4.4.1对数函数的概念教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.4.1对数函数的概念   一、教学目标 1.通过具体实例，感受对数函数的实际背景，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，体会对数增长的特点和对数函数是一类重要的函数模型； 2.掌握对数函数的概念，并会判断一些函数是否是对数函数； 3.了解对数函数与指数函数之间的联系，培养观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力,渗透类比等基本数学思想方法。  二、教学重难点 重点：理解对数函数的概念和意义，明确对数函数的定义域． 难点：理解对数函数的概念．   三、教学过程 （一）创设情境 复习回顾： 1.对数的概念 一般地，如果，(a>0且a≠1)，则数x叫以a为底N的对数记作，其中a叫底数，N叫真数. 2.指数函数的概念 一般地，函数且a≠1)叫做指数函数. 其中指数x是自变量，定义域是R. 特征：①a>0，且a≠1； ②的系数为1； ③自变量x的系数为1. 设计意图：回顾旧知，为本节课的学习打好基础. （2） 探究新知 任务1：对数函数的概念 思考：在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律.反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？ 设计意图：通过生活实例引出问题激发学生学习的热情. 问题1 已知死亡生物体内碳14含量，能否确定它的死亡时间？ 师生活动 学生独立思考，作答，全班交流.教师引导学生回顾碳14指数衰减函数，使学生明确：可以利用碳14含量去判断该生物体死亡的时长. 思考 已测得碳14含量为，则死亡时间为多少? 师生活动 学生独立思考，并进行求解，得出相应的答案. 思考 已测得碳14含量为，则死亡时间为多少? 师生活动 学生再进行求解，得出相应的答案. 思考 每一个碳14含量都能推出应的死亡时间吗？是否唯一？ 师生活动 学生独立思考、作答，教师根据学生的回答情况适时点评，并通过动画让学生直观感受给定一个碳14的含量y都的唯一的死亡时间与之对应，为下一步判断是的函数做铺垫，对教学难点进行分解. 思考 死亡时间是碳14含量的函数吗?如果是，请用函数的语言准确表达? 师生活动 学生独立思考、作答，教师引导学生从函数的概念出发进行分析，并根据学生的回答情况适时点评及完善. 设计意图：通过一个问题四个追问，培养学生分析问题、解决问题的能力.在此基础上联系指数与对数的关系，借助指数函数解决对数的问题，为下面从特殊推广到一般，由指数函数引出对数函数做铺垫. 探究 根据指数式与对数式的互化，由一般的指数函数得,是的函数吗?如果是，请说明理由. 思考1你能指出它的定义域、值域、对应关系分别是什么？ 思考2函数中底数的取值范围是什么？请说明理由. 概念：一般地，函数且叫做对数函数，其中是自变量是，定义域为. 师生活动 学生独立思考、作答，再进行交流，教师引导学生从函数概念出进行分析，与学生互动交流，完善学生的认识. 设计意图: 从特殊到一般，抽象出对数函数的概念. 任务2：对数函数的特征 探究：类比指数函数的特征，你能概括出对数函数的特征吗？ 要求：1.先独立思考2分钟； 2.小组内交流讨论； 3.以小组为单位进行展示汇报. 总结：对数函数的特征 特征：①a>0，且a≠1； ②的系数为1； ③真数为自变量x，且x>0. 师生活动： 学生思考并分组讨论，以小组为单位进行展示汇报. 设计意图： 根据指数函数的特征，类比得到对数函数的特征，培养学生的归纳、概括理解能力。 （三）应用举例 例1 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)(a>0，且a≠1)；(2)； (3)； (4). 解：(1)真数的位置不是自变量x，不是对数函数； (2)对数式后又减1，不是对数函数； (3)对数式的系数不是1，不是对数函数； (4)符合对数函数的定义，是对数函数. 例2 已知函数f(x)为对数函数，且点A(8,−3)和点B(n,2)在函数f(x)的图象上，则n=______. 解：设对数函数为(a>0,且a≠1). 则由题意可得f(8)=−3,即,所以, 则. 所以对数函数 由,则. 总结：判断一个函数是对数函数的方法 ①a>0，且a≠1； ②的系数为1； ③真数为自变量x，且x>0. 三个条件同时成立时为对数函数. 例3 求下列函数的定义域. 解: (1)∵,即x≠0, ∴函数的定义域是{x|x≠0}. (2)∵4−x>0,即x<4, ∴的定义域是{x|x<4}. 总结：与对数函数有关的定义域问题 若自变量在真数上，则必须保证真数大于0； 若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1. 师生活动：在教师引导下，师生共同完成. 设计意图：本题取自教科书，难度不大，通过求函数的定义域进一步理解对数函数定义域的转殊性，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养. 例4.假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x. (1)该地的物价经过几年后会翻一番? (2)填写下表，并根据表中的数据，说命该地物价的变化规律. 物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份t 0 解：(1)由题意可知，经过t年后物价w为 ，即(t∈[0,+∞)). 由对数与指数间的关系，可得 由计算工具可得，当w=2时，t≈14. 所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番. (2)根据函数，利用计算工具，可得下表： 物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年份t 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47 由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小. 师生活动：教师引导学生，理清思路，师生共同借助计算工具进行解答. 设计意图：在充分理解了引入概念的实例基础上，利用对数函数概念进一步解决类似的实际问题.从而巩固概念，进一步理解概念，并在此基础上，通过列表的方式，初步体会对数函数的性质，为下一节内容作铺垫. （四）课堂练习 1.下列函数表达式中，是对数函数的有(    ) A. B. C. D. 解：根据对数函数的定义，形如，且的函数，叫做对数函数， 中是对数函数 中是对数函数 中不是对数函数 中不是对数函数． 故选AB． 2.已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是(    ) A. B. C. D. 解：由函数的定义可得中的每个元素在中都有唯一的一个元素与之对应． 按照对应关系：，中的在中没有元素与之对应，故不满足题意． 而按照对应关系：，，，中的每个元素在中都有唯一的一个元素与之对应，满足函数的定义． 故选：． 3.某数学小组以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究结果如下： 函数的定义域为； 函数是偶函数； 对于任意的，都有； 对于函数定义域中任意的两个不同实数，，总满足． 其中所有正确研究结果的序号是          ． 解：在中，因为，所以，得函数的定义域为，所以是正确的； 在中，，所以函数为奇函数，所以是错误的； 在中，对于任意，有， 又，所以是正确的； 对于函数的定义域中任意的两个不同实数，，总满足， 即说明是单调递增函数，但是减函数，故是错误的． 故答案为． 4.已知． 求函数的定义域； 判断函数的奇偶性，并加以说明； 求的值． 解：由得即． 所以函数的定义域为． 函数为偶函数，证明如下： 函数的定义域为， ， 由得：函数为偶函数．  ． 5.已知函数． 求的定义域； 若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 解：令  ，即  ， 解得  ， 故  的定义域为  ； 由  ，得  ，即  ， 方程  有两个不相等的实数根， 即方程  在  上有两个不相等的实数根， 则  ， 解得  ，即的取值范围为  ． 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固对数函数的概念，能够灵活运用. （五）归纳总结 通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？ 学科网（北京）股份有限公司 $$