13.3.1等腰三角形 课时作业2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.3.1等腰三角形 课时作业2024—2025学年人教版八年级上册数学一、单选题 1．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC（ ） A． B． C． D． 2．在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的有（    ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； ⑤若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形． A． B． C． D． 4．下列命题中，其逆命题为真命题的是（　　） A．若a＝b，则a2＝b2 B．同位角相等 C．两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．等腰三角形两底角不相等 5．等腰三角形中，若顶角度数为，则底角度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，边，的垂直平分线，相交于点O，M，N在边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，把直角边BC沿过点B的某条直线折叠，使点C落到斜边AB上的一点D处，当∠A=（ ）度时，点D恰为AB的中点． A．30 B．25 C．32.5 D．45 二、填空题 9．如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是 ． 10．已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边为8cm，则它的周长是 ． 11．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD＝BE，CD＝CF，∠A＝72°，则∠FDE＝ °． 12．如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ． 13．已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的第三边长为 ． 三、解答题 14．已知：如图，在中，，点D、E分别在边AC、AB上，且，BD与CE相交于点O．求证：． 15．请认真阅读下面的数学小探究，完成所提出的问题 （1）探究1，如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，将边 AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作BC边上的高DE，则DE与BC的数量关系是 ． △BCD的面积为 ． （2）探究2，如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含的式子表示△BCD的面积，并说明理由．    16．如图，在中，，，为的中点，为边上一动点，连接，将沿翻折，点落在点处，连接，． （1）求证：； （2）当时，则 °；（直接写出答案） （3）翻折后，当和的重叠部分为等腰三角形时，则 °．（直接写出答案） 17．如图，在中，，为线段的延长线上一点，且，于点，点为上一点，连接． (1)试说明； (2)过作，与交于点，若，则吗？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C C B A A A 1．B 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，即可求得∠ACB=∠ABC，则∠PBC+∠PCB即可求得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°， ∴∠ACB=∠ABC=65°， 又∠PBC=∠PCA， ∴∠PBC+∠PCB=∠PCA+∠PCB=∠ACB=65°， ∴∠BPC=115°． 故选B 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个内角相等，以及三角形的内角和定理． 2．A 【分析】本题主要考查了尺规作图——基本作图．解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，基本作图：作已知角的平分线，线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角． 利用直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，等线段，等角逐一判断即得． 【详解】解：A．此作图是作平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意； B．此作图是作边的垂直平分线，可直接得出，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意； C．此作图是作线段，可直接得出为等腰三角形，此作图正确，不符合题意； D．此作图是作，可得，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意． 故选：A． 3．C 【分析】①根据全等三角形的性质即可判断；②根据轴对称的性质即可判断；③根据等腰三角形三线合一的性质判断即可④；根据等腰三角形的性质求解判断即可；⑤根据等腰三角形的判定方法判断求解即可． 【详解】解：①两个全等的三角形不一定关于某直线对称，故本选项错误，不符合题意； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故本选项正确，符合题意； ③等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故本选项错误，不符合题意； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半， 如图，是等腰三角形，，， 过点A作于点E，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故本选项正确，符合题意； ⑤若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形， 如图，是的外角平分，且， ∵， ∴，， ∵是的外角平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故本选项正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质和判定． 4．C 【分析】根据互为逆命题的关系，将四个选项的题设和结论互换，逐一验证． 【详解】解：A.若a=b，则a2＝b2的逆命题为：若a2＝b2，则a=b，是假命题； B.同位角相等的逆命题为：相等的角是同位角，是假命题； C.两边和一角对应相等的两个三角形全等的逆命题是：全等三角形的对应边相等，对应角相等，是真命题； D.等腰三角形的两底角不相等的逆命题为：两个角不相等的三角形是等腰三角形，是假命题． 故选C． 【点睛】此题主要考查互为逆命题的关系，真假命题的判断，熟练掌握定理、定义是解答本题的关键． 5．B 【分析】此题考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，顶角是， 其底角为． 故选：B． 6．A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 7．A 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得，，利用三角形的内角和定理即可求得，即可求解． 【详解】解：∵、分别垂直平分、， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 8．A 【详解】试题分析：由翻折的性质可知ED⊥AB，∠CBE=∠DBE，从而得到DE是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知BE=AE，故此∠EBA=∠EAB，然后由直角三角形两锐角互余求解即可． 解：∵由翻折的性质可知：∠C=∠EDB=90°，∠CBE=∠DBE， ∴ED⊥AB． 又∵DE是AB的垂直平分线． ∴BE=AE． ∴∠EBA=∠EAB． ∴∠EBA=∠EAB=∠CBE． ∴∠A==30°． 故选A． 考点：翻折变换（折叠问题）． 9．，或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质； 分情况讨论：当是顶角时；当是底角，是顶角时；当、都是底角时；分别利用等腰三角形的两个底角相等结合三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：当是顶角时，， ∴； 当是底角，是顶角时， ∴； 当、都是底角时， ∴； 综上，的度数可能是，或， 故答案为：，或． 10．20cm 【详解】当4为底时，其它两边都为8，4、8、8可以构成三角形，周长为20； 当4为腰时，其它两边为4和8，因为4+4=8，所以不能构成三角形，故舍去， 故答案为：20cm． 11．54 【分析】首先根据三角形内角和定理，求出∠B+∠C的度数；然后根据等腰三角形的性质，表示出∠BDE+∠CDF的度数，由此可求得∠EDF的度数． 【详解】解：△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠A＝108°； △BED中，BE＝BD， ∴∠BDE＝（180°﹣∠B）； 同理，得：∠CDF＝（180°﹣∠C）； ∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣∠FDE； ∴∠FDE＝（∠B+∠C）＝54°． 故答案为54． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理和等腰三角形的性质. 12．②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的“三线合一”等知识点，根据、即可判断④；延长交延长线于，可推出是等腰三角形，证即可判断②③；根据即可判断①； 【详解】解：∵平分平分 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，故④正确； 如图，延长交延长线于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ (ASA)， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，即点E为的中点，故②正确； ∵， ∴，故①错误； 故答案为：②③④ 13． 【分析】先根据三角形的三边关系确定此等腰三角形的三边，再求周长即可． 【详解】解：如果等腰三角形三边长分别是、、，，不能构成三角形； 如果等腰三角形三边长分别是、、，，能构成三角形；那么这时三角形的第三边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系，解答此题的关键是先分情况讨论三角形边长，然后再进一步解答． 14．见解析 【分析】由等腰三角形的性质证明,因为，所以，由等角对等边，即可解决问题． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质证明是解题的关键． 15．（1）DE=BC，4.5；（2） 【分析】(1)证明△ACB≌△DEB，根据全等三角形的性质得到DE=AC=BC=3，根据三角形的面积公式计算； (2)作DG⊥CB交CB的延长线于G，证明△ACB≌△BGD，得到DG=BC=a，根据三角形的面积公式计算； 【详解】(1)∵△ABC是等腰直角三角形，    ∴CA=CB，∠A=∠ABC=45°， 由旋转的性质可知，BA=BD，∠ABD=90°， ∴∠DBE=45°， 在△ACB和△DEB中， ， ∴△ACB≌△DEB(AAS) ∴DE=AC=BC=3， ∴； 故答案为：DE=BC，； (2)作DG⊥CB交CB的延长线于G，      ∵∠ABD=90°， ∴∠ABC+∠DBG=90°，又∠ABC+∠A=90°， ∴∠A=∠DBG， 在△ACB和△BGD中， ， ∴△ACB≌△BGD(AAS)， ∴DG=BC=， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 16．（1）证明见祥解；（2）20；（3）20°或65°或80°或． 【分析】（1）将沿翻折得△FDE，可得∠EDA=∠EDF，AD=FD，根据角和差可得∠ADF=∠EDA+∠EDF=2∠EDA，由点D为AC中点，可得AD=DC=DF，根据等角对等边可得∠DFC=∠DCF，由∠ADF为△DFC的外角，∠ADF=∠DFC+∠DCF=2∠DCF=2∠EDA即可； （2）设DF交AB于G，由，可得∠A+∠ADG=90°，由，可求∠ADF=90°-∠A=90°-50°=40°，将沿翻折得△FDE，可得∠EDA=∠EDF，可求∠ADE=； （3）和的重叠部分为等腰三角形的位置，设∠ADE=x°，分四种情况，当ED=DG时， 50+2x+50+x=180；当EF=ED时，50+x+x=180；当DE=DF时50+x+50=180；当ED=EH时，2x-180=130-x，解方程即可． 【详解】（1）证明：∵将沿翻折得△FDE， ∴∠EDA=∠EDF，AD=FD， ∴∠ADF=∠EDA+∠EDF=2∠EDA， ∵点D为AC中点， ∴AD=DC=DF， ∴∠DFC=∠DCF， ∵∠ADF为△DFC的外角， ∴∠ADF=∠DFC+∠DCF=2∠DCF=2∠EDA， ∴∠DCF=∠EDA， ∴ED∥FC； （2）设DF交AB于G， ∵， ∴∠AGD=90°， ∴∠A+∠ADG=90°， ∵， ∴∠ADF=90°-∠A=90°-50°=40°， ∵将沿翻折得△FDE， ∴∠EDA=∠EDF， ∴∠ADE=， 故答案为20； （3）设∠ADE=x°， 当ED=DG时，∠GDE=∠ADE=x°，∠DEG=∠DGE， ∵∠GED为△AED外角， ∴∠EGD=∠GED=∠A+∠ADE=50°+x°， ∵∠A+∠ADG+∠AGD=180°， ∴50+2x+50+x=180， 解得x=20， ∴∠ADE=20°， 当EF=ED时， ∵沿翻折， ∴EF=AE， ∴AE=ED， ∴∠AED=∠ADE=x°， ∵∠A+∠ADE+∠AED=180°， ∴50+x+x=180， 解得x=65， ∴∠ADE=65°， 当DE=DF时， ∵沿翻折， ∴AD=FD， ∴AD=DE， ∴∠A=∠AED=50°， ∵∠A+∠ADE+∠AED=180°， ∴50+x+50=180， ∴x=80， ∴∠ADE=80°， 当ED=EH时，设EF与AC交于H， ∴∠EDH=∠EHD=180°-x°， ∴∠DEH=180°-2∠EDH=180°-2（180°-x°）=2x°-180°，∠AED=180°-50°-x°=130°-x° ∵沿翻折， ∴∠AED=∠DEH， 2x-180=130-x， 解得， ∴当和的重叠部分为等腰三角形时，则20°或65°或80°或． 故答案为20°或65°或80°或． 【点睛】本题考查折叠性质，线段中点，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和，列一元一次方程及其解法，掌握折叠性质，线段中点，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和，列一元一次方程及其解法，分类思想的运用，以及准确画出分类图形是解题关键． 17．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】(1 )根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明∠BAC=∠BDE，再由直角三角形的两锐角互余的性质，便可得结论； (2)先证明，∠AFB=∠AGC，就可以证明△ABF≌△ACG，便可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）． 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴180°-∠AFE=180°-∠CGD ∴∠AFB=∠AGC 在Rt∆ABF和Rt∆ACG中 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，关键是证明三角形的全等． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$