第三章 圆（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第3章 圆 （A卷） 考试时间：90分钟，满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．在所在平面内有一点，若，半径为，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断 2．如图，在中，已知，则与的关系是（　　）    A． B． C． D．不确定 3．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 5．如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 6．如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是（   ） A． B． C． D． 7．如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，，P是上的一点，于点H，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知的半径为5，若点P在内，则 5（填“>”，“=”或“<”）． 10．如图，在中，是边上的一点，以为直径的经过点，且是的切线．若半径，，则的长为 ． 11．如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    12．如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 13．如图，为的直径，且，点C为上半圆的一点，于点E，的角平分线交于点D，弦，那么的面积是 ． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．如图，已知、为的两条弦，，求证：． 15．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 16．如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F． (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若，，求的半径． 17．如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 18．如图，正六边形的半径为5． (1)求对角线的长； (2)求这个正六边形的周长与面积． 19．如图1，为的直径，点 D 为下方上一点，点 C 为的中点，连接，． (1)求证： ； (2)如图2，过点 C作垂足为H，交于点 E，求证： 20．在中，直径．点C为圆上一动点，点D在圆外，四边形为菱形，连结． (1)如图1，交于点E， ①求证：； ②连结，若，求的长． (2)如图2，连结交于G，F为圆上一点，交于M．当点C在圆上运动时，直径上是否存在一点N，使为定值．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆 （A卷） 考试时间：90分钟，满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．在所在平面内有一点，若，半径为，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与圆的半径进行判定，掌握点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．根据题意，点到圆心的距离与圆的半径，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在园内；由此即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离为，圆的半径为， ∴， ∵， ∴点在外， 故选：B ． 2．如图，在中，已知，则与的关系是（　　）    A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 3．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：，是直径，， ， 在中，（）， （）， 故选：． 4．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 【答案】A 【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意； B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意； D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 5．如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 6．如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了正多边形与圆，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解是解题的关键． 连接，作，构造出直角，且根据正六边形的性质可知，即可解答； 【详解】解：连接，作于点， ∵正六边形的外接圆半径为， ∴正六边形的半径为， 即， 在正六边形中，， ∴， ∴正六边形的边心距是， 故选：D． 7．如图，点B、C、D在上，，A是的中点，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，求弧长，先根据圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵A是的中点， ∴， ∴， ∵点B、C、D在上，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的长是； 故选A． 8．如图，在中，，，，，P是上的一点，于点H，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，直径所对的圆周角是直角和勾股定理，当与的交点D落在上时，因为是直径，可以判定，证明推出，同理得到，进而证明垂直平分，求出的长度，进而求出的长度，最后证，即可求出的长度． 【详解】解：如图所示，当与的交点D落在上时， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知的半径为5，若点P在内，则 5（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的关系，根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．解题关键是熟知点与圆的三种关系． 【详解】解：∵的半径为5，点在内， ∴． 故答案为：． 10．如图，在中，是边上的一点，以为直径的经过点，且是的切线．若半径，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质—“圆的切线垂直于经过切点的半径”，也考查了圆周角定理和勾股定理．掌握切线的性质和圆周角定理是解本题的关键． 连接，如图，先根据切线的性质得到，则可计算出，再判断为等边三角形得到，接着利用圆周角定理得到，然后根据勾股定理计算的长． 【详解】解：连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 为直径， ， ． 故答案为：． 11．如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    【答案】/40度 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：与切于， ， 由题意可知：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 为边中点， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， 阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． 13．如图，为的直径，且，点C为上半圆的一点，于点E，的角平分线交于点D，弦，那么的面积是 ． 【答案】85 【分析】设，的交点为F，连接，证明，继而得到，利用勾股定理，三角函数，计算的长，结合，计算解答即可. 【详解】解：设，的交点为F，连接， ∵ ， ∴； ∵的角平分线交于点D， ∴； ∴； ∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ . . 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．如图，已知、为的两条弦，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧所对的弦是相等的，据此即可作答． 【详解】解：∵、为的两条弦， ∴ ∴ ∴ 15．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 【答案】(1)作图见详解 (2)弧的长为 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，弧长的计算方法，掌握垂直平分线的画法，弧长公式的计算方法是解题的关键． （1）线段的垂直平分线的交点即为圆心，根据画线段垂直平分线的方法即可求解； （2）根据弧长的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 线段交于点，如图所示， ∴点即为所求圆心． （2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角， ∴， ∴， ∴弧的长为． 16．如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F． (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，求出； （1）连接，，根据圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系可求，即可证明； （2）连接，根据垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系可证，设的半径为r，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，连接，， ， ， ， ∵点D为的中点， ， ， ， ； （2）解：如图②，连接， ，为的直径， ，，， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， 在中，， ， 解得， 的半径为． 17．如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解； （2）根据阴影部分的面积，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是的切线； 理由如下： 连接，如图所示： 根据题意得，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆综合，涉及等边三角形判定与性质、等腰三角形判定与性质、三角形外角和、切线的判定与性质、勾股定理、扇形面积的计算、旋转的性质等知识，熟练切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题的关键． 18．如图，正六边形的半径为5． (1)求对角线的长； (2)求这个正六边形的周长与面积． 【答案】(1)； (2)这个正六边形的周长与面积分别为和． 【分析】本题考查的是正六边形的性质、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径． （1）连接，，根据正六边形的性质推出，，再利用直角三角形的性质即可得到结论； （2）由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积． 【详解】（1）解：连接，， 正六边形的半径等于边长， ，， ， ， ， ， ，； （2）解：如图，连接，，作于点， 由题意得； ∴正六边形的周长； ∴， 正六边形的面积． 19．如图1，为的直径，点 D 为下方上一点，点 C 为的中点，连接，． (1)求证： ； (2)如图2，过点 C作垂足为H，交于点 E，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）设，根据圆周角定理得到，C是的中点，得到，连接，由是直径得，根据余角的性质即可得出结论； （2）连接，根据三角形的内角和定理可得出，根据圆周角定理得出，则可得出，结合（1）中，可得出，根据等角对等边即可得证． 【详解】（1）证明：如图，连接，设， 则， ∵C是的中点， ∴， ， ， ∵为直径， ∴， ， ， ， ， ； （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴． 20．在中，直径．点C为圆上一动点，点D在圆外，四边形为菱形，连结． (1)如图1，交于点E， ①求证：； ②连结，若，求的长． (2)如图2，连结交于G，F为圆上一点，交于M．当点C在圆上运动时，直径上是否存在一点N，使为定值．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①见解析②7 (2)存在， 【分析】（1）①连接，根据菱形的性质，得到，圆周角定理，得到，根据弧，弦，角之间的关系即可得出结论；②设交于点，勾股定理求出的长，证明，求出，的长，证明，列出比例式进行求解即可； （2）过点作，交于点，根据等边对等角，平行线的性质，推出，证明，得到，进而推出，根据线段的和差关系，结合等量代换，求出的值，进而得到的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：①接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设交于点， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）存在，过点作，交于点，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在点，当时，为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$