所以只能是时，上述成立， 而在上且在第一象限，所以、、三点不可能共线，D错误. 故选：BC 【变式训练1】（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得.故选：B 【变式训练2】（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ． 【答案】a 【解析】由题知， 设内切圆与x轴的切点为，与内切圆的切点分别为， 由双曲线定义有，得， 由圆的切线长定理知，，即 ， 即， 设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x， 所以， 故答案为： 【变式训练3】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，分别是和的内切圆半径，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，得，则， 设圆与分别切于点，连接， 由圆的切线的性质可得， 由双曲线的定义可知，即， 设，则，得，所以， 因为轴，所以的横坐标也为， 同理可证得的横坐标也为， 所以轴，且三点共线， 由三角形内切圆的性质可知分别为的角平分线， 所以， 所以∽，所以， 因为，所以，得， 因为双曲线的渐近线为，所以其倾斜角分别为和， 因为直线交双曲线右支于两点，所以直线的倾斜角的范围为， 设直线的倾斜角为，则，所以， 所以，所以， 因为，所以， 令， 由对勾函数的性质可知在上递减，在上递增， 因为，，， 所以，所以， 即的取值范围是为. 故答案为： 类型五、焦点三角形的中位线 例．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若的中点恰好在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的中点为，恰好在轴上，又点为的中点， 则，又 所以，则 直线的斜率为.故选：B. 【变式训练1】（24-25高二上·重庆·开学考试）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为中点，若的周长为6，则椭圆C的焦距为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】B 【解析】是的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即，， 又，所以，．故选：B． 【变式训练2】（24-25高三上·广西·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 因为为右支上一点，所以. 因为为坐标原点，为线段的中点，所以，， 则.故选：C 【变式训练3】（24-25高二上·湖南长沙·月考）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线，可得， 则且， 设是双曲线的右焦点，连接， 因为分别为的中点，， 在直角中，可得， 又由双曲线的定义，可得， 所以.故选：A. 类型六、焦点三角形的角平分线 例．（24-25高二上·福建三明·月考）如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则 ． 【答案】2 【解析】由题意，延长交于，连接，如下图： 因为为的角平分线且，所以， 则，即， 在中，易知分别为的中点，即为中位线， 所以. 故答案为：. 【变式训练1】（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上任意一点（长轴端点除外），的角平分线交椭圆长轴于点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由椭圆知：， 如图所示： 由角平分线定理得：， 即， 因为，所以，解得， 故的取值范围是， 故答案为： 【变式训练2】（24-25高三上·湖南永州·月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【解析】双曲线的实半轴长为， 延长交直线于点， 由题意有，， 又是中点， 所以，故选：B. 【变式训练3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆（）的离心率为，双曲线的离心率为，且它们有公共焦点，P是它们的一个公共点，若，则 . 【答案】 【解析】由椭圆离心率得，， 由双曲线离心率得，， 由椭圆和双曲线有共同焦点得，，即，故. 设点在第一象限，由椭圆和双曲线定义得， ， 所以， 由得，，故， 所以. 故答案为：. 类型七、焦点三角形关系求离心率 例．（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即，解得，即. 由可知， 在在中利用余弦定理可得， 同理可解得， 又因为，即， 所以．故选：A. 【变式训练1】（24-25高二上·山东·月考）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 根据题意可知，由椭圆定义可得， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得，即； 结合整理可得，即， 解得或（舍）.故选：C 【变式训练2】（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设， 因为为等边三角形，则，， 又， 所以双曲线的离心率.故选：A 【变式训练3】（24-25高二上·辽宁·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点.若为直角三角形，，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意可得，由双曲线定义可得， 故， 若,则，即，化简可得，则， 若,则，即， 化简可得，不符合题意舍去，故选：C 类型八、焦点三角形中的存在性问题 例．（23-24高二上·浙江·期中）已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，分别是椭圆：的左、右两个焦点， 则，当点位于短轴端点时，取最大值， 要使上存在点满足，则的最大值大于或等于， 即点位于短轴端点时，大于或等于， 则，解得．故选：A. 【变式训练1】（24-25高二上·江西上饶·月考）点，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆方程为， 设椭圆上顶点为，椭圆上存在点，使得， 则需，由余弦定理可得， ， 即，，，则， 同理可得椭圆焦点在轴上时，也应有， 所以选项A满足.故选：A. 【变式训练2】（23-24高三上·湖北·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，则在椭圆C上存在点P使得成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆上一点，设，且， 由椭圆的定义知， 在中，由余弦定理得 又由，当且仅当时，即点为椭圆的短轴的端点时， 取得最小值，此时取得最大值， 如图所示，要使得椭圆上存在点使得， 根据椭圆的对称性，可得， 在直角中，可得，即，解得 又因为，所以， 结合选项，可得使得成立的一个充分不必要条件是.故选：A. 【变式训练3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线的定义可知得 因为，， 设，则， ，， 为直角三角形 ， ，即， ，，故选：D 1．（23-24高二上·河北保定·期中）已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的内切圆半径的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的内切圆半径为r，椭圆方程为， 则，，，即， 又，所以， 由于， 所以.故选：D 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）设椭圆的焦点分别为与.若此椭圆上存在点使得为正三角形，则（    ） A． B． C．28 D．36 【答案】C 【解析】由已知可得椭圆的焦点位于轴上且， 所以点位于短轴的端点，且，解得. 又，所以， 所以，.故选：C. 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】连接交双曲线的渐近线于点，则（为原点）， 而分别为的中点，则，，且， 由双曲线的一条渐近线为，得，则， 所以的面积为.故选：D 4．（23-24高二上·陕西西安·月考）设椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个公共点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 设椭圆与双曲线在第一象限的交点， 由抛物线和双曲线的定义得，，， 所以，，， ， ，故选：B. 5．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为所以, 在中, 所以, 所以, 所以.故选：A. 6．（23-24高二上·山东枣庄·月考）已知椭圆：（）的离心率为，左右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为3，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆的离心率为，所以，得到， 又，，设，则， 又，得到， 所以， 易知，，又点到焦点的最大距离为3，所以，得到， 令，由椭圆定义知， 在中，由余弦定理得， 又，得到，当且仅当时取等号， 所以，故， 又易知，当在椭圆左、右顶点时取等号，所以， 故选：B. 7．（23-24高二上·江苏常州·期中）（多）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 【答案】BCD 【解析】由题意知，，，则，. 对于A选项，因为，解得，又， 则，，故A错误； 对于B选项，的周长为，故B正确； 对于C选项，设的内切圆的半径， 则， 又，，解得，故C正确； 对于D选项，在中， 由，解得， 又， 即， 整理得：，即， 即， 又，解得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理知： ，即，解得，故D正确.故选：BCD. 8．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，在椭圆上，且是直角，这样的点有 个. 【答案】 【解析】当是直角时，在以为直径的圆上，， 故圆的方程为，联立方程：， 解得和，两个点满足. 故答案为：. 9．（23-24高二上·江西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的延长线交椭圆C于点Q，且，的面积为，记与的面积分别为，，则 ． 【答案】 【解析】不妨设，，焦距，如图： 由的面积为，得， 由余弦定理，得， 则， 所以，即， 所以， 所以，易得，， 所以，所以，， 所以， 所以， 所以，， 所以． 故答案为： 10．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】如图所示，设内切圆圆心为，内切圆圆心， 且圆与各边分别相切于，，， 则，，， 又点在双曲线左支， 则， 则，且轴， 即点在直线上， 同理点在直线上， 即轴于点，且， 设，则， 则，， 即， 又，则， 化简可得，即， 解得或（舍）， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆锥曲线的焦点三角形问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、焦点三角形的周长 3 类型二、焦点三角形的面积 5 类型三、焦点三角形的内角 7 类型四、焦点三角形的内切圆 10 类型五、焦点三角形的中位线 13 类型六、焦点三角形的角平分线 15 类型七、焦点三角形关系求离心率 18 类型八、焦点三角形中的存在性问题 20 压轴能力测评（10题） 23 一、椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，， 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 2、常用性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 性质3：当为短轴的端点时，最大 推导：由性质2得， . ∵，当且仅当时，即点是短轴端点时取等号， ∴. 又∵在上单调递减，∴当为短轴的端点时，最大。 性质4： 当，即为短轴的端点时，的面积最大，最大值为 推导：由性质3的推导过程得,∴， ∴ 二、双曲线的焦点三角形 1、如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积. 2、焦半径公式：如图，对于双曲线，，对双曲线，其焦半径的范围为. 3、双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a. 4、如图，过焦点的弦的长为，则的周长为. 类型一、焦点三角形的周长 例．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）已知分别为椭圆的左，右焦点，A为椭圆的上顶点，且为等边三角形；过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为 ． 【变式训练1】（24-25高二上·江苏连云港·月考）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【变式训练2】（23-24高二上·云南曲靖·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（    ） A．5 B．16 C．21 D．26 【变式训练3】（23-24高二上·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 类型二、焦点三角形的面积 例．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式训练1】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ． 【变式训练2】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ． 【变式训练3】（23-24高二下·福建厦门·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为 . 类型三、焦点三角形的内角 例．（23-24高二下·安徽亳州·期末）设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24高二下·湖南湘西·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 . 【变式训练2】（24-25高二上·辽宁·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为右支上的一点，点是线段上靠近点的三等分点，线段交轴于点，且、、三点共线，的周长为，则的值为 . 【变式训练3】（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知、是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，是坐标原点.若，则 . 类型四、焦点三角形的内切圆 例．（23-24高二上·广东汕头·期末）（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为，则（    ） A． B． C． D．、、三点共线 【变式训练1】（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练2】（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ． 【变式训练3】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，分别是和的内切圆半径，则的取值范围是 . 类型五、焦点三角形的中位线 例．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若的中点恰好在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25高二上·重庆·开学考试）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为中点，若的周长为6，则椭圆C的焦距为（    ） A．2 B．4 C．6 D．12 【变式训练2】（24-25高三上·广西·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25高二上·湖南长沙·月考）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 类型六、焦点三角形的角平分线 例．（24-25高二上·福建三明·月考）如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则 ． 【变式训练1】（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上任意一点（长轴端点除外），的角平分线交椭圆长轴于点，则的取值范围是 . 【变式训练2】（24-25高三上·湖南永州·月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【变式训练3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆（）的离心率为，双曲线的离心率为，且它们有公共焦点，P是它们的一个公共点，若，则 . 类型七、焦点三角形关系求离心率 例．（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25高二上·山东·月考）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练3】（24-25高二上·辽宁·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点.若为直角三角形，，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 类型八、焦点三角形中的存在性问题 例．（23-24高二上·浙江·期中）已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25高二上·江西上饶·月考）点，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24高三上·湖北·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，则在椭圆C上存在点P使得成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 1．（23-24高二上·河北保定·期中）已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的内切圆半径的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）设椭圆的焦点分别为与.若此椭圆上存在点使得为正三角形，则（    ） A． B． C．28 D．36 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 4．（23-24高二上·陕西西安·月考）设椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个公共点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东枣庄·月考）已知椭圆：（）的离心率为，左右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为3，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏常州·期中）（多）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 8．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，在椭圆上，且是直角，这样的点有 个. 9．（23-24高二上·江西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的延长线交椭圆C于点Q，且，的面积为，记与的面积分别为，，则 ． 10．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$