13.3.1等腰三角形 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

13.3 等腰三角形 第十三章 轴对称 第2课时 等腰三角形的判定 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ 情景引入 A B C A B C 如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 探索新知 已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC 有什么数量关系? AB=AC 你能验证你的结论吗？ 探索新知 建立数学模型 A B C 在△ABD与△ACD中 ∴∠1=∠2 ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS) ∴AB=AC 过A作AD平分∠BAC交BC于点D. 证明： 已知：如图，在△ABC中， ∠B=∠C，求证：AB=AC. 探索新知 A B C D 1 2 ∠B=∠C AD=AD ∠1=∠2 还有其他方法吗 ∴ AC=AB( ) ∵∠B=∠C ( ) 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形 （简写成“等角对等边”）. 已知 等角对等边 在△ABC中， 应用格式： 探索新知 等腰三角形的判定方法 这又是一个判定两条线段相等的根据之一 即△ABC为等腰三角形. A B C （等角对等边） 错，因为都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图,下列推理正确吗? （等角对等边） 探索新知 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边， 那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC． 求证：AB=AC． 典例精析 A B C E 1 2 D 证明： ∵AD∥BC（已知） ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等） 又∵∠1=∠2（已知） ∴∠B=∠C（等量代换） ∴AB=AC（等角对等边） 例2 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. 证明： ∴△ABD≌△DCA(SSS) ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等） ∴AE=DE(等角对等边） ∴△AED是等腰三角形 典例精析 A B C D E 在△ABD和△DCA中 AB=DC BD=CA AD=DA 例3 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD. B A D C 典例精析 证明：∵ AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC ∵ BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC ∴∠ABD=∠ADB ∴AB=AD 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 解：是等腰三角形，理由如下: 由折叠可知，∠EBD=∠CBD. ∴∠EDB=∠CBD ∴△EBD是等腰三角形. 变式训练 ∵AD∥BC ∴∠EDB=∠EBD ∴BE=DE B C A D E F 1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形 的是（ ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60° B 2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB， 若OD＝3cm，则CD等于_______. 3cm 练一练 A B C D O l 例4 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形. a h 4.连接AC，BC，则△ABC即为所求. 典例精析 B D C a h 作法：1.作线段AB=a. A 2.作线段AB的垂直平分线l， 交AB于点D. 3.在l上取一点C，使DC=h. 例5 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 典例精析 证明： ∵CD是AB边上的高 ∴∠1＋∠AFD＝90° ∴∠3＝∠4 ∵AE是∠BAC的平分线 ∵∠AFD＝∠3 ∴CE＝CF ∴△CEF是等腰三角形 A B C D E F 1 2 3 4 ∴△ADF是直角三角形 ∵∠ACB＝90° ∴△ACE是直角三角形 ∴∠2＋∠4＝90° ∴∠1=∠2 ∴∠AFD＝∠4 例6 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之间的关系. 典例精析 A B C E F O 解：EF=BE+CF. 理由如下： ∵ EF∥BC ∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO ∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO ∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO ∴BE＝OE，CF=OF ∴ EF=EO+FO＝BE+CF 若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？ 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线， 则图中的等腰三角形有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ ） A．钝角三角形 　 B．直角三角形 C．等腰三角形 　 D．等边三角形 C A 课堂练习 A B C D E 3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 课堂练习 1 a b O A B1 B2 B3 B4 4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBA=_____， ∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________. 36° 72° △ABC、 △DBA、 △BCD 5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____. 9 A B C D 第4题图 课堂练习 第5题图 A B C M N E 课堂练习 6.如图,上午10时,一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正 北航行,中午12时到达B处,从A、B望灯塔C,测得∠NAC=40°, ∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离. A B C N 40° 80° 北 解：∵∠NBC=∠A+∠C ∴∠C=80°- 40°= 40° ∴∠C = ∠A ∴BA=BC（等角对等边） ∵AB=20×（12-10）=40(海里) ∴BC=40(海里) 答：B处距离灯塔C40海里. 7.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC. 求证：BC＝CD. 课堂练习 A B C D 证明：连接BD. ∵AB=AD ∴∠ABD=∠ADB ∵∠ABC=∠ADC ∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB 即∠DBC=∠BDC ∴BC=CD 8.在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ A B C 课堂练习 方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A． 方法2：作BC边上的垂直平分线， 与∠C的一边相交得到顶点A． 方法3：对折 课堂小结 $$