第二章 二次函数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第2章 二次函数 （A卷） 考试时间：90分钟，满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如（为常数，）的函数叫做二次函数”进行判断即可． 【详解】解：A、右边有分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移4个单位长度，则平移后的抛物线表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据二次函数图象的平移方式“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移4个单位长度，则平移后的抛物线表达式为； 故选B． 3．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 4．如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．直接从图上可以分析：时，图象在轴的下方，共有2部分：一是的左边轴的下方 部分，即时图象；二是的右边轴的下方部分，即时函数图象． 【详解】解：观察图象可知，抛物线与轴两交点为，， ，图象在轴的下方，所以答案是或． 故选：B． 5．已知点，，都在函数上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，能够熟练掌握二次函数基本性质是解题关键． 先判断出二次函数的开口和对称轴，再通过比较三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：的对称轴为，函数图像开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大 ∵ ∴ 故选：A ． 6．若抛物线与轴的交点坐标为，，则这条抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的对称性以及与x轴的交点坐标求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点坐标为，， ∴点，关于对称轴对称， ∴这条抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 7．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（    ） A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒 【答案】D 【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了已知函数值求自变量的值，根据题意可知当时符合题意，进而求出答案即可． 【详解】当时，， 解得或， 所以球弹起后又回到地面所经过的时间是3秒． 故选：D． 8．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图像上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（   ） A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键． 根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当时，，得到，即可判断②对错；根据二次函数和直线的交点，即可判断④对错． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ∴，①正确； ∵抛物线的顶线坐标为， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴，成立，故③正确； ∵抛物线与轴的一个交点在点和点之间， ∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在和之间， 时，， ， ， ， ∴，②正确； ∵抛物线的顶线坐标为，点在二次函数的图像， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴交点的横坐标即为方程的两个实数根， ∵点在二次函数的图像， ∴为其中一个实数根， 根据函数图像对称性，对称轴， ∴另一个实数根是1， ∴关于x的不等式的解集是， ∴④正确， 故选：D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的二次项系数不为零，最高次项的次数是是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解根据题意可得：，且， 解得：， 故答案为：． 10．如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】抛物线与直线交于两点，，从图像上可知，在到之间直线在抛物线上方，由此即可求解． 【详解】解：变形得，，即抛物线的图像在直线的图像的下方， ∵抛物线与直线交于两点，， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图形与一次函数图像的特点，理解图像表示的意思，找出交点坐标，自变量的取值范围，从图像上看出大小关系是解题的关键． 11．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 12．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于、两点，拱桥最高点到的距离为，，D，E为拱桥底部的两点，且，若的长为，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用、求二次函数的解析式，建立平面直角坐标系，在轴上，轴经过最高点，设抛物线的解析式为，设，则，，将点和点的坐标代入抛物线解析式，求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，在轴上，轴经过最高点， 设与轴交于点， ， ，，设抛物线的解析式为， ， ， 设，则， 拱桥最高点到的距离为， ， 将点和点的坐标代入抛物线解析式得： ， 解得：， 点到直线的距离为． 故答案为：． 13．二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，转化线段是解题的关键．过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，先用待定系数法求二次函数的解析式，再证明，然后将转化为，当D，P，F三点共线时，取最小值，再求出的长，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H， 由题意得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 令，则， ， 令，则， 解得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当D，P，F三点共线时，取最小值， ，， ， ， ， ， 而在中，， ， 即取最小值为， 的最小值为． 故答案为：4． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，二次函数的性质： （1）利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）根据和求出对应的、值，即可得到与坐标轴交点的坐标． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时，，解得：，； 当时，， 故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 15．已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； （2）二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 16．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)； (2)图见详解； (3)． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式∶在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，也考查了二次函数的图象与性质． (1)利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出a即可； (2)利用描点法画二次函数图象； (3)根据、0时的函数值即可写出y的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 把点代入，， 得， 故抛物线解析式为，即； （2）解：如图所示： （3）解：， 当时，有最小值， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是． 17．某山区种植一种优质蜜桃，并将该种蜜桃在网络平台上销售，已知该种蜜桃的种植以及人工等成本为元/千克，该种蜜桃每日销售量（千克）与销售单价（元）满足一次函数关系，现要求该种蜜桃销售单价不低于成本且不高于元/千克．下表是销售的相关数据． 销售单价x（元） 25 30 日销售量y（千克） 170 120 (1)求日销售量与销售单价的函数表达式； (2)若设销售该种蜜桃的日获利为元，当销售单价定为多少时，销售该种蜜桃的日获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为元时，销售这种枇杷的日获利最大，最大利润为元． 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先根据利润销售量（销售单价成本价）求出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设日销售量与销售单价的函数关系式为， 由题意得：，解得， 则日销售量与销售单价的函数关系式为． （2）解：由题意得： ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 答：当销售单价定为元时，销售这种枇杷的日获利最大，最大利润为元． 18．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，连接，，其中，． (1)求抛物线的表达式及点坐标； (2)点是线段上一动点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点、的坐标分别代入得到、的方程组，则解方程组得到抛物线解析式，然后解方程得到点坐标，从而确定的长； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：把，分别代入得， 解得， 抛物线解析式为； 当时，， 解得，， ； （2）设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 设， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，（a，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 19．海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强，罗定海洋公园里的海豚表演吸引了众多家庭前来观看．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运动路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中，以海豚起跳点（出水点）O为原点，点O与海豚落水点（水面）所在直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，海豚离水面的高度y（单位：）与距离起跳点O的水平距离x（单位：）之间具有函数关系，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员吊在空中的小球，小球与点O的水平距离为，与水面的高度为． (1)求海豚此次训练中离水面的最大高度； (2)当海豚离水面的高度是时，求与起跳点O的水平距离． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的实际问题，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式然后配方得到最大值即可； （2）令，解一元二次方程方程即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 所以， 所以海豚此次训练中离水面的最大高度是； （2）解：由题意，得， 解得，， 答：海豚与起跳点O的水平距离是或． 20．如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，线段有最大值且为 (3)存在，或或或或 【分析】（1）把代入直线，求出，再根据待定系数法求解即可； （2）设动点的坐标为，则点的坐标为，表示出，再结合，根据二次函数的性质求解即可． （3）设点，分为①当时，②当时，③当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得， ， 在抛物线上， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：存在． 理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为， ， 点是线段上的动点， ， 当时，线段有最大值且为． （3）解：存在． 设点， ①当时，， 解得：， 或． ②当时，， 解得：， 或． ③当时，， 解得：， ， 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 二次函数 （A卷） 考试时间：90分钟，满分：100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移4个单位长度，则平移后的抛物线表达式为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 5．已知点，，都在函数上，则（    ） A． B． C． D． 6．若抛物线与轴的交点坐标为，，则这条抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 7．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（    ） A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒 8．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图像上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（   ） A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若是关于的二次函数，则的值为 ． 10．如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 11．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    12．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于、两点，拱桥最高点到的距离为，，D，E为拱桥底部的两点，且，若的长为，则点到直线的距离为 ． 13．二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 3、 解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 15．已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． 16．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，直接写出y的取值范围． 17．某山区种植一种优质蜜桃，并将该种蜜桃在网络平台上销售，已知该种蜜桃的种植以及人工等成本为元/千克，该种蜜桃每日销售量（千克）与销售单价（元）满足一次函数关系，现要求该种蜜桃销售单价不低于成本且不高于元/千克．下表是销售的相关数据． 销售单价x（元） 25 30 日销售量y（千克） 170 120 (1)求日销售量与销售单价的函数表达式； (2)若设销售该种蜜桃的日获利为元，当销售单价定为多少时，销售该种蜜桃的日获利最大？最大利润为多少元？ 18．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，连接，，其中，． (1)求抛物线的表达式及点坐标； (2)点是线段上一动点，若，求点的坐标． 19．海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强，罗定海洋公园里的海豚表演吸引了众多家庭前来观看．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运动路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中，以海豚起跳点（出水点）O为原点，点O与海豚落水点（水面）所在直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，海豚离水面的高度y（单位：）与距离起跳点O的水平距离x（单位：）之间具有函数关系，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员吊在空中的小球，小球与点O的水平距离为，与水面的高度为． (1)求海豚此次训练中离水面的最大高度； (2)当海豚离水面的高度是时，求与起跳点O的水平距离． 20．如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$