第二十八章 锐角三角函数（B卷·培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第二十八章 锐角三角函数 （B卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列说法正确的是（   ） A．整数就是正整数和负整数 B．都是非负数 C．分数包括正分数、负分数和0 D．整数和分数统称为有理数 2．如图，在中，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．在中，则的值是（      ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．在中，，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 7．重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 8．如图，在矩形中，将沿翻折得到，的对应边交于点，且，则的值为（    ）    A．0.5 B． C． D． 9．如图，在中，，点D是延长线上一点，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD=（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．计算： 12．若，则锐角 13．如图，在中，，，，则的值为 ． 14．如图，在四边形中，，，，，对角线、交于点E，，那么的值为 ． 15．如图，矩形，，，将矩形绕点A顺时针旋转得矩形，连接、，则 ． 16．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 17．如图，在中，对角线与相交于点，若，则 ． 18．如图，在矩形纸片中，，，点E是边上的点，连接，将沿翻折，使点B落在处；点F是边上的点，连接，将沿翻折，使点C恰好落在线段上，记作点，连接．如果，那么 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（1） （2） 20．如图，已知及边上一点C． (1)用无刻度的直尺和圆规在射线上求作点O，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以为半径的圆交射线于点B，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点M，使点M到点C的距高与点M到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，求的长． 21．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为．（参考数据，，，） (1)______度，______度，______米； (2)电子厂的高度为多少米？ 22．图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】 23．如图，在中，，点在上，，且，． (1)求证：； (2)求的长． 24．如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 25．如图，四边形是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点的正东方设置了休息区，其中休息区在景点的南偏西方向米处，景点在景点的北偏东方向，景点和休息区两地相距米，景点分别在休息区、景点的正东方向和正南方向．（参考数据：） (1)求步道的长度； (2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点一起向正东出发，不久到达休息区，他们发现有两条路线到达景点，于是小宏想比赛看谁先到达景点．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在点出发，小明选择①路线，速度为每分钟米；小宏选择②路线，速度为每分钟米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点呢？ 26．如图所示，点P是菱形对角线上的一点． (1)求证：； (2)连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F，交的延长线于点Q，： ①求的值； ②当是等腰三角形时，请求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数 （B卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列说法正确的是（   ） A．整数就是正整数和负整数 B．都是非负数 C．分数包括正分数、负分数和0 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据整数和分数统称为有理数，整数分为正整数，负整数和零，进行解答即可． 【详解】A．整数包括正整数、0和负整数，故该选项说法错误； B．不是非负数，故该选项说法错误； C．0不是分数，故该选项说法错误； D．整数和分数统称为有理数，故该选项说法正确． 故选：D． 2．如图，在中，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角函数的比值关系，熟悉掌握正弦的比值关系是解题的关键． 根据正弦的比值关系列式比较即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故选：B． 3．在中，则的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，根据正弦的定义结合图形求解即可． 【详解】解：∵在中， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义． 根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， 故选：C 5．已知，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 6．在中，，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义．根据勾股定理求出，根据正切的定义解答即可． 【详解】解：如图， 在中，，由勾股定理得，， 则， 故选：A． 7．重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（    ）（参考数据：，，） A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，作于， 根据矩形的性质得到，根据坡度的概念和勾股定理求出，根据正切的概念求出，计算即可. 【详解】解：作于，则四边形为矩形， ∴，设米， 则米， 由勾股定理得 解得， ， 即米， ∴米， 在中， 即米， ∴(米) ， 故选： A. 8．如图，在矩形中，将沿翻折得到，的对应边交于点，且，则的值为（    ）    A．0.5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质结合，得到是等腰直角三角形，设，则，证明，得到，进而求出，由，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， 由折叠的性质得，， ， 是等腰直角三角形， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰指甲三角形的性质，三角形全等的判定与性质，求正切值，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 9．如图，在中，，点D是延长线上一点，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，特殊直角三角形的性质等知识，如图，设．解直角三角形求出，，，可得结论． 【详解】如图，设． 在中，，， ，， ， ∴． 故选：C． 10．如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：∵点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点， ∴易证△ABF≌△DAE（SAS）. ∴易证AF⊥DE.∴∠DGF=900. 又∵∠DCF=900，∴点C、D、G、F在以DF为直径的圆上. 如图，连接DF，则∠1=∠2. 不妨设CD=2，则CF=1，DF=. ∴，即. 故选D. 考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.四点共圆的判定；4.圆周角定理；5.勾股定理；6.锐角三角函数定义. 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．计算： 【答案】/ 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，把代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 12．若，则锐角 【答案】 【分析】本题考查三角函数求度数．根据题意利用三角函数特殊值即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求角的正弦值．根据正弦值等于对边比斜边，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴； 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，，，，对角线、交于点E，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，求角的正切值，掌握三角形相似的判定定理和性质定理，角的正切值等于该角对边与邻边的长度比是解题关键．由题意证明，得出，代入数据求出的长，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：（舍去负值）， ∴． 故答案为：． 15．如图，矩形，，，将矩形绕点A顺时针旋转得矩形，连接、，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，求解锐角的正切，掌握基础知识是解本题的关键． 如图，连接，证明，，可得，，，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵，，将矩形绕点A顺时针旋转得矩形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ， ， ， ∴． 故答案为：1． 16．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 17．如图，在中，对角线与相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求锐角的正切值，平行四边形的性质，矩形的性质与判定；过点作于点，过点作，交的延长线于点，设，则，得出，进而得出是等腰直角三角形，求得，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如解图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∵ ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ． 故答案为：． 18．如图，在矩形纸片中，，，点E是边上的点，连接，将沿翻折，使点B落在处；点F是边上的点，连接，将沿翻折，使点C恰好落在线段上，记作点，连接．如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】连接，设，先判断，再利用勾股定理通过进行等量代换列出关于x的方程，然后解方程求得x值，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 设，则， 由折叠性质得，，，，， ∴，则， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，又， ∴，即， 解得，， 当时，，，则，不满足题意，舍去； 当时，，，则，满足题意， ∴， 在中，， 故答案为：． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 20．如图，已知及边上一点C． (1)用无刻度的直尺和圆规在射线上求作点O，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以为半径的圆交射线于点B，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点M，使点M到点C的距高与点M到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作的垂直平分线交于，点O即为所作； （2）作是平分线交于，点即为所作； （3）由（2）可知，，由，可得，可求，由勾股定理得，，证明，则，设，由，，可得，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于， 由垂直平分线的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴点O即为所作； （2）解：如图1，作是平分线交于， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， 如图1，作于， ∴， ∴点即为所作； （3）解：由（2）可知，， ∵， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握作垂线，作角平分线，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 21．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为．（参考数据，，，） (1)______度，______度，______米； (2)电子厂的高度为多少米？ 【答案】(1)；； (2)电子厂的高度为米． 【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质． （1）先证明四边形、、是矩形，据此即可求得相关数据； （2）设，表示，然后在以及中，利用三角函数，用表示出和，运用线段和差关系，求出，进一步计算即可作答． 【详解】（1）解：如图：延长交于一点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理得四边形是矩形， 依题意，得，， ∴，， ∴， 故答案为：；；； （2）解：设，则， 在 ∴， 即， 在 ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：电子厂的高度为米． 22．图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】 【答案】米 【分析】本题考查直角三角形的应用—仰角俯角问题，过点作于点，连接、，证明四边形为矩形，得出，在中，在中，分别解直角三角形得出、的长，最后再由计算即可得解．解题的关键是掌握仰角俯角定义及解直角三角形． 【详解】解：如图，过点作于点，连接、， ∴， 由题意知：，，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴（米）． 答：亚帆灯塔的高的值为米． 23．如图，在中，，点在上，，且，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定、解直角三角形的相关计算、勾股定理等知识． （1）由，，即可证明； （2）在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵在中，， ， ， ， ， ， ∴的长度为． 24．如图，已知在中，是上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可证明； （2）根据和得出，过点C作，根据，，在中，结合勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 过点C作， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，，即， 解得：或0（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 25．如图，四边形是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点的正东方设置了休息区，其中休息区在景点的南偏西方向米处，景点在景点的北偏东方向，景点和休息区两地相距米，景点分别在休息区、景点的正东方向和正南方向．（参考数据：） (1)求步道的长度； (2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点一起向正东出发，不久到达休息区，他们发现有两条路线到达景点，于是小宏想比赛看谁先到达景点．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在点出发，小明选择①路线，速度为每分钟米；小宏选择②路线，速度为每分钟米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点呢？ 【答案】(1)米 (2)小宏先到达景点 【分析】（）由题意得，，，，米，米，即得，过点作于，可得为等腰直角三角形，即得米，利用勾股定理可得米，进而即可求解； （）解直角可得米，米，再分别求出路程①和②的路程，进而求出小明和小宏到达景点的时间即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，，米，米， ∴， 过点作于，则， ∴为等腰直角三角形， ∴米， ∴米， ∴米； （2）解：∵，，， ∴米，米， ∴路线②的路程为米， ∴小宏到达景点的时间为分钟， ∵路线①的路程为米， ∴小明到达景点的时间为分钟， ∵， ∴小宏先到达景点． 26．如图所示，点P是菱形对角线上的一点． (1)求证：； (2)连接并延长交边于点E，连接并延长交边于点F，交的延长线于点Q，： ①求的值； ②当是等腰三角形时，请求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或． 【分析】（1）根据菱形的性质得到，平分，则，即可证明； （2）①证明，得到，,则，证明，得到，则,即，证明，则，得到,则，即可得到结论；②分三种情况分别进行讨解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，平分， ∴， 在和中， ∴； （2）解：①∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，, ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,即， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴, ∴， ∴； ②由（1）证得， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 若， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵，设，， ， ∴， ∴， 由菱形性质，是菱形的对称轴， ∴△EBP和△FDP关于AC对称 则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于H，设， 则， 解得，即 ∴ ∴； 若， ∴ ∵，设，， ， 同理可得： ∵， ∴， ∴， ∴ 同理可得：    ， 设， ∴， 解得， ∴ ∴； 即的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$