2025年广西九年级中考数学二轮复习题型突破课件：压轴题综合练

压轴题综合练(一)(T25-T26) 25.(本题满分10分)为了测量抛物线的开口大小,某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置,并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系(图1),该数学小组选择不同位置测量数据如表所示,设BD的读数为x,CD读数为y,抛物线的顶点为C. (1)(Ⅰ)列表: (Ⅱ)描点:请将表格中的(x,y)描在图2中; (Ⅲ)连线:请用平滑的曲线在图2将上述点连接,并求出y与x的表达式; 项目 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 【解析】(1)描点连线绘制函数图象如下: 抛物线过点O,故设抛物线的表达式为y=ax2+b, 将(2,1),(3,2.25)代入上式得,,解得, 则抛物线的表达式为y=x2(x≥0); (2)如图3所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-h)2+k的顶点为C,该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB,竖直跨度为CD,且AB=m,CD=n,为了求出该抛物线的开口大小,该数学兴趣小组有如下两种方案,请选择其中一种方案,并完善过程: 方案一:将二次函数y=a(x-h)2+k平移,使得顶点C与原点O重合,此时抛物线表达式为y=ax2. ①此时点B'的坐标为　　　　;  ②将点B'的坐标代入y=ax2中,解得a=　　　　;(用含m,n的式子表示)  方案二:设C点坐标为(h,k). ①此时点B的坐标为___________;  ②将点B的坐标代入y=a(x-h)2+k中,解得a=　　　　; (用含m,n的式子表示)  (m,n) (n+m,k+n) 【解析】 (2)方案一:点B'(m,n); 将点B'的坐标代入抛物线表达式得,n=a×m2,则a=; 方案二:点B(h+m,k+n),将点B的坐标代入抛物线表达式得,k+n=a(h+m-h)2+k, 解得a=; (3)【应用】如图4,已知在平面直角坐标系xOy中有A,B两点,AB=4,且AB∥x轴,二次函数C1:y1=2(x+h)2+k和C2:y2=a(x+h)2+b都经过A,B两点,且C1和C2的顶点P,Q距线段AB的距离之和为10,若AB∥x轴且AB=4,求a的值. 【解析】 (3)对于二次函数C1有m=4,由a=得2=,解得n=8, 则C2顶点距线段AB的距离为10-n=2,当a>0时,则a===; 当a<0时,同理可得,a=-,综上,a=±. 26.(本题满分10分)综合与实践:折纸中的数学. [问题背景]在数学活动课上,老师展示一张直角三角形纸片,如图1,在Rt△ABC中, ∠C=90°,AC=8,BC=6.老师提出问题:如图,把Rt△ABC沿着直线DE折叠,D,E分别是AB和BC上的点,顶点B的对应点B'恰好落在线段AC的中点处,求CE的长. 接下来各学习小组先解决老师提出的问题,然后动手操作起来,发现很多有趣的数学问题,请你解决他们提出的问题. [解决问题] (1)“勤奋”小组解答老师提出的问题的过程如下:(填空) 解:由折叠可知,B'E=　　　　, 设CE=x,则B'E=6-x. 在Rt△B'CE中,由勾股定理得_________, 解得x=　　　,即CE的长为　　　.  BE x2+42=(6-x)2 【解析】(1)由折叠可知,B'E=BE,设CE=x,则BE=6-x=B'E. 在Rt△B'CE中,由勾股定理得x2+42=(6-x)2,解得x=,即CE的长为. [深入探究] (2)“奋斗”小组将直角三角形纸片ABC按图2方式折叠,点B'落在线段AC上,发现当四边形B'EBD为菱形时,求B'C的长有点困难; “夺冠”小组的思路是:连接B'B,过点B'作B'F⊥AB于点F,根据等面积法,…. 请你参照“夺冠”小组的思路求出B'C的长. 【解析】 (2)如图,作B'F⊥AB于F.连接BB'. ∵四边形BEB'D是菱形,∴∠B'BD=∠B'BE, ∵B'C⊥BC,B'F⊥AB,∴B'C=B'F,设B'C=B'F=x. 在Rt△ABC中,∵BC=6,AC=8,∴AB===10, ∵S△ABC=S△BCB'+S△ABB',∴·AC·BC=·BC·x+·AB·x,∴x=3,∴B'C=3. [拓展探究] (3)“探究”小组发现,如图3,若E是BC的中点,点D在线段AB上运动,将直角三角形纸片ABC按图3方式折叠,连接AB',AB'是否存在最小值?若存在,请你直接写出AB'的最小值;若不存在,请简要说明理由. 【解析】(3)如图,连接AE,AB'. 在Rt△ACE中,∵AC=8,EC=3,∴AE===, ∵EB=EC=EB'=3,∴AB'≥AE-B'E,∴AB'≥-3,∴AB'的最小值为-3. 本课结束 $$ 压轴题综合练(八)(T25-T26) 25.(本题满分10分)我们约定:若两个函数关于点P(0,1)中心对称,则称这两个函数互为“星星函数”. (1)按此约定,y=2 024x-2 024的“星星函数”是___________________;  【解析】(1)设点M(m,2 024m-2 024)是y=2 024x-2 024上的点,则该点关于(0,1)的对称点为(-m,2 026-2 024m),则对称点在函数y=2 024x+2 026上. y=2 024x+2 026 (2)对于函数y=x2+mx-1的“星星函数”,当m≤x≤m+1时,y都大于0,求m的取值范围; 【解析】 (2)新函数的表达式为y=-x2+mx+3, 函数的对称轴为x=-=,当m≥0,且m≤x≤m+1时,函数y的值随着x的增大而减小,要使y都大于0,则需要x=m+1时,y>0,即-(m+1)2+m(m+1)+3>0, 解得m<2,即0≤m<2;当m<0时,函数的对称轴为x=-=,当x>时,y随x的增大而减小,当x<时,y随x的增大而增大,(m,3)关于函数对称轴对称的点为(0,3), ①当m+1>0时,要使y都大于0,则需要x=m+1时,y>0,由上可知m<2,即-1<m<0; ②当m+1≤0时,要使y都大于0,则需要x=m时,y>0,即-m2+m×m+3>0, 上式恒成立,即m≤-1,综上m<2; (3)已知y=-x2+bx+c(c>0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,它的“星星函数”与x轴交于D,E两点,与y轴交于点F.若OC·OF=OA·OB(O为坐标原点),设△DEC的面积为S,有12≤S≤4,令K=4x2+bx-b,求K的最小值. 【解析】 (3)由新定义得,新函数的表达式为y=x2+bx-c+2,则OC=c,OF=|-c+2|,而OA·OB=2c=OC·OF=|-c+2|×c,解得c=0(舍去)或4,则新函数的表达式为y=x2+bx-2. 设点D,E的横坐标分别为m,n,则m+n=-2b,mn=-4, 则|m-n|==2,则S=×|m-n|×CO=2|m-n|. ∵12≤S≤4,即12≤4≤4,解得≤b≤7或-7≤b≤-. 对于K=4x2+bx-b,当x=-b时,K取得最小值,此时,K=-b2-b,该函数的对称轴为直线b=-8,∵-7≤b≤-或≤b≤7,故当b=7时,K取得最小值,为-. 26.(本题满分10分)综合与实践: 综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动. 【操作判断】 操作一:如图1,正方形纸片ABCD,将∠B沿过点A的直线折叠,使点B落在正方形ABCD的内部,得到折痕AE,点B的对应点为M,连接AM;将∠D沿过点A的直线折叠,使AD与AM重合,得到折痕AF,将纸片展平,连接EF. (1)根据以上操作,易得点E,M,F三点共线,且①∠EAF=　　　　°;  ②线段EF,BE,DF之间的数量关系为　　　　　　　.  45 EF=BE+DF 【解析】(1)①∵四边形ABCD是正方形,∴∠C=∠BAD=90°, 由折叠的性质可知,∠BAE=∠MAE,∠DAF=∠MAF, ∴∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD=45°,即∠EAF=45°. ②由折叠的性质可知,BE=ME,DF=MF,∵EF=ME+MF ∴EF=BE+DF. 【深入探究】 操作二:如图2,将∠C沿EF所在直线折叠,使点C落在正方形ABCD的内部,点C的对应点为N,将纸片展平,连接NE,NF. 同学们在折纸的过程中发现,当点E的位置不同时,点N的位置也不同,当点E在BC边上某一位置时(点E不与点B,C重合),点N恰好落在折痕AE上,此时AM交NF于点P,如图3所示. (2)小明通过观察图形,得出这样两个结论:①AP=BE+DF;②∠BAE=30°.请任意选择其中一个结论判断其是否正确,并说明理由. 【解析】(2)选择结论①. 结论①是正确的,理由如下: ∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°. 由折叠的性质可知,BE=ME,DF=MF,∠AME=∠B=∠C=∠ENF=90°, ∴∠ANF=∠AMF=90°,又∵∠APN=∠FPM,∴∠NAP=∠NFE. 由(1)得∠EAF=45°,∴△ANF是等腰直角三角形.∴AN=FN. ∴△ANP≌△FNE(ASA).∴AP=EF.∵EF=EM+FM=BE+DF,∴AP=BE+DF. 或选择结论②. 结论②是正确的,理由如下: 由折叠的性质可知,∠BAE=∠MAE,∠CFE=∠NFE,∠AFD=∠AFM. 易得△ANF是等腰直角三角形,∴∠AFN=45°, ∴∠AFD=∠AFM=∠AFN+∠NFE=45°+∠NFE. ∵∠AFD+∠AFM+∠CFE=180°,∴2×(45°+∠NFE)+∠NFE=180°. ∴∠NFE=30°.∵∠APN=∠FPM,∠ANF=∠AMF=90°, ∴∠NAP=∠NFE=30°.∴∠BAE=30°. 【拓展应用】 (3)若正方形纸片ABCD的边长为3,当点N落在折痕AE或 AF上时,请直接写出线段BE的长. 【解析】(3)分两种情况讨论: ①当点N落在折痕AE上时,如题图3所示,易得∠BAE=30°,∴BE=AB=. ②当点N落在折痕AF上时,如图4所示, 设BE=ME=x,则EN=EC=3-x.易得△ANE是等腰直角三角形, ∴AE=EN=(3-x).在Rt△ABE中,由勾股定理,得32+x2=[(3-x)]2, 解得x=6-3或6+3(舍去).∴BE=6-3.综上所述,线段BE的长为或6-3.   本课结束 $$ 压轴题综合练(六)(T25-T26) 25.(本题满分10分)阅读与思考:阅读下列材料,完成后面任务.利用二次函数的图象解不等式,我们知道,利用一次函数的图象可以解一元一次不等式,那么对于不等式x2-2x-3>0,如何求它的解集呢?我们可以类比前面的学习经验来解决这个问题. 第一步:画出二次函数y=x2-2x-3的图象. 列表: x -2 -1 0 1 2 3 4 y 5 0 -3 -4 -3 0 5 描点、连线,如图1所示. 第二步:确定二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点. 由图象可以看出,二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点为(-1,0)和(3,0). 第三步:确定不等式x2-2x-3>0的解集. 由图象可知,当x<-1或x>3时,二次函数y=x2-2x-3的图象位于x轴的上方,y>0, 即x2-2x-3>0,∴不等式x2-2x-3>0的解集为x<-1或x>3, 同理,可得不等式x2-2x-3<0的解集为-1<x<3. 任务:(1)利用二次函数的图象解不等式x2-2x-3>0,主要体现的数学思想是_____.  (从下面选项中选出一个) A.数形结合思想　　　　　　　B.统计思想　　　　　　　C.公理化思想 【解析】(1)由题意得,采用的是数形结合思想; A (2)请你用阅读材料中的方法解不等式-x2-x<-,在如图2所示的平面直角坐标系中,直接画出函数图象,并参照材料中第三步的分析过程写出你的分析过程. 【解析】(2)直接画函数y=-x2-x+的图象如图所示. 将不等式-x2-x<-变形为-x2-x+<0,观察图象可知, 抛物线与x轴相交于(-3,0)和(1,0)两点, 当x<-3或x>1时,二次函数的图象位于x轴下方, 此时y<0,即-x2-x+<0,∴不等式-x2-x<-的解集为x<-3或x>1. 26.(本题满分10分)[情境]图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的.该纸片通过裁剪,可拼接为图2所示的钻石形五边形,数据如图所示. (说明:纸片不折叠,拼接不重叠无缝隙无剩余) [操作]嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪,拼成了钻石形五边形. 如图3,嘉嘉沿虚线EF,GH裁剪,将该纸片剪成①,②,③ 三块,再按照图4所示进行拼接.根据嘉嘉的剪拼过程, 解答问题: (1)直接写出线段EF的长; 【解析】(1)如图,过G'作G'K⊥FH'于K,结合题意可得,四边形FOG'K为矩形, ∴FO=KG',由拼接可得,HF=FO=KG',由题意可得,∠A=45°, ∴△AHG,△H'G'D,△AFE为等腰直角三角形,∴△G'KH'为等腰直角三角形, 设H'K=KG'=x,∴H'G'=H'D=x,∴AH=H'G'=x,HF=FO=x, ∵正方形的边长为2,∴对角线的长为=2,∴OA=, ∴x+x+x=,解得x=-1, ∴EF=AF=(+1)x=(+1)(-1)=1; (2)直接写出图3中所有与线段BE相等的线段,并计算BE的长. 【解析】(2)∵△AFE为等腰直角三角形,EF=AF=1; ∴AE=EF=,∴BE=2-, ∵GE=H'G'=x=(-1)=2-,AH=GH=x=2-,∴BE=GE=AH=GH; [探究](3)淇淇说:“将图1所示纸片沿直线裁剪,剪成两块,就可以拼成钻石形五边形.” 请你按照淇淇的说法设计一种方案:在图5所示纸片的BC边上找一点P(可以借助刻度尺或圆规),画出裁剪线(线段PQ)的位置,并直接写出BP的长. 【解析】(3)如图,以B为圆心,BO为半径画弧交BC于P',交AB于Q',则直线P'Q'为分割线, 此时BP'=,P'Q'==2,符合要求, 或以C为圆心,CO为半径画弧,交BC于P,交CD于Q,则直线PQ为分割线, 此时CP=CQ=,PQ==2,∴BP=2-,综上,BP的长为或2-. 本课结束 $$ 压轴题综合练(三)(T25-T26) 25.(本题满分10分)已知四个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)都在关于x的函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的图象上. (1)当A,B两点的坐标分别为(-1,-4),(3,4)时,求代数式2 024a+1 012b+的值; 【解析】(1)将A(-1,-4),B(3,4)代入y=ax2+bx+c得 ②-①得8a+4b=8,即2a+b=2.∴2 024a+1 012b+=1 012(2a+b)+=2 024. (2)当A,B两点的坐标满足a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0时,请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数,并说明理由; 【解析】 (2)此函数图象与x轴的公共点个数为2,理由如下: 方法一:由a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0,得(a+2y1)(a+2y2)=0,∴y1=-或y2=-, ①当a>0时,-<0,此抛物线开口向上,而A,B两点之中至少有一个点在x轴的下方, ∴此时该函数图象与x轴有两个公共点; ②当a<0时,->0,此抛物线开口向下,而A,B两点之中至少有一个点在x轴的上方, ∴此时该函数图象与x轴也有两个公共点.综上所述,此函数图象与x轴必有两个公共点. 方法二:由a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0,得(a+2y1)(a+2y2)=0, ∴y1=-或y2=-, ∴抛物线上存在纵坐标为-的点,即一元二次方程ax2+bx+c=-有解. ∴该方程根的判别式Δ=b2-4a(c+)≥0,即b2-4ac≥2a2. ∵a≠0,∴b2-4ac>0.∴原函数图象与x轴必有两个公共点. 方法三:由a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0,可得y1=-或y2=-. ①当y1=-时,有a+bx1+c=-,即a+bx1+=-c, ∴Δ=b2-4ac=b2+4a(a+bx1+)=2a2+(2ax1+b)2>0. 此时该函数图象与x轴有两个公共点. ②当y2=-时,同理可得Δ>0,此时该函数图象与x轴也有两个公共点. 综上所述,该函数图象与x轴必有两个公共点. (3)当a>0时,该函数图象与x轴交于E,F两点,且A,B,C,D四点的坐标满足: 2a2+2(y1+y2)a++=0,2a2-2(y3+y4)a++=0.请问是否存在实数m,使得AB, CD,m·EF这三条线段组成一个三角形,且该三角形的三个内角的大小之比为1∶2∶3?若存在,求出m的值和此时函数的最小值;若不存在,请说明理由.(注:m·EF表示一条长度等于EF的m倍的线段,m>1) 【解析】(3)因为a>0,所以该函数图象开口向上. ∵2a2+2(y1+y2)a++=0,∴(a+y1)2+(a+y2)2=0, ∴y1=y2=-a.∵2a2-2(y3+y4)a++=0,∴(a-y3)2+(a-y4)2=0, ∴y3=y4=a,∴直线AB,CD均与x轴平行. 由(2)可知该函数图象与x轴必有两个公共点,设E(x5,0),F(x6,0). 由函数性质可知-a>,即b2-4ac>4a2,∴ax2+bx+c=-a的两根为x1,x2, ∴AB=|x1-x2|=, 同理ax2+bx+c=a的两根为x3,x4,可得CD=|x3-x4|=, 同理ax2+bx+c=0的两根为x5,x6,可得m·EF=m·|x5-x6|=m·, 由于m>1,结合图象与计算可得AB<EF<m·EF,AB<CD. 若存在实数m(m>1),使得AB,CD,m·EF这三条线段组成一个三角形,且该三角形的三个内角的大小之比为1∶2∶3,则此三角形必定为两锐角分别为30°,60°的直角三角形,∴线段AB不可能是该直角三角形的斜边. ①当以线段CD为斜边,且两锐角分别为30°,60°时,∵m·EF>AB, ∴必须同时满足:AB2+(m·EF)2=CD2,m·EF=AB. 将上述各式代入化简可得m2=<=2,且m2=, 联立解得b2-4ac=,m2==<2,解得m=>1,符合要求. ∴m=,此时该函数的最小值为==-. ②当以线段m·EF为斜边时,必有AB2+CD2=(m·EF)2, 同理代入化简可得2(b2-4ac)=m2(b2-4ac),解得m=, ∵以线段EF为斜边,且有一个内角为60°,而CD>AB, ∴CD=AB·tan 60°,即=·, 化简得b2-4ac=8a2>4a2符合要求.∴m=,此时该函数的最小值为==-2a. 综上所述,存在两个m的值符合题意:当m=时,此时该函数的最小值为-; 当m=时,此时该函数的最小值为-2a. 26.(本题满分10分)【问题呈现】小明在参加数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题:如图①,在等边△ABC中,AB=3,点M,N分别在边AC,BC上,且AM=CN,试探究线段MN长度的最小值. 【问题分析】小明通过构造平行四边形,将双动点问题转化为单动点问题,再通过定角发现这个动点的运动路径,进而解决上述几何问题. 【问题解决】如图②,过点C,M分别作MN,BC的平行线,并交于点P,作射线AP. 在【问题呈现】的条件下,完成下列问题: (1)证明:AM=MP;   【解析】(1)∵CP∥MN,MP∥NC,∴四边形CPMN是平行四边形, ∴MP=NC,又∵AM=CN,∴AM=MP. (2)∠CAP的大小为　　　　度,线段MN长度的最小值为　　　　.   【解析】(2)∵AM=MP,∴∠CAP=∠MPA, ∵∠PMC=∠ACB=60°,∴∠CAP=∠MPA=30°. ∵四边形CPMN是平行四边形,∴MN=PC, 当PC⊥AP时PC最小,MN也有最小值,此时PC=AC=.∴MN最小值是. 30 【方法应用】(3)某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理,如图③.小明收集了该房屋的相关数据,并画出了示意图,如图④,△ABC是等腰三角形,四边形BCDE是矩形,AB=AC=CD=2米,∠ACB=30°.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点M在AC上,点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持AM=DN.钢丝绳MN长度的最小值为　　　　米.    【解析】(3)如图过M,D作ED,MN的平行线,则四边形MNDP是平行四边形, ∴MN=DP,∠PMC=∠ACB=30°,∴∠PAM=∠APM=15°, 当DP⊥AP时,DP最小,MN最小, ∵∠ACD=120°,∴∠CAD=30°,∴∠PAD=∠CAD+∠PAM=45°, 在△ACD中,AD=AC=2米, ∴DP=AD·sin 45°=米,即MN=米. 本课结束 $$ 压轴题综合练(七)(T25-T26) 25.(本题满分10分)综合与实践:设计公交车停靠站的扩建方案. 【素材1】图1为某公交车停靠站,顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成.图2为某段结构示意图,C1,C2皆为轴对称图形,且关于点M成中心对称,该段结构水平宽度为8米. 【素材2】图3为停靠站部分截面示意图,两根长为2.5米的立柱M1N1,M2N2竖直立于地面并支撑在对称中心M1,M2处.小温将长为2.8米的竹竿AB竖直立于地面,当点A触碰到顶棚时,测得N2B为1米. 【素材3】将顶棚扩建,要求截面为轴对称图形,且水平宽度为27米.计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板. 【任务】 (1)确定中心:求图2中点M到该结构最低点的水平距离l; (2)确定形状:在图3中建立合适的平面直角坐标系,求C1的函数解析式; (3)确定高度:求挡风板的高度. 【解析】(1)∵C1,C2皆为轴对称图形,且关于点M成中心对称,水平宽度为8米, ∴8÷2÷2=2(米),∴点M到该结构最低点的水平距离l为2米; (2)以M2点为原点,如图建立平面直角坐标系, ∵C1过点(0,0),(1,0.3),对称轴为直线x=2,∴设抛物线C1的解析式为y=a(x-2)2+h, 将(0,0),(1,0.3)代入,∴,解得, ∴抛物线C1的解析式为y=-0.1(x-2)2+0.4; (3)27-8×3=3(米),3÷2=1.5(米), ①当x=1.5+2=3.5时,y=-0.1×(3.5-2)2+0.4=0.175,∴h=2.5+0.175=2.675(米); ②当x=1.5-2=-0.5时,y=-0.1×(-0.5-2)2+0.4=-0.225,∴h=2.5-0.225=2.275(米); 综上所述:挡风板的高度为2.675米或2.275米. 26.(本题满分10分)【操作思考】 如图1,将正方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在正方形ABCD的内部,点A的对应点为点G,折痕为BE,再将该纸片沿过点B的直线折叠,使BC与BG重合,折痕为BF. (1)求∠EBF的度数. 【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°, 由折叠得∠ABE=∠EBG=∠ABG,∠CBF=∠FBG=∠CBG, ∴∠EBF=∠EBG+∠FBG=(∠ABG+∠CBG)=∠ABC=×90°=45°, 故∠EBF的度数为45°. 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平.如图2,连 接EF,作BF的中垂线分别交BE,BC于点P,H,连接PF,PA. (2)求证:2PE2+BF2=2EF2. 【解析】(2)由(1)知∠EBF=45°,∵PH垂直平分BF,∴PF=PB, ∴∠PFB=∠PBF=45°, ∴∠BPF=∠EPF=90°,∴△BFP是等腰直角三角形,∴BF2=2PF2, 在Rt△EFP中,PE2+PF2=EF2,∴2PE2+2PF2=2EF2,∴2PE2+BF2=2EF2. (3)若AE·BH=10,求△EPF的面积. 【解析】(3)如图,过点P作BC的平行线分别交AB,CD于点M,N, 则MN⊥AB,MN⊥CD,∴∠PMB=∠FNP=90°,∴∠MBP+∠MPB=90°, ∵∠BPF=90°,∴∠NPF+∠MPB=90°,∴∠MBP=∠NPF, ∵PB=PF,∴△BPM≌△PFN(AAS),∴BM=PN, 在正方形ABCD中,AB∥CD,BC=AB, ∴四边形MBCN是平行四边形,∠AEP=∠PBH, ∴MN=BC=AB,∴MN-NP=AB-MB,即MP=AM, ∵∠AMP=90°,∴△APM是等腰直角三角形,∴∠APM=∠PAM=45°, ∴∠EAP=∠BAD-∠PAM=90°-45°=45°, ∵PH⊥BF,∠PBF=45°,∴∠BPH=45°,∴∠EAP=∠BPH, ∴△EAP∽△BPH,∴=,∴AE·BH=PE·PB,∵AE·BH=10,∴PE·PB=10, ∵PB=PF,∴PE·PF=10,∴S△EPF=PE·PF=×10=5. 本课结束 $$ 压轴题综合练(二)(T25-T26) 25.(本题满分10分)【综合与实践】 如图1,小亮用一根两端贴有完全相同的薄防滑片的轻质直杆和6个质量相等的小金属块做实验(防滑片的作用是防止悬挂物从直杆两端滑落,直杆和防滑片的质量忽略不计);已知直杆AB长为60 cm,以AB的中点O为支点,在此处拴绳,将直杆吊起.在支点O两侧各悬挂一定数量的小金属块,分别在线段OA,OB上调整悬挂的位置,使得直杆保持水平平衡,分别记录此时两侧悬挂处M,N与支点的距离,以及两处所挂的小金属块的数量.然后,改变小金属块的数量,重复以上操作.小亮在实验过程中记录的数据如下: 记录次数 支点左侧所挂金属块的数量 左侧悬挂处M与支点O的距离(cm) 支点右侧所挂金属块的数量 右侧悬挂处N与支点O的距离(cm) 第一次 1 30 1 30 第二次 1 30 3 10 第三次 2 10 1 20 第四次 2 18 4 9 第五次 3 10 2 15 第六次 4 m 2 12 根据以上实验过程和记录的数据,解决下列问题: (1)你认为表格中的m是多少?请直接写出m的值; (2)小亮依据上述实验中发现的规律,利用实验中的直杆AB和小金属块制作了一把简易杆秤(如图2):在距离A端4 cm的C处装了一个用来悬挂被称物体的小挂钩(挂钩的质量忽略不计);将支点O设在距离A端12 cm处;用两个小金属块作为秤砣(每个小金属块的质量均为0.2千克). ①用该杆秤称某物体,秤砣移至支点O右侧40 cm处时,直杆保持水平平衡,则该物体的质量为多少千克? ②该杆秤可以称质量为3.6千克的物体吗?若可以,求此时秤砣悬挂处与支点的距离;若不可以,在仍使用直杆AB且不改变挂钩位置的条件下,请设计一种改造该杆秤的方案,使其能称出的最大质量为3.6千克,并说明理由. (温馨提醒:自制杆秤不能在市场交易中使用,否则违反国家对计量仪器的管理法规) 【解析】(1)依题意有4m=2×12,解得m=6. 故m的值为6; (2)①设该物体的质量为x千克,依题意有(12-4)x=0.2×2×40, 解得x=2.故该物体的质量为2千克; ②设秤砣悬挂处与支点的距离为y cm,依题意有(12-4)×3.6=0.2×2y, 解得y=72,72>60,故该杆秤不可以称质量为3.6千克的物体, 设将支点O设在距离A端z cm处,依题意有3.6(z-4)=0.2×2(60-z),解得z=9.6. 在仍使用直杆AB且不改变挂钩位置的条件下,将支点O设在距离A端9.6 cm处,其能称出的最大质量为3.6千克. 26.(本题满分10分)问题提出: (1)如图①,已知线段AB,请以AB为斜边,在图中画出一个直角三角形; 【解析】(1)以AB为直径作圆,在圆上任取一点(不与点A,B重合)C,连接AC,BC,如图①所示: 则∠ACB=90°,∴Rt△ACB即为所求; (2)如图②,已知点A是直线l外一点,点B,C均在直线l上,AD⊥l且AD=4,∠BAC=60°,求△ABC面积的最小值; 【解析】(2)作△ABC的外接圆☉O,连接OA,OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E,如图②所示: 则∠BOC=2∠BAC,OA=OB=OC,BE=CE=BC,∵∠BAC=60°, ∴∠BOC=120°,∠OBC=∠OCB=30°,设OA=OB=OC=r, 则OE=r,BC=2BE=r,∵AO+OE≥AD,AD=4,∴r+r≥4, 解得r≥,∴BC=r≥,∴BC最小值为; ∵S△ABC=BC·AD,∴△ABC面积的最小值为××4=; 问题解决: (3)如图③,某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草,在四边形ABCD中,∠A=45°,∠B=∠D=90°,CB=CD=6 m,点E,F分别为AB,AD上的点,若保持CE⊥CF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值;若不存在,请说明理由. 【解析】(3)四边形AECF的面积存在最大值,理由如下: 分别延长AB,DC交于点M,如图③所示: 则△ADM,△CBM均为等腰直角三角形,∵CB=CD=6 m, ∴BM=6 m,CM=12 m,AD=DM=(12+6)m, ∴S四边形ABCD=S△ADM-S△CBM=DM2-BC2=×(12+6)2-×(6)2=(72+72)m2, ∵∠BCD=360°-∠A-∠CDA-∠CBA=360°-45°-90°-90°=135°, ∴将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE',则A,D,E'三点共线, ∴S四边形AECF=S四边形ABCD-(S△CBE+S△CDF)=S四边形ABCD-S△CE'F, ∵S四边形ABCD为定值,∴当S△CE'F取得最小值时,S四边形AECF取得最大值, ∵∠E'CF=135°-90°=45°, ∴以E'F为斜边作等腰Rt△OE'F,则△CE'F的外接圆是以点O为圆心,OF长为半径的圆,设△CE'F的外接圆半径为r m,则E'F=r m, 又∵OC+OD≥CD,∴r+r≥6,∴r≥12-12, 当点O在CD上时,E'F最短,此时E'F=r=(24-12)m, ∴S△CE'F最小=×(24-12)×6=(72-72) m2, ∴S四边形AECF最大=S四边形ABCD-S△CE'F最小=72+72-(72-72)=144(m2). 本课结束 $$ 压轴题综合练(五)(T25-T26) 25.(本题满分10分)图1是一个瓷碗,图2是其截面图,碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计),碗口宽CD=12 cm,此时面汤最大深度EG=8 cm. (1)当面汤的深度ET为4 cm时,面汤的直径PQ长为　　　　;  6 cm 【解析】(1)以F为原点,直线AB为x轴,直线EF为y轴,建立平面直角坐标系,如图: 设点E的坐标为(0,c),则抛物线的解析式为y=ax2+c, 则点C的坐标为(6,8+c),点Q(xQ,4+c), 将点C,Q的坐标代入抛物线解析式得,,解得, 即抛物线的解析式为y=x2+c①,PQ=2xQ=6 cm; (2)如图3,把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤,当∠ABM=45°时停止,此时碗中液面宽度CH=　　　　.  cm 【解析】(2)将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤,当∠ABM=45°时停止,所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°,设直线CH的解析式为y=x+b, 将点C的坐标代入上式得,直线CH的解析式为y=x-6+8+c=x+2+c②, 联立①②并整理得,2x2-9x-18=0,则x1+x2=,x1x2=-9,则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=, 则|x1-x2|=,由CH的解析式知,其与x轴的夹角为45°,则CH=|x1-x2|= cm. 也可采取以下方法: 以E为坐标原点,EF为y轴建立平面直角坐标系,则C(6,8). 设过点C(6,8)的直线和x轴的夹角为45°,故设该直线的解析式为y=x+b, 将点C的坐标代入上式得8=6+b,解得b=2,则直线的解析式为y=x+2, 可知,抛物线的解析式为y=x2,联立上述两式得,x2=x+2,解得x=6或-1.5, 则|x1-x2|=|6+1.5|=7.5,则CH=7.5×=(cm). 26.(本题满分10分)综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识,某校九年级 数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动. 【探究发现】 (1)同学们对一张矩形纸片进行折叠,如图1,把矩形纸片ABCD翻折,使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上,折痕为EF,将纸片展平,连接BG.EF与BG相交于点H.同学们发现图形中四条线段成比例,即=,请你判断同学们的发现是否正确,并说明理由. 【解析】(1)=正确,理由如下, 作EM⊥BC于点M, ∵EF⊥BG,∴∠BHF=90°,∴∠FBH+∠BFH=90°. ∵∠EMF=90°,∴∠MEF+∠BFH=90°,∴∠FBH=∠MEF, 又∵∠EMF=∠C=90°,∴△EMF∽△BCG.∴=. ∵四边形ABCD是矩形,EM⊥BC,∴四边形ABME是矩形.∴AB=EM.∴=. 【拓展延伸】 (2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究,如图2,BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线,同学们将该平行四边形纸片翻折,使点A的对应点G,点C的对应点H都落在对角线BD上,折痕分别是BE和DF.将纸片展平,连接EG,FH,FG.同学们探究后发现,若FG∥CD,那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”,即BG2=BD·GD.请你判断同学们的发现是否正确,并说明理由. 【解析】(2)同学们的发现正确,理由如下,∵CD∥FG,∴=,∠CDF=∠DFG, 由折叠知∠CDF=∠BDF,∴∠DFG=∠BDF.∴GD=GF.∴=, 由平行四边形及折叠知AB=BG,AB=CD,∴=, ∴BG2=BD·GD,即点G为BD的一个“黄金分割点”. 本课结束 $$ 压轴题综合练(四)(T25-T26) 25.(本题满分10分)小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图(1)所示,输入x的值为-2时,输出y的值为1;输入x的值为2时,输出y的值为3;输入x的值为3时,输出y的值为6. (1)直接写出k,a,b的值. 【解析】(1)∵x=-2<0,∴将x=-2,y=1代入y=kx+3,得-2k+3=1, 解得k=1,∵x=2>0,x=3>0, 将x=2,y=3和x=3,y=6分别代入y=ax2+bx+3得, 解得;故a=1,b=-2,k=1. (2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象,如图(2). Ⅰ.当y随x的增大而增大时,求x的取值范围. Ⅱ.若关于x的方程ax2+bx+3-t=0(t为实数),在0<x<4时无解,求t的取值范围. Ⅲ.若在函数图象上有点P,Q(P与Q不重合).P的横坐标为m,Q的横坐标为-m+1.小明对P,Q之间(含P,Q两点)的图象进行研究,当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化时,直接写出m的取值范围. 【解析】(2)Ⅰ:∵k=1,a=1,b=-2,∴一次函数解析式为y=x+3,二次函数解析式为y=x2-2x+3,当x≥0时,y=x2-2x+3,其对称轴为直线x=1,开口向上, ∴x≥1时,y随着x的增大而增大; 当x<0时,y=x+3,k=1>0,∴x<0时,y随着x的增大而增大, 综上,x的取值范围为x<0或x≥1; Ⅱ:∵ax2+bx+3-t=0在0<x<4时无解,∴ax2+bx+3=t,在0<x<4时无解, ∴问题转化为抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时无交点, ∵对于y=x2-2x+3,当x=1时,y=2,∴顶点为(1,2), 如图: ∴当t=2时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时正好有一个交点, ∴当t<2时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点; 当x=4时,y=16-8+3=11, ∴当t=11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x≤4时正好有一个交点, ∴当t≥11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点, ∴当t<2或t≥11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点, 即当t<2或t≥11时,关于x的方程ax2+bx+3-t=0(t为实数),在0<x<4时无解; Ⅲ:∵xP=m,xQ=-m+1,∴=, ∴点P,Q关于直线x=对称,当x=1时,y=1-2+3=2,当x=0时,y=3, ∵当P,Q之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化,而当x=2时,y=3,x=-1时,y=2, ∴①当m>时,如图: 由题意得,∴1≤m≤2; ②当m<时,如图: 由题意得,∴-1≤m≤0,综上,-1≤m≤0或1≤m≤2. 26.(本题满分10分)综合与实践 如图1,这个图案是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,受这幅图的启发,数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2,在△ABC中,∠A=90°,将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,作DE⊥AB交AB的延长线于点E. (1)【观察感知】如图2,通过观察,线段AB与DE的数量关系是　　　　　　;  AB=DE 【解析】(1)∵线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD, ∴BC=BD,∠CBD=90°,∴∠BCA=∠DBE=90°-∠ABC, ∵∠A=∠E=90°,∴△ABC≌△EDB(AAS),∴AB=DE; (2)【问题解决】如图3,连接CD并延长交AB的延长线于点F,若AB=2,AC=6, 求△BDF的面积; 【解析】(2)由(1)知△ABC≌△EDB,∴DE=AB,BE=AC, ∵AB=2,AC=6,∴DE=2,BE=6,∴AE=AB+BE=8, ∵∠DEB+∠A=180°,∴DE∥AC,∴△DEF∽△CAF, ∴=,即=,∴EF=4,∴BF=BE+EF=10,∴S△BDF=BF·DE=10. (3)【类比迁移】在(2)的条件下,连接CE交BD于点N,则=　　　　; 【解析】(3)方法一:如图,过N作NM⊥AE于点M, 易知△EMN∽△EAC,则=,即=,∴EM=MN, 易知△BMN∽△BED,则=,即=,解得MN=, 易知△BMN∽△CAB,则==.   方法二:如图,以AE所在直线为x轴,以AC所在直线为y轴建立平面 直角坐标系,由AC=6,AE=8,DE=2,AB=2,∴C(0,6),B(2,0),E(8,0),D(8,2), 设直线BD的解析式为y=kx+b,将B,D的坐标代入得,,解得, ∴直线BD的解析式为y=x-,同理可求直线CE的解析式为y=-x+6, 令x-=-x+6,解得x=,∴y=,即N(,),∴利用两点距离公式可得BN=, ∵BC==2,∴==. (4)【拓展延伸】在(2)的条件下,在直线AB上找点P,使tan∠BCP=,请直接写出线段AP的长度. 【解析】(4)①当点P在点B左侧时,如图所示,过P作PQ⊥BC于点Q, ∵tan∠BCP==,tan∠ABC===3,∴PQ=CQ,PQ=3BQ, 设BQ=2a,则PQ=6a,CQ=9a,∴BC=BQ+CQ=11a, ∵BC==2=11a,∴a=, ∴BP==2a=,∴AP=BP-AB=; ②当点P在点B右侧时,如图所示,作PG⊥BC交BC延长线于点G, tan∠BCP==,tan∠PBG=tan∠ABC,即==3, 剩下思路与第一种情况方法一致,求得AP=. 综上,AP的长度为或. 本课结束 $$