5.3（第1课时）实际问题与一元一次方程（配套问题和工程问题）（同步课件）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024）

数学 人教版 七年级上册 一元一次方程 第五章 1 5.3（第1课时） 实际问题与一元一次方程 （配套问题和工程问题） 第5章 一元一次方程 2 情境引入 某中学学生暑假到工厂参观，若车间共48位工人，每人每分钟可生产5支中性笔套或3支中性笔芯，某中性笔套盒有1支中性笔套和2支中性笔芯.他们如何配合，才能使生产的笔套和笔芯刚好配套？ 新知探究 生活中，有很多需要进行配套的问题，如餐桌和椅子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机轴等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？ 新知探究 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺钉或 2 000 个螺母. 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 思考： 本题需要我们解决的问题是什么？ 题目中哪些信息能解决人员安排的问题？ 螺母和螺钉的数量关系如何？ 如果设 x 名工 人生产螺钉，怎 样列方程？ 新知探究 列表分析： 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺钉 x 1200 螺母 2000 × ＝ 1200 x 人数和为22人 22－x 螺母总产量是螺钉的 2 倍 × ＝ 2000(22－x) 等量关系：螺母总量 = 螺钉总量×2 新知探究 解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x) 名工人生产螺母. 依题意，得 2000(22－x)＝2×1200x . 解方程，得 x＝10. 所以 22－x＝12. 答：应安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母. 新知探究 列表分析： 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 产品套数 螺钉 x 1200 螺母 2000 1200 x 22－x 2000(22－x) 1200 x 法二：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x) 名工人生产螺母. 依题意，得 解方程，得 x＝10. 所以 2－x＝12. 新知探究 归纳总结 生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程.解决配套问题的思路： 1. 利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据； 2. 利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据. 新知探究 某中学学生暑假到工厂参观，若车间共48位工人，每人每分钟可生产5支中性笔套或3支中性笔芯，某中性笔套盒有1支中性笔套和2支中性笔芯.他们如何配合，才能使生产的笔套和笔芯刚好配套？ 若设其中x人生产笔套，则生产笔芯的人数为 人，根据题意，可列方程 ． (48－x) 2×5x＝3(48－x) 新知探究 小学我们学过工程问题，请回答下列问题： 1. 一项工作甲单独做需要5天完成，乙单独做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________，此时剩余的工作量是_____. 2. 一项工作甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________，此时剩余的工作量是_________. 学习笔记 新知探究 工作量、工作时间、工作效率的关系： 1. 工作量=___________ × ____________； 3. 工作效率=___________÷____________. 工作时间 工作效率 工作量 工作效率 工作量 工作时间 为简便起见，通常设总工作量为“1”. 2. 如果工程为多方合作完成， 则合作完成时的工作效率是各方的工作效率相加. 1. 如果已知工作时间，那么“时间的倒数”就是工作效率. 2. 工作时间=___________÷____________； 典例精析 例1 如图，足球是由 32 块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，黑皮各多少块. 分析：由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的 2 倍． 数量 边数 黑皮 x 5x 白皮 32 - x 6(32 - x) 等量关系： 白皮边数 = 黑皮边数×2 典例精析 例1 解：设足球上黑皮有 x 块，则白皮为 (32 - x) 块， 五边形的边数共有 5x 条，六边形边数有 6(32 - x) 条. 依题意，得 2×5x = 6(32 - x). 解得 x = 12. 则 32 - x = 20. 答：白皮 20 块，黑皮 12 块. 典例精析 例2 整理一批数据，由一人做需80 h完成，现在计划先由一些人做2 h，再增加5人做8 h，完成这项工作的 ，应该怎样安排参与整理数据的具体人数？ 解：设开始安排x人做． 依题意，得2× x＋8× (x＋5)＝ ， 解得x＝2. 答：应该先安排2人做2 h后，再增加5人做8 h. 典例精析 例3 某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼，制作1块大月饼要用面粉0.05 kg，制作1块小月饼要用面粉0.02 kg，现共有面粉4500 kg，制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？ 解：设制作大月饼用 x kg面粉， 制作小月饼用（4500 – x） kg面粉， 才能生产最多的盒装月饼. 解得 x = 2500，4500 – x = 4500 – 2500 = 2000. 即制作大月饼用2500 kg面粉，制作小月饼用2000 kg面粉，才能生产最多的盒装月饼. 根据题意，得 学习笔记 典例精析 1．配套问题：关键是明确题目中的数量关系，根据数量关系列出方程． 2．工程问题：常把总工作量看作1，再利用 “工作量＝人均效率×人数×时间”的关系列出方程． 3．用一元一次方程解决实际问题的基本步骤包括： (1)审清题意，找 ； (2)设 ，一般设所求的量为未知数； (3)列方程；(4)解方程；(5)检验；（6）作答． 等量关系 未知数 解：设 x 天制作甲种零件． 依题意，得 解得x＝5. 答：安排5天制作甲种零件. 典例精析 例4 某人一天能加工甲种零件 50 个或加工乙种零件 20 个，1 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，30 天制作最多的成套产品，则安排多少天制作甲种零件？ 2×50x = 20(30－x) 典例精析 一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成，现在先由甲单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合做. 剩下的部分需要几小时完成？ 解：设剩下的部分需要 x 小时完成，根据题意得： 解得 x = 6. 答：剩下的部分需要 6 小时完成. 例5 典例精析 例6 刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单独绣需要12天完成．现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙 两人合绣．问再绣多少天可以完成这件作品？ 解：设再绣x天可以完成这件作品． 由题意，得 解得x＝4. 答：再绣4天可以完成这件作品． 典例精析 例7 一个水池有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是进水管，丙是出水管，单开甲管20 min可将水池注满，单开乙管15 min可将水池注满，单开丙管25 min可将满池水放完．现在先开甲、乙两管，4 min后关上甲管开丙管，问又经过 多少分钟才能将水池注满． 工作量 工作效率 工作时间/min 甲 ×4 4 乙 (4＋x) 4＋x 丙 x x 典例精析 例7 解：设又经过x min才能将水池注满， 根据题意得： ×4＋ (4＋x)－ x＝1， 解得x＝20. 答：又经过20 min才能将水池注满． 典例精析 例8 某工程队承包了某段全长1 755 m的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6 m，经过5天施工，两组共掘进了45 m. (1)求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米． (2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中， 甲组平均每天能比原来多掘进0.2 m，乙组平均每 天能比原来多掘进0.3 m．按此施工进度，能够比 原来少用多少天完成任务？ 典例精析 例8 解：(1)设乙班组平均每天掘进x m，则甲班组平均 每天掘进(x＋0.6) m. 根据题意，得5x＋5(x＋0.6)＝45. 解得x＝4.2.则x＋0.6＝4.8. 答：甲班组平均每天掘进4.8 m，乙班组平均每天掘进4.2 m. (2)改进施工技术后， 甲班组平均每天掘进4.8＋0.2＝5(m)； 乙班组平均每天掘进4.2＋0.3＝4.5(m)． 典例精析 例8 改进施工技术后，剩余的工程所用时间为 (1 755－45)÷(5＋4.5)＝180(天)． 按原来速度，剩余的工程所用时间为 (1 755－45)÷(4.8＋4.2)＝190(天)． 少用天数为190－180＝10(天)． 答：能够比原来少用10天完成任务． 一元一次方程与实际问题（1） 配套问题 1. 利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据； 2. 利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据. 工程问题 工作量 = 工作效率×工作时间. 工作总量 = 各部分工作量之和. (1) 按工作时间，工作总量 = 各时间段的工作量之和； (2) 按工作者，工作总量 = 各工作者的工作量之和. 随堂演练 1.在加固某段河坝时，需要动用15台挖土、运土机械，每台机械每小时能挖土18 m3或运土12 m3，为了使挖出的土能及时运走，若安排x台机械挖土，则可列方程为(　　) A．18x－12x＝15 B．18x＝12(15－x) C．12x＝18(15－x) D．18x＋12x＝15 B 随堂演练 2.41人参加运土劳动，有30根扁担，安排多少人抬，多少人挑，可使扁担和人数相配不多不少？若设有x人挑土，则可列方程为(　　) A．2x－(30－x)＝41　　　B. ＋(41－x)＝30 C．x＋ ＝30 D．30－x＝41－x C 3.某工人原计划每天生产a个零件，现在实际每天多生产b个零件，则生产m个零件提前的天数为(　　) A. 　　　　　 B. C. D. B 随堂演练 4.某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先干1天，然后甲、乙合作完成此项工程，若设甲一共做了x天，则所列方程为(　　) A. B. C. D. C 随堂演练 5.教室里有40套桌椅(一把椅子配一张桌子)，总价值2 800元，每把椅子20元，则每张桌子多少元？设每张桌子x元，可列方程为( ) 　A．40x＋20＝2 800 B．40x＋40×20＝2 800 　C．40(x－20)＝2 800 D．40x＋20(40－x)＝2 800 B 6．一项工作中，甲单独做需要10 h完成，乙单独做需要15 h完成，那么甲每小时完成总工作量的 ，乙每小时完成总工作量的 ．若设甲、乙合作需要x h完成，则可列方程为 ，解得x＝ ． 6 随堂演练 7.一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件.现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做 B 部件，才能恰好配成整数套这种仪器？共配成多少套？ 解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用 (6－x) 立方米钢材做 B 部件. 根据题意，列方程得 3×40x = (6－x)×240. 解得 x = 4. 则 6－x = 2. 共配成仪器 4×40 = 160 (套). 答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套. 随堂演练 8.某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓12个或螺帽18个，两个螺栓要配3个螺帽．应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 解：设应安排x名工人生产螺栓，则(28－x)名工人生产螺帽． 根据题意，得3×12x＝2×18(28－x)， 解得x＝14. 所以28－x＝14.　 答：应安排14名工人生产螺栓，14名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 随堂演练 9.某配件厂原计划每天生产60件产品，改进技术后，工作效率提高了20%，这样不仅提前5天完成了生产任务，并且比原计划多生产了48件产品，求原计划要生产多少件产品． 解：设原计划要生产x件产品． 根据题意，得 － ＝5， 解得x＝2 040. 答：原计划要生产2 040件产品． ＋＝1 $$