四川省成都市成都七中万达集团校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

成都七中万达学校 2024-2025 学年度上期高 2023 级半期考试 数学答案 一、单项选择题 1-5 DBADA CCD 二、多项选择题 9. BC 10.ABD 11.AC 三、填空题 ( 2 )12. 91 13. 3 14. − 四、解答题 15【解析】（1）由题意得：直线l 斜率k = ，:直线l 方程为：y = ，即2x ； 设求点 O 到直线l 的距离为d ,则d = （2）由题意知：①直线l 在两坐标轴的截距都为0 ，可设l : y = kx ，显然 k 存在，又l 过 P（1 ，2）, ∴2x − y = 0 ②直线l 在两坐标轴的截距不为0 ，可设l : 则 ，解得： 1 ， ∴ x +1 = 0 .综上，直线l 的一般式方程为2x − y = 0 或x-y+1 = 0 16.解 (1)由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x＋0.005 0＋0.002 5) ×20＝1 得x ＝0.007 5， 所以直方图中x的值是 0.007 5. 220＋240 (2)月平均用电量的众数是 2 ＝230.因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20 ＝0.45<0.5， 且(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20 ＝0.7>0.5，所以月平均用电量的中位数在[220 ，240)内，设中位数为a，由 (0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a－220) ＝0.5，解得a ＝224，所以月平均用电量的中位数是 224. (3)月平均用电量为[240 ，260)的用户有 0.007 5×20×100 ＝15(户)，月平均用电量为[260 ，280)的用户有 0.005×20×100 = 10(户)，抽样方法为分层抽样，在[240 ，260) ，[260 ，280) ，[280 ，300]中的用户比为 3 ∶2， 所以在[240 ，260) ，[260 ，280)中分别抽取 3 户、2 户. 设参加节目的 2 户来自不同组为事件 M，将来自[240 ，260)的用户记为 a ，b ，c，来自[260 ，280)的用户记为 A ，B.从 中任取 2 人的样本点有(a ，b) ，(a ，A) ，(a ，B) ，(a ，c), (b ，c) ，(b ，B) ，(b ，A) ，(c ，A) ，(c ，B) ，(A ，B)共 10 个，其中事件 M 的样本点有(a ，A) ，(a ，B) ，(b ，B) ，(b ，A) ，(c ，A) ，(c ，B)共 6 个. 所以恰有一位男生的概率 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 17 ． 【详解】（1）证明：因为PD 丄 底面ABCD ， CD 面ABCD，所以 PD 丄 CD ．又 CD 丄 AE ， AE PD = E 故 CD 丄 平面PAD ．又AD 平面PAD ，所以AD 丄 CD . （2）解：由（1）知，PD 、AD 、DC 三线两两垂直，可建立如图所示空间直角坐标系D − xyz ，所以A(1, 0, 0)， B (1,1, 0) ，C (0, 2, 0) ，P (0,0,1) ，设E(0, 0, t ) ，则 PC = (0, 2, −1) ，BC = (−1,1, 0)设平面PBC 的法向量为 n = (x1, y1, z1 ) 则 ，令y1 = 1 ，得x1 = 1 ，z1 = 2 ，所以 ， 又因为：AE 丄 n ，且 AE = (−1,0, t ) ，所以 AE. n = (1,1, 2). (−1, 0, t ) = t − = 0 解得： 所以 ，EB = 与平面PBC 所成角为α ,所以 sinα = = 所以EB 与平面PBC 所成角的正弦值为 18.【解析】 （1）设甲连胜三场为事件 N ，由题可知，事件 N 为：第一局甲乙比赛甲胜，第二局甲、丙比赛甲胜，第三局甲、乙 比赛甲胜. ∵每局比赛相互独立且没有平局 （2）设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件A ，B ，C ，则 A ，B ，C 相互独立，设比 赛完 3 局时，甲、乙、丙各胜 1 局为事件M ，则 M = AC AB ， 则P(M ) = P (AC)+ P(AB ) = P (A)P (C )+ P(A)P 所以甲、乙、丙各旁观 1 局的概率为 . 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 （3）设甲、乙、丙第i 局比赛获胜分别为事件Ai ，Bi ，Ci ，i = 1, 2,3, 4,5 ，设比赛完 5 局乙获得最终胜利为事件D ， 则D = B1B2 A3A4 B5 + B1B2 A3 C4B5 + B1C2 A3B4B5 + B1C2 C3B4B5 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 3 3 54 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 )P (B1B2 A3A4B5 ) = P (B1 )P (B2 )P (A3 )P (A4 )P (B5 ) = 2 × 3 × 2 × 3 × 2 = 72 ， P (B1B2 A3C4B5 ) = P (B1 )P (B2 )P (A3 )P (C4 )P (B5 ) = × × × × = P (B1C2 A3B4B5 ) = P (B1 )P (C2 )P (A3 )P (B4 )P (B5 ) = 2 × 3 × 3 × 2 × 3 = 54 P (B1C2 C3B4B5 ) = P (B1 )P (C2 )P (C3 )P (B4 )P (B5 ) = 2 × 3 × 3 × 3 × 2 = 27 所以 .所以，已知比赛进行 5 局后结束，甲获得最终胜利的概率为 . 19. 【解析】 ( 3 3 )（1）证明：连接 AC ，因为CG = 1 CP, AF = 1 AP ，所以 FG//AC,又FG 丈面ABCD , AC 面ABCD ,所以 FG//面 ABCD. 又 FG 面EFG ，平面EFG∩ 平面ABCD = l ，所以l//FG （2）如图，以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则有 ( ( ) ( ) ( ) )A ( − 2 , 0, 0), B (0, 2 , 0), C ( 2 , 0, 0), D (0, − 2 , 0), E |(0, , , , G |( , 0, , , F (| − , 0, , , O (0, 0, 0), P (0, 0, 2 )， ( 4 ) ( 2 ) 可得FG = |( 3 , 0, 0, , EG = (| 3 , − 2 , − 6 , ， 设平面EFG 的法向量n = (a, b, c) ，则 c = 0 ， 令b = 1，则a = 0, c = −3 ，即 n = (0,1, −3) ，显然面 ABCD 法向量m = (0, 0,1) 记平面 EFG 和平面 ABCD 夹角为 则cosα = 所以平面 EFG 和平面 ABCD 夹角的余弦值为3 10 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 （3）①设四棱锥P− ABCD 的内切球的半径为r ， ∵ P− ABCD 的体积× 2× 2× 表面积 S = 2× 2 + 4 × × 2× 2× = 4 (1+ )，则 ②在（2）建立的空间直角坐标系下，设四棱锥P− ABCD 内切球的球心为H ,显然H 坐标为 设平面ABCD的任一点坐标 ，则 由n. EM = 0 × x+ 解得y = − ,可得交线l 满足y = − , x ∈ R, z = 0 ， 令x = 0 ，可得交线l 与y 轴的交点为D(0, − , 0) ，K 即为点D .设四棱锥P− ABCD 表面上任一点T(x, y, z)， 则 TA 2 + TC 2 = (x+ )2 + y2 + z2 + (x − )2 + y2 + z2 = 2 (x2 + y2 + z2 )+ 4 ， TB2 + TK 2 = TB2 + TD 2 = x2 + (y − )2 + z2 + x2 + (y + )2 + z2 = 2 (x2 + y2 + z2 )+ 4 ， 可得 TA 2 + TB 2 + TC 2 + TK 2 = 4 (x2 + y2 + z2 )+ 8 ，且 TP 2 ( 2 )= x2 + y2 + (z − 2 ) 故 = 4 + ), (x2 + y2 + z2 ) − z + 8+ = |((4 + ), (x2 + y2 + z2 -（ ）z)+8 + 表示点T到点 H 的距离的平方， 当T(x, y, z) 为四棱锥P− ABCD 的内切球与5 个表面的切点时，满足题意. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都七中万达学校 2024-2025 学年度上期高 2023 级半期考试 数学试卷 满分:150 分 考试时间：120 分钟 命题人:曾威 审题人：谢章艳 开卷寄语：如果在胜利前却步，往往只会拥抱失败；如果在困难时坚持，常常会获得新的成功。 第 I 卷（选择题，共 58 分） 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.） 1.直线 x+y＋2 ＝0 的倾斜角是( ) A.30° B.45 ° C.90° D. 135 ° 2.为了解高二（1）班 52 名同学的牙齿健康状况，需从中抽取 10 名同学做医学检验，现已对 52 名同学编 号为 01 ，02 ，ⅆ , 50 ，51 ，52.从下面所给的随机数表中的第 1 行第 3 列的 5 开始从左向右读下去，则选 取的第 5 个号码为( ) 0154 3287 6595 4287 5346 7953 2546 5741 3369 8324 4597 7386 5244 3578 6241 A.33 B.41 C.46 D.25 3. 已知a = (2, −1, 2), b = (−4, 2, x) ，a⊥b ，则x 的值为( ) A.5 B.4 C. −4 D. −5 4 ．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度 下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( ) A. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最多 B.消耗 1L 汽油，乙车最多可行驶 5km C.丙车以80 km/h 的速度行驶 1h 消耗 8L 汽油 D.若某路段机动车最高限速 60km/h，在相同条件下，丙车比乙车更省油 第 1页 ，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 5. 已知直线 l1 ：ax－y－3 ＝0 ，l2：x－ay＋3 ＝0，则“a ＝1 ”是“l1 ∥l2 ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.某同学掷骰子 5 次，记录了每次骰子出现的点数，则从以下情况中可以判断出这组数据一定没有出现点 数 6 的是( ) A.平均数为 2.8，中位数为 2 B. 中位数为 2，众数为 1 C.平均数为 2，方差为 3 D. 中位数为 3，方差为 2.8 7.在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC ＝2 ，点 P 是边 AB 上异于 A 、B 的一点．光线从点 P 出发，经 BC、 CA 反射后又回到点 P(如图所示) ．若AR= ，则AP 的长度为( ) 2 A. B.1 3 C. 或 1 D. 或 1 8.设 Ox ，Oy ，Oz 是空间中两两夹角都为 θ 的三条数轴，e1，e2，e3 分别是与 x，y，z 轴正方向同向的单位向 量，若OP = xe1 + ye2 + ze3 ，x，y ，z∈R，则把有序数对(x，y，z )θ 叫做向量OP 在坐标系 O-xyz 中的坐 标，则下列说法正确的是( ) A.若a = (2，6，− 3)θ , b = (3，−1，0)θ ,则a + b = (6，-6，0)θ ; B.若a = (2，6，− 3)θ , b = (3，−1，0)θ ,则 ab = 0 ； C.若a = (x，y，0)θ , b = (3，1，0)θ ,则当且仅当 x:y=3:1 时, 向量a 与b 的夹角取得最小值； D.若OA = (2, 0, 0)π , OB = (0, 2, 0)π , OC = (0, 0, 2)π ,则三棱锥 O-ABC 的表面积为43 . 3 3 3 二、多项选择题（共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.每小题的四个选项中，有多个符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是 5 ”，乙表示事件“两次骰 子正面向上的数字之和是 7 ”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是 12 ”，则下列说法正确的是 ( ) A. 甲、乙对立 B. 甲、丙互斥 C. 甲、乙相互独立 D. 乙、丙相互独立 第 2页 ，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 10.下列说法中错误的是( ) A.经过定点P0 (x0, y0 ) 的直线都可以用方程y − y0 = k(x − x0 ) 来表示 B.不经过原点的直线都可以用方程表示 C.经过任意两个不同点 P1(x1，y1) ，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1) ＝(y2－y1)·(x－x1)表示 D.过两条已知直线 A1x＋B1y＋C1 ＝0 和 A2x＋B2y＋C2 ＝0 交点的直线都可以用方程为 A1x＋B1y＋C1 + λ(A2x＋B2y＋C2) ＝0 表示 11 ．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角 ( PD = CD = AD = 2 ， )三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P − ABCD 中，侧棱PD 丄 底面ABCD ， M , N, G 分别为PA, PC, PB 的中点，则下列说法正确的是( ) A. 四面体N − BCD 是鳖臑 B. CG 与MN 所成角的余弦值是 C.过点M , N, B 的平面截四棱锥P − ABCD 的截面面积为 D.若E 为该四棱锥外接球上的一点，则EB . EC 的最大值为4 + 2 3 第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分） 三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 国庆节前夕，某市举办以“红心颂党恩、喜迎二十大”为主题的青少年学生演讲比赛，其中 10 人比赛的 成绩从低到高依次为：85 ，86 ，88 ，88 ，89 ，90 ，92 ，93 ，94 ，98（单位：分），则这 10 人成绩的第 60 百分位数是 . → → → 13.在正四面体 P－ABC 中，M 是线段 PA上的一点，且 AM＝2MP，N 是 BC 的中点，若MN＝xPA＋yPB → +zPC，则 x＋y＋z 的值为 . 14.若二次函数f (x) = ax2 + (1− 2b)x − a −1 在区间[0,3] 上存在零点，则 a2 + b2 − 2b的最小值为 . 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.其中 15 题 13 分，16 题—17 题每题 15 分，18 题— 19 题每题 17 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知直线l 经过点P(1, 2) ，O 为坐标原点. (1)若直线l 过点Q (−2, 0) ，求直线l 的一般式方程，并求点O 到直线l 的距离； (2)若直线l 在两坐标轴上的截距之和为 0，求直线l 的一般式方程. 第 3页 ，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 16.某城市 100 户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160 ，180) ，[180，200) ，[200，220) ，[220，240)， [240 ，260) ，[260 ，280) ，[280 ，300]分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中x 的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数； (3)在月平均用电量为[240 ，260) ，[260 ，280)的两组用户中， 用分层抽样的方法抽取 5 户居民，并从抽取的5 户中任选 2 户 参加一个访谈节目，求参加节目的 2 户来自不同组的概率. 17.如图，在四棱锥P－ABCD 中，PD 丄 底面ABCD ，AB //DC ， CD = 2AB = 2AD = 2PD = 2 ， E 为棱PD 上异 P、D 的动点, CD 丄 AE . (1)求证：AD 丄 CD ; (2)若AE // 平面PBC ，求 BE 与平面PBC 所成角的正弦值. 18.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败 者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜 3 局，则该人 获得最终胜利, 比赛结束.三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛 中，甲、乙比赛甲胜概率为 ，乙、丙比赛乙胜概率为 ，丙、甲比赛丙胜概率为 ，每局比赛相互独 立且没有平局. (1)甲通过前 3 局连胜获得最终胜利的的概率； (2)比赛完 3 局时，求甲、乙、丙各旁观 1 局的概率； (3)已知比赛进行 5 局后结束，求乙赢下第 1 局且获得最终胜利的概率. 19.正四棱锥P− ABCD 中，PA = AB = 2 ，E 为PB 中点， 平面EFG平面ABCD = l ，平面EFGAD = K (1)求证l//FG ; (2)求平面EFG 和平面ABCD 夹角的余弦值; (3)①求四棱锥P− ABCD 的内切球的半径; ②若 T 为四棱锥P− ABCD 表面上一动点（包括顶点），是否存在正数 m，使得有且仅有 5 个点 T 满足 第 4页 ，共 4页 学科网（北京）股份有限公司 ( 4 3 ) 3 ( 2 2 2 )TP + TA + TB + ( 2 2 )TC + TK = m ，若存在，求 m 的值，若不存在，请说明理由. $$