第二十九章 投影与视图（A卷·提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第二十九章 投影与视图 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图摆放的奶茶杯子，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，俯视图为： 故选A． 2．把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱的概念和定义以及展开图解题． 【详解】根据两个全等的三角形，在侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱．把图中的三棱柱展开，所得到的展开图是B． 故选B． 【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，根据三棱柱三个侧面和上下两个底面组成，两个底面分别在侧面的两侧进而得出是解题关键． 3．如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛（长度不计），一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 【答案】B 【分析】可连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长． 【详解】解：连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是： 距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长． 则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而变小． 故选B． 【点睛】本题综合考查中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 4．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是(      ) A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；故选C． 5．如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体的俯视图，图中所标数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】该几何体有前后两排，后面一排最多的有两层，前面一排最多的有三层，故由左向右观察该几何体，正方形排成两列，左边一列为两个正方形，右边一列为三个正方形，故选D． 6．一张桌子上摆放着若干张碟子，其三视图如下，则桌子上的碟子最多有（    ） A．16个 B．17个 C．18个 D．19个 【答案】B 【分析】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出碟子的最多个数． 【详解】解：从俯视图可以得出共有6摞碟子，从主视图可以得出左面一排最多一摞有3个碟子，中间一排最多一摞有3个，右边一排最多一摞有2个，从左视图可以得出左边一排最多一摞有3个，右边一排最多一摞有4个，综合三视图可得出前面一排最多有（个），后面一排最多有（个），可得桌子上的碟子最多有（个）， 故选：B． 7．如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图及俯视图，则它的左视图的面积是（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】此题考查简单几何体的三视图，解直角三角形；根据三视图确定底面等边三角形的边长为4，该几何体的高为4，再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可． 【详解】由三视图可知：底面等边三角形的边长为4，该几何体的高为4， 该几何体的左视图为长方形， 该长方形的长为该几何体的高4，宽为底面等边三角形的高， ∵底面等边三角形的高=， ∴ 它的左视图的面积是， 故选：C． 8．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定的数据由勾股定理求出母线的长度，再用侧面积公式即可得出结论． 【详解】解：由三视图可知，原几何体为圆锥， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算、勾股定理等知识，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键． 9．如图2所示的是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则长方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】解：∵S主视图=x2+2x=x（x+2）， S左视图=x2+x=x（x+1）， ∴俯视图的长为x+2，宽为x+1， 则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2． 所以长方体的表面积为： 故选C． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 10．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆AB的高度为（    ） A．米 B．米 C．8米 D．10米 【答案】A 【分析】如图，延长AB交DT的延长线于E．首先证明AE=DE，然后在Rt△CDT中，求出DT和CT，再根据AB＝AE﹣BE，即可得出结论， 【详解】解：如图，延长AB交DT的延长线于E． ∵1米的杆影长恰好为1米， ∴AE＝DE， 易得四边形BCTE是矩形， ∴BC＝ET＝10米，BE＝CT， 在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°， ∴DT＝CD•cos30°＝8× ＝4 （米），CT＝CD＝4（米）， ∴AE＝DE＝ET+DT＝（米），BE＝CT＝4（米）， ∴AB＝AE﹣BE＝﹣4＝（米）， 故选：A． 2、 填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．将一个棱长为的正方体的一个角剪去一个棱长为的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看到的图形就是主视图是关键．根据题意判断出该几何体的主视图，进而得出它的面积． 【详解】解：该几何体的主视图是一个边长为的正方形， 所以该几何体主视图的面积是：． 故答案为：36． 12．夜晚小明在路灯下散步，离路灯越近，他的影子越 （填“长”或“短”）． 【答案】短 【分析】此题主要考查了中心投影的定义，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．连接路灯和旗杆的顶端并延长交平面于一点，这点到旗杆的底端的距离是就是旗杆的影长，画出相应图形，比较即可． 【详解】解： 由图易得，那么离路灯越近，它的影子越短， 故答案为：短． 13．如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握长方体的三视图，并根据三视图得出其长、宽、高．由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2，根据长方体的体积公式即可得． 【详解】解：由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2， 则这个长方体的体积为， 故答案为：6． 14．由m个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则m能取到的最大值是 ． 【答案】5 【分析】根据主视图和俯视图分析每行每列小正方体最多的情况，即可得出答案． 【详解】由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高两层，右侧一列最高一层； 由俯视图可知左侧两行，右侧一行，于是，可确定右侧只有一个小正方体，而左侧可能是一行单层一行两层，可能两行都是两层． 最多的情况如图所示， 所以图中的小正方体最多5块． 故答案为：5． 【点睛】本题考查根据三视图判断小正方体个数，需要一定空间想象力，熟练掌握主视图与俯视图的定义是解题的关键． 15．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可得，该几何体的侧面积为 ．    【答案】 【分析】根据三视图可得出该几何体为圆锥，再运用勾股定理求得母线l的长度，然后根据根据扇形面（其中l=母线，是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离）计算即可． 【详解】解：由题意可知，该几何体是圆锥，其中底面半径为2， 母线长为：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是几何体的三视图、圆锥的侧表面积公式等知识点，熟记圆锥的侧面积公式是解本题的关键． 16．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，垂直于地面的木棒与影子的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米． 【答案】 10 【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据，求出OM的长度，证明，得出，，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出所求长度． 【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB， 由题意可知，点O是AB的中点， ∵， ∴点H是CD的中点， ∵， ∴， ∴， 又∵由题意可知：， ∴，解得， ∴点O、M之间的距离等于， ∵BI⊥OJ， ∴， ∵由题意可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形OHDJ是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴叶片外端离地面的最大高度等于， 故答案为：10，． 【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 17．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的半径是 ． 【答案】5 【分析】由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，结合图形可得出圆锥的高及底面半径，继而可求出圆锥侧面展开图的半径． 【详解】解：依题意知高h=4，底面半径r=6÷2=3， 由勾股定理求得母线长为：， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查三视图的知识和勾股定理的应用，根据三视图判断出圆锥的高和底面圆的半径是解题的关键． 18．在桌子上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面，上面看到的形状如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最大值为 。 【答案】11. 【分析】分析每层的数量即可得到总个数. 【详解】由图可知：该正方体由三层构成，最底层有6个，第二层最多有3个，最上层最多有2个，所以最多的个数n=6+3+2=11（个）， 故填：11. 3、 解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． (1)填空：这个几何体由　 　个小正方体组成； (2)画出它的三个视图． 【答案】(1)6；(2)画图见解析. 【分析】（1）直接利用几何体的组成得出小正方体的个数； 【详解】（2）利用三视图的不同观察角度进而分别得出视图． 解：（1）观察图形可知这个几何体由6个小正方体组成； 故答案为6． (2)三视图如下图： 【点睛】此题主要考查了三视图的画法，正确把握观察角度是解题关键． 20．晚上，一个身高米的人站在路灯下，发现自己的影子刚好是块地砖的长（地砖是边长为米的正方形），当他沿着影子的方向走了块地砖时，发现自己的影子刚好是块地砖的长，根据他的发现，你能不能计算路灯的高度？ 【答案】路灯的高度为8 m. 【分析】画图，根据中心投影性质可知△CAB∽△COP，△ECD∽△EOP，所以，，进一步可解得OP＝8. 【详解】如答图，AC＝4×0.5＝2(m)，CE＝5×0.5＝2.5(m)，AB＝CD＝1.6 m，∵AB∥OP， ∴△CAB∽△COP， ∴， 即，① ∵CD∥OP，∴△ECD∽△EOP， ∴，即，② 由①②，得，解得AO＝8， ∴，解得OP＝8. 答：路灯的高度为8 m. 【点睛】本题考核知识点：中心投影. 解题关键点：理解中心投影中，物高与影子长成比例. 21．如图是一个钢坯零件的三视图，其中俯视图为菱形，其测量数据如图所示（单位：）．请根据以上信息求出该钢坯零件的表面积． 【答案】 【分析】考查由三视图判断几何体及几何体表面积的计算；根据菱形的面积公式，表面积侧面积个底面积解答即可． 【详解】解：由题意可得：菱形面积，边长为 ∴该钢坯零件的表面积． 22．（1）补全下面几何体的三种视图． （2）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ①求的取值范围是_______； ②当时，用配方法解方程． 【答案】（）见解析图； （） 且； ，． 【分析】（）根据左视图是从左面看到的图形进行求解即可； （）根据根的情况确定参数的范围； 先把代入方程，然后利用配方法解方程即可； 本题考查了三视图，根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（）从物体正面、左面和上面看得到的图形如图， （）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故答案为：且； 当时，方程为，整理得， ， ， ， ，． 23．（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名是从哪个方向看的；（填正面或上面）        （2）根据两种视图中尺寸（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积和体积．（用含π的式子表示） 【答案】（1）正面、 上面；（2）表面积：132+24π；体积：80+24π 【分析】（1）找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． （2）根据题目所给尺寸，计算出下面长方体表面积+上面圆柱的侧面积． 【详解】解：（1）正面、 上面 （2）表面积： 2（8×5+8×2+5×2）+4×π×6 ＝2（8×5+8×2+5×2）+4×π×6 ＝132+24π（cm2）． 体积： 8×5×2+4×π×6 ＝2（8×5+8×2+5×2）+4×π×6 ＝80+24π（cm3） 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，求几何体的表面积和几何体的体积，解题关键是数形结合． 24．有四个同学甲、乙、丙、丁画了同一个几何体的展开图如下：    (1)有一个同学画错了，你认为是______． (2)这个几何体是什么图形？它的体积是多少？ (3)截去这个几何体的一个角，剩余的立体图形有几条棱？写出两个答案即可． 【答案】(1)丙 (2)长方体， (3)12条棱或13条棱（答案不唯一） 【分析】本题考查了立体图形的展开图，截一个长方体一个角的问题，注意分情况讨论，做到不重复不遗漏． （1）根据展开图判断即可； （2）先根据展开图判断，再根据长方体的体积=长×宽×高求解即可； （3）分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：由长方体展开图可知：有一个同学画错了，是丙， 故答案为：丙； （2）解：由展开图可知，该几何体是长方体； ； （3）解：如图，    剩下的几何体可能有：12条棱或13条棱（答案不唯一）． 25．如图是一个大正方体切去一个小正方体组成的几何体．    (1)分别画出该几何体从上面、左面、正面看到的形状； (2)若大正方体的边长为，小正方体的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三视图、正方体的表面积公式，熟练掌握三视图的概念“从上面观察物体所得到的视图是俯视图，从左面观察物体所得到的视图是左视图，从正面观察物体所得到的视图是主视图”是解题关键． （1）根据三视图的概念即可得； （2）根据一个大正方体切去一个小正方体后，其表面积不变即可得． 【详解】（1）解：分别画出该几何体从上面、左面、正面看到的形状如下： ． （2）解：∵一个大正方体切去一个小正方体后，其表面积不变，且大正方体的边长为， ∴这个几何体的表面积为， 答：这个几何体的表面积． 26．综合与实践． 现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题： (1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子； (2)如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度； 【答案】(1)见解析 (2)路灯P离地面的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用以及中心投影的性质： （1）利用中心投影的性质进而得出P点和H点位置； （2）利用相似三角形的判定与性质得出，同理可得，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点P、线段即为所求， 延长于点P，找到路灯 P 的位置，连接并延长，交射线于点H，即为人在路灯下的影子． （2）解：∵， ∴， 即 ① ∵， ∴， 即 ② 由①②得 解得 解得． 答：路灯P离地面的高度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十九章 投影与视图 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图摆放的奶茶杯子，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是(　　) A． B． C． D． 3．如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛（长度不计），一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 4．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是(      ) A．   B．   C．   D．   5．如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体的俯视图，图中所标数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 6．一张桌子上摆放着若干张碟子，其三视图如下，则桌子上的碟子最多有（    ） A．16个 B．17个 C．18个 D．19个 7．如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图及俯视图，则它的左视图的面积是（    ） A． B．8 C． D．16 8．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（　　）    A． B． C． D． 9．如图2所示的是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则长方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆AB的高度为（    ） A．米 B．米 C．8米 D．10米 2、 填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．将一个棱长为的正方体的一个角剪去一个棱长为的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为 ． 12．夜晚小明在路灯下散步，离路灯越近，他的影子越 （填“长”或“短”）． 13．如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于 ．    14．由m个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则m能取到的最大值是 ． 15．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可得，该几何体的侧面积为 ．    16．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，垂直于地面的木棒与影子的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米． 17．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的半径是 ． 18．在桌子上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面，上面看到的形状如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最大值为 。 3、 解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． (1)填空：这个几何体由　 　个小正方体组成； (2)画出它的三个视图． 20．晚上，一个身高米的人站在路灯下，发现自己的影子刚好是块地砖的长（地砖是边长为米的正方形），当他沿着影子的方向走了块地砖时，发现自己的影子刚好是块地砖的长，根据他的发现，你能不能计算路灯的高度？ 21．如图是一个钢坯零件的三视图，其中俯视图为菱形，其测量数据如图所示（单位：）．请根据以上信息求出该钢坯零件的表面积． 22．（1）补全下面几何体的三种视图． （2）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ①求的取值范围是_______； ②当时，用配方法解方程． 23．（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名是从哪个方向看的；（填正面或上面）        （2）根据两种视图中尺寸（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积和体积．（用含π的式子表示） 24．有四个同学甲、乙、丙、丁画了同一个几何体的展开图如下：    (1)有一个同学画错了，你认为是______． (2)这个几何体是什么图形？它的体积是多少？ (3)截去这个几何体的一个角，剩余的立体图形有几条棱？写出两个答案即可． 25．如图是一个大正方体切去一个小正方体组成的几何体．    (1)分别画出该几何体从上面、左面、正面看到的形状； (2)若大正方体的边长为，小正方体的边长为，求这个几何体的表面积． 26．综合与实践． 现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题： (1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子； (2)如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$