洛必达法则课件-2025届高三数学一轮复习

洛 必 达 法 则 高中必会系列之 洛必达法则： 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (2)在点a的去心邻域内，f(x)与F(x)可导且F′(x)≠0； 高数原概念 若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (2)在点a的去心邻域内，f(x)与F(x)可导且F′(x)≠0； 高数原概念 我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当x→0时， 的极限即为 型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法． 例如： 则   概念补充练习 2 注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立. 1.已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围. 当x≥0时，f(x)≥0，即x(ex－1)≥ax2. 当x＝0时，a∈R； 记h(x)＝(x－1)ex＋1，x∈(0，＋∞)， 则h′(x)＝xex>0， 因此h(x)＝(x－1)ex＋1在(0，＋∞)上单调递增， 即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1. 综上所述，当a≤1，x≥0时，f(x)≥0成立. 2　已知函数 f(x)＝ax－a－xln x.若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 依题意，ax－a－xln x≥0恒成立， 即a(x－1)≥xln x恒成立， 令g(x)＝x－1－ln x，x∈(0,1)， ∴g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)>g(1)＝0， ∴φ′(x)>0，即φ(x)在(0,1)上单调递增. ∴φ(x)>0，故a≤0， 综上，实数a的取值范围是(－∞，0]. 3 设函数,设当x ≥ 0时，≤，则a的取值范围为 【分析】当a<0时显然不成立；当a≥0时，若x=0，则a∈R， 若x>0，原不等式等价于 ，利用导数可得 在(0,+∞)上单调递减，利 用洛必达法则求 x→0时的值即可. 【详解】由题设x≥0，此时f(x)≥0， ①当a<0时，若x>，则 ， 不成立； ②当a≥0时，当x≥0时 ， ，即 ； 若x=0，则a∈R； 若x>0，则 等价于 ，即 ， 记 ,则 记 ,则 ， ， 因此 在 上单调递增，又 ，所以 ， 即h(x)在 上单调递增，又h(0)=0，所以h(x)>0， 因此 ，所以g(x)在 上单调递增. 由洛必达法则有 ， 即当x→0时，g(x)→，即有g(x)>，所以 0 ≤ a ≤ . 跟踪训练 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范围. 当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立， 即2ax3＋x>x3－a恒成立， 即a(2x3＋1)>x3－x恒成立， ∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增， “洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理， 用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立 命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值 ，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则. 那么＝ ＝l. 法则1　型 (1) f(x)＝0及 F(x)＝0； (3)＝l， (3) ＝l，那么 ＝ ＝l. 法则2　型 (1) f(x)＝∞及 F(x)＝∞； 2.洛必达法则可处理，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型求极限问题. 3.在着手求极限前，首先要检查是否满足，，0·∞，1∞，∞0,00，∞－∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限. 当x>0时，x(ex－1)≥ax2等价于a≤. 令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝. 且h(x)>h(0)＝0，所以g′(x)＝>0， 从而g(x)＝在(0，＋∞)上单调递增， 所以a≤ . 由洛必达法则得 g(x)＝ ＝ ＝1， 又x－1<0，∴a≤恒成立， 令φ(x)＝，x∈(0,1)，∴φ′(x)＝， ∴g′(x)＝1－<0， 由洛必达法则知 ＝ ＝ ＝ ＝ x＝0， 即a>恒成立， 令φ(x)＝(x>1)， ∴φ′(x)＝>0， 由洛必达法则知 φ(x)＝ ＝ ＝ ＝， ∴φ(x)<，故a≥. 故a的取值范围为. $$