2025年广西九年级中考数学二轮复习题型突破课件：必考题型专项练

必考题型专项练(五)(T19-T24) 19.(本题满分6分)计算:(-1)3×(2-4)-6+32. 【解析】原式=-1×(-2)-6+9 =2-6+9 =-4+9 =5. 20.(本题满分6分)化简求值:(x+1)(x-1)+x(x-2)-(x-1)2,其中x=-1. 【解析】原式=x2-1+x2-2x-(x2-2x+1)=x2-1+x2-2x-x2+2x-1=x2-2, 当x=-1时,原式=(-1)2-2=-1. 点击题号可跳转 21.(本题满分10分)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°.请完成以下任务. (1)尺规作图:①作∠A的平分线,交CB于点D; ②过点D作AB的垂线,垂足为点E.请保留作图痕迹,不写作法,并标明字母. (2)若AC=3,BC=4,求CD的长. 【解析】(1)如图所示:①AD是∠A的平分线; ②DE是AB的垂线; (2)在Rt△ABC中,由勾股定理得: AB===5, 由作图过程可知:DE=DC,∠AED=∠C=90°, ∵S△ACD+S△ABD=S△ABC,∴AC·CD+AB·DE=AC·BC, ∴×3×CD+×5×CD=×3×4, 解得:CD=. 22.(本题满分10分)为了改进几何教学,张老师选择A,B两班进行教学实验研究,在实验班B实施新的教学方法,在控制班A采用原来的教学方法.在实验开始前,进行一次几何能力测试(前测,总分25分),经过一段时间的教学后,再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试(后测),得到前测和后测数据并整理成表1和表2. 表1:前测数据 测试 分数x 0<x ≤5 5<x ≤10 10<x ≤15 15<x ≤20 20<x ≤25 控制班A 28 9 9 3 1 实验班B 25 10 8 2 1 表2:后测数据 测试 分数x 0<x ≤5 5<x ≤10 10<x ≤15 15<x ≤20 20<x ≤25 控制班A 14 16 12 6 2 实验班B 6 8 11 18 3 (1)A,B两班的学生人数分别是多少? 【解析】(1)A班的人数:28+9+9+3+1=50(人) B班的人数:25+10+8+2+1=46(人) 答:A,B两班的学生分别有50人,46人. (2)请选择一种适当的统计数据,分析比较A,B两班的后测数据. 【解析】(2)==9.1, =≈12.9, 从平均数看,B班平均成绩好于A班平均成绩. 从中位数看,A班中位数在5<x≤10这一范围,B班中位数在10<x≤15这一范围,B班成绩好于A班成绩.从百分率看,A班15分以上的人数占16%,B班15分以上的人数约占46%,B班成绩好于A班成绩. (3)通过分析前测、后测数据,请对张老师的教学实验效果进行评价. 【解析】(3)前测结果中:==6.5 =≈6.4 从平均数看,两班成绩较前测都有上升,但实验班提升更明显,因此张老师新的教学方法效果较好. 从中位数看,两班前测中位数均在0<x≤5这一范围,后测A班中位数在5<x≤10这一范围,B班中位数在10<x≤15这一范围,两班成绩较前测都有上升,但实验班提升更明显,因此张老师新的教学方法效果较好. 从百分率看,A班15分以上的人数增加了100%,B班15分以上的人数增加了600%,两班成绩较前测都有上升,但实验班提升更明显,因此张老师新的教学方法效果较好. 23.(本题满分10分)如图,足球场上守门员在O处开出一记手抛高球,球从地面1.4米的A处抛出(A在y轴上),运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面3.2米高,球落地点为C点. (1)求足球开始抛出到第一次落地时,该抛物线的解析式. 【解析】(1)由题意得,设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+3.2, 将点A(0,1.4)代入,得:36a+3.2=1.4, 解得a=-0.05,则抛物线的解析式为y=-0.05(x-6)2+3.2; (2)足球第一次落地点C距守门员多少米? 【解析】(2)当y=0时,-0.05(x-6)2+3.2=0, 解得:x1=-2(舍),x2=14,所以足球第一次落地点C距守门员14米. 24.(本题满分10分)如图,AB是☉O的直径,C是圆上一点,弦CD⊥AB于点E,且DC=AD.过点A作☉O的切线,过点C作DA的平行线,两直线交于点F,FC的延长线交AB的延长线于点G. (1)求证:FG与☉O相切; 【解析】(1)连接OC,AC. ∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E, ∴CE=DE,AD=AC. ∵DC=AD,∴DC=AD=AC, ∴△ACD为等边三角形, ∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°,∴∠1=∠DCA=30°. ∵FG∥DA,∴∠DCF+∠D=180°,∴∠DCF=180°-∠D=120°, ∴∠OCF=∠DCF-∠1=90°, ∴FG⊥OC,∴FG与☉O相切; (2)连接EF,求tan ∠EFC的值. 【解析】(2)作EH⊥FG于点H. 设CE=a,则DE=a,AD=2a. ∵AF与☉O相切,∴AF⊥AG. 又∵DC⊥AG,可得AF∥DC. 又∵FG∥DA, ∴四边形AFCD为平行四边形. ∵DC=AD,∴四边形AFCD为菱形. ∴AF=FC=AD=2a,∠AFC=∠D=60°. 由(1)知∠DCF=120°,∴∠DCG=60°, ∵EH=CE·sin 60°=a,CH=CE·cos 60°=a. ∴FH=CH+CF=a. ∵在Rt△EFH中,∠EHF=90°,tan ∠EFC===. 本课结束 $$ 解答题高分练 必考题型专项练(一)(T19-T24) 19.(本题满分6分)计算:-12 025+1.5×-. 【解析】原式=-1+1.5×=-1+×=-1+1=0. 20.(本题满分6分)解分式方程:=-4. 【解析】去分母,得1=x-1-4(x-2). 去括号,得1=x-1-4x+8.移项,得4x-x=-1+8-1. 合并同类项,得3x=6. x的系数化为1,得x=2.检验:当x=2时,x-2=0. ∴该分式方程无解. 点击题号可跳转 21.(本题满分10分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,BC=10. (1)尺规作图,作BC边的垂直平分线,垂足为点E,交AB边于点D,(不写作法,保留作图痕迹); (2)求AD的长. 【解析】(1)垂直平分线DE,如图所示: (2)∵∠BAC=90°, ∴AB===8. 连接CD, ∵DE垂直平分BC,∴BD=CD, ∴CD=AB-AD=8-AD, ∵在Rt△ACD中,CD2=AD2+AC2, 即(8-AD)2=AD2+62,解得AD=. 22.(本题满分10分)某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试,并以同一标准折算成“6分”“7分”“8分”“9分”“10分”5个成绩.为了解培训效果,用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的两次测试成绩,并制成了如下表格: 培训前 成绩(分) 6 7 8 9 10 人数(人) 12 4 7 5 4 培训后 成绩(分) 6 7 8 9 10 人数(人) 4 1 3 9 15 (1)这32名学生两次测试成绩中,培训前测试成绩的中位数是m,培训后测试成绩的 中位数是n,则m______n;(填“>”“<”或“=”)  【解析】(1)∵培训前测试成绩的中位数m==7.5, 培训后测试成绩的中位数n==9,∴m<n; (2)这32名学生经过培训,测试成绩为“6分”的百分比比培训前的百分比减少了多少? 【解析】(2)培训前:×100%=37.5%, 培训后:×100%=12.5%,37.5%-12.5%=25%, 答:测试成绩为“6分”的百分比比培训前的百分比减少了25%; 　<　 (3)估计该校九年级640名学生经过培训,测试成绩为“10分”的学生增加了多少人? 【解析】(3)培训前:640×=80(人), 培训后:640×=300(人),所以300-80=220(人), 答:测试成绩为“10分”的学生增加了220人. 23.(本题满分10分) 某校学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型:直线l同旁有两个定点A,B,在直线l上存在点P,使得PA+PB的值最小. 解法:如图1,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P,且PA+PB的最小值为A'B. 请利用上述模型解决下列问题: (1)格点应用:如图2,边长为1的正方形网格内有两点A、B,直线l与A、B的位置如图所示,点P是直线l上一动点,求PA+PB的最小值; (2)几何应用:如图3,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=6,E是AB的中点,P是BC边上的一动点,求PA+PE的最小值; (3)代数应用:直接写出代数式+(0≤x≤6)的最小值. 【解析】(1)如图2,作点A关于直线l的对称点C,连接BC交l于P, 则PA+PB的值最小为BC的长, ∵BC==4, ∴PA+PB的最小值为4; (2)如图3,作点E关于直线BC的对称点E',连接E'A, 则E'A与直线BC的交点即为所求的点P,此时PA+PE的最小值为E'A, 过E'作E'F⊥AC交AC的延长线于F, 由题意得:E'F=BC=3,CF=DE'=DE=AC=2, ∴AF=AC+CF=4+2=6, ∴E'A===3, ∴PA+PE的最小值为3; (3)构造图形如图4,AB=BD=6,AC=2,AP=x,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B, 则PC+PD=+=+, ∴代数式+(0≤x≤6)的最小值就是求PC+PD的值, 作点C关于AB的对称点C',过C'作C'E⊥DB交DB的延长线于E. 则PC'=PC,C'E=AB=6,DE=6+2=8,∴PC+PD=PC'+PD=C'D= ==10, ∴代数式+(0≤x≤6)的最小值为10. 24.(本题满分10分)综合与实践:某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人,为测量各自的运动性能,进行5分钟定时跑测试.已知甲、乙同时出发,甲全程在它的“全速模式”下运动,乙开始时在“基本模式”下运动,中途停止运动进行1分钟的调试,之后切换到它的“全速模式”下运动.已知甲、乙运动的路程y1,y2(米)与运动时间x(分钟)之间的函数关系如图①所示;甲、乙运动的路程差d(米)(d=y1-y2)与运动时间x(分钟)之间的函数关系如图②所示.请结合图象回答下列问题: (1)甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是　 　米/分钟;  【解析】(1)由题图①可知1分钟~2分钟之间,甲机器人运动,乙处于静止, 由题图②可知1分钟~2分钟内,甲运动的距离为40-10=30(米), ∴甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是30÷1=30(米/分钟). (2)求图①中a的值; 【解析】(2)∵甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是30米/分钟, ∴运动5分钟甲机器人的路程为30×5=150(米). 设直线OA的解析式为y=k1x,∴150=5k1,解得:k1=30,∴直线OA的解析式为y=30x. ∵运动2分钟甲机器人的路程为30×2=60(米), 且此时甲、乙运动的路程差d为40米, 30 ∴运动2分钟乙机器人的路程为60-40=20(米). ∵5分钟时甲、乙运动的路程差d为-50米, ∴运动5分钟乙机器人的路程为150-(-50)=200(米). 设直线CB的解析式为y=k2x+b, ∴,解得:, ∴直线CB的解析式为y=60x-100. 由题意可知点C表示,两机器人相遇, ∴联立,解得:,∴题图①中a的值为; (3)求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下运动的速度分别是多少? 【解析】(3)由(2)可知乙机器人在“全速模式”下运动的速度是 =60(米/分钟). ∵运动2分钟乙机器人的路程为20米,且1分钟~2分钟之间,乙处于静止, ∴0分钟~1分钟之间乙机器人的路程为20米, ∴乙机器人在“基本模式”下运动的速度是20÷1=20(米/分钟). 本课结束 $$ 必考题型专项练(三)(T19-T24) 19.(本题满分6分)计算:32-(1-5)÷|-2|. 【解析】32-(1-5)÷|-2|=9-(-4)÷2=9-(-2)=11. 20.(本题满分6分)解方程组:. 【解析】, ①-②得:-y=-3,解得y=3, 把y=3代入①得:x+3=1,解得x=-2,即该方程组的解为. 点击题号可跳转 21. (本题满分10分)如图,点B,E,C在一条直线上,线段AB=CD,AB∥CD. (1)尺规作图:在线段BC上取一点F,连接AF,使得△ABF≌△DCE; 【解析】(1)图形如图所示: (2)根据已知及(1)中的作图条件证明△ABF≌△DCE. 【解析】(2)∵AB∥CD,∴∠B=∠C, 由作图可知∠A=∠D,在△ABF和△DCE中,, ∴△ABF≌△DCE(ASA). 22.(本题满分10分)综合与实践 【问题情境】为了增强环境保护意识,6月5日“世界环境日”当天,若干名“环境小卫士”组成了“控制噪声污染”课题学习研究小组. 【实践发现】该小组抽样调查了全市40个噪声测量点在某时刻的噪声声级(单位:dB),将调查的数据进行处理(设所测数据均为正整数),得频数分布表如表: 组别 噪声声级分组 频数 占调查总数的百分比 1 44.5~59.5 4 10% 2 59.5~74.5 a 20% 3 74.5~89.5 10 25% 4 89.5~104.5 b c 5 104.5~119.5 6 15% 合计   40 100% 【问题解决】分析数据如下 根据表中提供的信息解答下列问题: (1)频数分布表中的a=______,b=_______,c=_________;  【解析】(1)c=1-10%-20%-25%-15%=30%,4∶10%=a∶20%=b∶30%, 解得a=8,b=12; (2)补全频数分布直方图(如图); 【解析】(2)补全频数分布直方图如图所示: 　8　 　12　 　30%　 (3)从统计中,你认为噪声污染的噪音声级分布情况怎样? 【解析】(3)答案不唯一,符合题意即可. ①噪声声级89.5~104.5所占比例最大. ②噪声声级44.5~59.5所占比例最小. 23.(本题满分10分)根据以下素材,探索完成任务. 探究遮阳伞下的影子长度 素 材 1 图1是某款自动旋转遮阳伞,伞面完全张开时张角呈180°,图2是其侧面示意图.已知支架AB长为2.5米,且垂直于地面BC,悬托架AE=DE=0.5米,点E固定在伞面上,且伞面直径DF=1.8米.当伞面完全张开时,点D,E,F始终共线.为实现遮阳效果最佳,伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化,自动调整手柄D沿着AB移动,以保证太阳光线与DF始终垂直.   素 材 2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角α(太阳光线与地面的夹角)参照表:   解决问题 (1) 确定影子长度 小明打算在这天16点露营休息,请帮小明求出此时影子GH的长度. (2) 探究影子长度 若某一时刻测得BD=1.9米,请求出此时影子GH的长度. 时刻 14点 15点 16点 太阳高度 角α(度) 60 45 30 参考数据:=1.7,=1.4 【解析】(1)如图,过点G作GJ⊥FH于点J. 又∵∠FDG=∠DGJ=90°, ∴四边形DGJF为矩形, ∴GJ=DF=1.8米. ∴在Rt△GJH中,GH==1.8×2=3.6(米). 答:此时影子GH的长度为3.6米. (2)过点E作EI⊥AB于点I, ∵BD=1.9米,AB=2.5米,∴AD=0.6米, ∵AE=DE=0.5米,∴DI=AD=0.3(米). ∴IE==0.4(米).∴sin ∠IDE=. ∵∠FDG=∠DGJ=90°, ∴∠IDE+∠BDG=90°,∠BDG+∠DGB=90°,∴∠IDE=∠DGB, ∵FH∥DG,四边形DGJF为矩形,∴∠DGB=α,GJ=DF=1.8米,∴∠IDE=α, ∴在Rt△GJH中,GH==1.8×=2.25(米). 答:此时影子GH的长度为2.25米. 24.(本题满分10分)如图,已知排球场的长度OD为18米,位于球场中线处球网的高度AB为2.43米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出,当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时,到达最高点G,建立如图所示的平面直角坐标系. (1)当球上升的最大高度为3.2米时,求排球飞行的高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)的函数解析式;(不要求写自变量x的取值范围) 【解析】(1)∵排球运行至离开点O的水平距离OE为7米时,到达最高点, 最大高度为3.2米,∴抛物线的顶点坐标为(7,3.2). 设抛物线的解析式为y=a(x-7)2+3.2, ∵抛物线过点C(0,1.8), ∴1.8=a(0-7)2+3.2,∴a=-,∴y=-(x-7)2+3.2=-x2+x+. (2)若队员发球既要过球网,又不出边界,问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少?(排球压线属于没有出界) 【解析】(2)设抛物线的解析式为y=m(x-7)2+h. 若抛物线过点C(0,1.8)和点B(9,2.43),则,解得h=2.486. 若抛物线过点C(0,1.8)和点D(18,0),则,解得h=3.025, 故排球飞行的最大高度h的取值范围为2.486<h≤3.025. 本课结束 $$ 必考题型专项练(六)(T19-T24) 19.(本题满分6分)计算:(-1)3-×[2-(-3)2]. 【解析】原式=-1-×(-7)=-1+=. 20.(本题满分6分)先化简,再求值:÷(x+2-),其中x=1. 【解析】÷ (x+2-) =÷=·=, 当x=1时,原式==. 点击题号可跳转 21.(本题满分10分)如图,四边形ABCD为平行四边形,连接AC,且AC=2AB.请用尺规完成基本作图:作出∠BAC的平分线与BC交于点E.连接BD交AE于点F,交AC于点O,猜想线段BF和线段DF的数量关系,并证明你的猜想.(尺规作图保留作图痕迹,不写作法) 【解析】如图,AE即为∠BAC的平分线, 猜想:DF=3BF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO,BO=DO,∴AC=2AO, ∵AC=2AB,∴AO=AB, ∵AE是∠BAC的平分线, ∴BF=OF=BO, ∴BF=OF=DO, ∴DF=DO+OF=2BF+BF=3BF. 22.(本题满分10分)某中学组织七、八年级学生参加了体质健康测试,现随机从七、八年级各抽取了10名学生的成绩(单位:分),进行统计、分析. 收集数据: 七年级:78,90,80,95,68,90,90,100,75,80; 八年级:80,70,85,95,90,100,90,85,90,78. 整理数据: 成绩 x/分 60≤x ≤70 70<x ≤80 80<x ≤90 90<x ≤100 七年级 1 4 3 2 八年级 1 2 a b 分析数据: 统计量 平均数 中位数 众数 七年级 84.6 c 90 八年级 86.3 87.5 d (1)填空:a=______,b=______,c=_______,d=_______;  【解析】(1)由数据的统计可得,a=5,b=2. 将七年级10名学生的成绩从小到大排列为68,75,78,80,80,90,90,90,95,100, 处在中间位置的两个数的平均数为=85(分),因此中位数是85分,即c=85. 八年级10名学生的成绩中,90出现了三次,次数最多,所以众数是90,即d=90. 　5　 　2　 　85　 　90　 (2)若八年级共有200人参与测试,请估计八年级成绩大于80分的人数; 【解析】(2)200×=140(人). 答:估计八年级成绩大于80分的有140人; (3)根据以上数据,结合所学的统计知识,你认为哪个年级学生的体质更好,并说明理由(写出一条即可). 【解析】(3)八年级学生的体质更好.理由如下: 因为两个年级的众数相同,但是八年级成绩的平均数、中位数均大于七年级,所以八年级学生的体质更好. 23.(本题满分10分)一次足球训练中,小明从球门正前方8 m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m,现以O为原点建立如图所示直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素). 【解析】(1)由题意得:抛物线的顶点坐标为(2,3), 设抛物线解析式为y=a(x-2)2+3, 把点A(8,0)代入,得36a+3=0,解得a=-, ∴抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2+3, 当x=0时,y=>2.44, ∴球不能射进球门; (2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处? 【解析】(2)设小明带球向正后方移动m米,则移动后的抛物线为y=-(x-2-m)2+3,把点(0,2.25)代入得2.25=-(-2-m)2+3, 解得m1=-5(舍去),m2=1, ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门. 24.(本题满分10分)如图,已知O是△ABC边AB上的一点,以O为圆心、OB为半径的☉O与边AC相切于点D,且BC=CD,连接OC,交☉O于点E,连接BE并延长,交AC于点F. (1)求证:BC是☉O切线; 【解析】(1)连接OD, ∵AC与圆O相切于点D,∴AC⊥OD, 在△BOC和△DOC中,, ∴△BOC≌△DOC(SSS), ∴∠OBC=∠ODC=90°, ∵OB是☉O的半径,且BC⊥OB, ∴BC是☉O的切线. (2)求证:OA·AB=AD·AC; 【解析】(2)∵∠ADO=∠ABC=90°,∠A=∠A, ∴△ADO∽△ABC, ∴=,∴OA·AB=AD·AC. (3)若AC=10,tan ∠BAC=,F是AC中点,求EF的长. 【解析】(3)作EG∥AC交BC于点G,∠GEC=∠ACO, ∵∠ABC=90°,AC=10,F是AC中点, ∴BF=AF=FC=AC=×10=5,AC=2FC, ∵=tan ∠BAC=,∴BC=AB, ∴AC===AB, ∴==,∴=,∴=, ∵BC,AC都是☉O的切线, ∴CO平分∠ACB,∴∠BCO=∠ACO, ∴∠GEC=∠BCO,∴EG=CG, ∵EG∥FC,∴△BEG∽△BFC, ∴=,∴==, ∴=,∴==, ∴EF=BF=×5=, ∴EF的长是. 本课结束 $$ 必考题型专项练(九)(T19-T24) 19.(本题满分6分)计算:22+|-3|-. 【解析】原式=4+3-5=2. 20.(本题满分6分)解方程组: 【解析】, ①+②,得3x=9.∴x=3. 把x=3代入①,得y=4. ∴该方程组的解是. 点击题号可跳转 21.(本题满分10分)如图是规格为8×8的正方形网格(小正方形的边长为1,小正方形的顶点叫格点),请在所给网格中按下列要求操作: (1)请在网格中建立平面直角坐标系, 使A点坐标为(-2,4),B点坐标为(-4,2); 【解析】(1)依题意作出直角坐标系如图: (2)按(1)中的直角坐标系在第二象限内的格点上找点C(C点的横坐标大于-3),使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形,直接写出C点坐标并求△ABC的面积. 【解析】(2)满足条件的C点坐标为(-2,2)或(-1,1),当C点为(-2,2)时,三角形为等腰直角三角形,腰长为2,此时三角形面积为2×2÷2=2; 当C点为(-1,1)时,三角形的底和高都为2,此时三角形面积为2×2÷2=4. 22.(本题满分10分)为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间(单位:h), 随机调查了该校八年级a名学生,根据统计的结果,绘制出如图的统计图①和图②. 请根据相关信息,解答下列问题: (1)填空:a的值为_______,图①中m的值为_______,统计的这组学生每周参加科学 教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______;  　50　 　34　 　8　 　8　 【解析】(1)a=3+7+17+15+8=50(人); m%=×100%=34%; 3+7+17=27(人),中位数位于8 h这组; 众数是8 h; (2)求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数; 【解析】(2)观察题中条形统计图, ∵=8.36(h),∴这组数据的平均数是8.36. (3)根据样本数据,若该校八年级共有学生500人,估计该校八年级学生每周参加科 学教育的时间是9 h的人数约为多少? 【解析】(3)∵在所抽取的样本中,每周参加科学教育的时间是9 h的学生占30%, ∴根据样本数据,估计该校八年级学生500人中,每周参加科学教育的时间是9 h的学生占30%,有500×30%=150(人), ∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9 h的人数约为150. 23.(本题满分10分)如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点D,DE是☉O的切线,且DE⊥AC,垂足为E,延长CA交☉O于点F. (1)求证:∠BAF=2∠B; 【解析】(1)连接OD,则OD=OB,∴∠ODB=∠B, ∵DE是☉O的切线,∴DE⊥OD, ∵DE⊥AC,∴OD∥AC, ∴∠ODB=∠C,∴∠C=∠B, ∴∠BAF=∠C+∠B=2∠B. (2)若AE=3,tan B=,求AF的长. 【解析】(2)连接AD,FD, ∵∠F=∠B,∠C=∠B,∴∠F=∠C,∴FD=CD, ∵DE⊥AC,∴FE=CE, ∵AB是☉O的直径,AE=3,∴∠ADB=90°, ∴∠ADC=∠AED=∠DEC=90°, ∴∠ADE=∠C=90°-∠CAD,∴∠ADE=∠C=∠B, ∴tan ∠ADE=tan C=tan B=,∴=tan ∠ADE=,=tan C=, ∴DE=2AE=2×3=6,CE=2DE=2×6=12,∴FE=CE=12, ∴AF=FE-AE=12-3=9,∴AF的长是9. 24.(本题满分10分)【提出问题】综合与实践活动中,李老师给出了一道题.如图①,点P是等边△ABC内的一点,连接PA,PB,PC.当PA=3,PB=4,PC=5时,求∠APB的度数. 【解决问题】(1)小明在解决此题时,将点P绕点B逆时针方向旋转60°得到点D, 连接DA,DP,DB,并结合已知条件证得△ABD≌△CBP. 请利用小明的作法及结论求∠APB的度数. 【解析】(1)∵△ABC为等边三角形,∴BA=BC, ∵将点P绕点B逆时针旋转60°得到点D,∴BD=BP=4,∠PBD=60°, ∴△BPD为等边三角形,∴PD=PB=4,∠BPD=60°, ∵∠DBA+∠ABP=60°=∠ABP+∠PBC, ∴∠DBA=∠PBC,AB=BC,BD=BP, ∴△ADB≌△CPB(SAS),∴AD=PC=5. 在△ADP中,AD=5,AP=3,PD=4, ∴AD2=AP2+DP2,∴△APD为直角三角形,且∠APD=90°, ∴∠APB=90°+60°=150°. 【方法应用】(2)如图②,点P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PC. 若PA=a,PB=2a,PC=a,则∠APB=________°.  　135　 【解析】(2)如图,把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP', 则P'B=PB=2a,P'C=PA=a,∠APB=∠BP'C, ∵旋转角是90°,∴∠PBP'=90°, ∴△BPP'是等腰直角三角形, ∴∠BP'P=45°,P'P=2a, ∴P'P2+P'C2=10a2=PC2, ∴△PP'C是直角三角形,且∠PP'C=90°, ∴∠BP'C=135°,∴∠APB=∠BP'C=135°. 本课结束 $$ 必考题型专项练(二)(T19-T24) 19.(本题满分6分)计算:(-1)2+6÷(-2). 【解析】原式=1+(-3)=-2. 点击题号可跳转 20.(本题满分6分)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来. 【解析】解不等式①得:x<3, 解不等式②得:x≤2, ∴这个不等式组的解集是x≤2. ∴这个不等式组的解集表示在数轴上如图: 21.(本题满分10分)如图,△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为 A(-1,2),B(-4,3),C(-3,1). (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1; (2)以点B为位似中心,在点B的下方画出△A2B2C2, 使△A2B2C2与△ABC位似,且相似比为3∶1; (3)直接写出点A1,C2的坐标. 【解析】(1)如图所示,△A1B1C1即为所求; (2)如图所示,△A2B2C2即为所求; (3)由图可知A1(1,2),C2(-1,-3). 22.(本题满分10分)为顺利开展“经典咏流传——中国古诗词诵读”活动,需了解七、八年级学生对中国古诗词的掌握情况.学校从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试,并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析,部分信息如下: a.八年级成绩频数分布直方图; b.八年级成绩在70≤x<80这一组的是:70;72;77;75;76;78;77;74;77;76;79. c.七、八年级成绩的平均数、中位数如表: 年级 平均数 中位数 七年级 79.2 79.5 八年级 76.9 77.5 根据以上信息,回答下列问题: (1)在这次测试中,八年级学生成绩在60分以上(含60分)的有_______人, 成绩在70≤x<80这一组数据中的众数是_______.  　44　 　77　 【解析】(1)八年级学生成绩在60分以上(含60分)的有50-6=44(人), 成绩在70≤x<80这一组数据中,出现次数最多的是77分,共出现3次, 因此众数是77分. (2)在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分,请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前,并说明理由. 【解析】(2)七年级的中位数是79.5分,说明有一半的学生成绩在79.5分以上,因此七年级学生甲成绩78分,在中位数以下, 八年级的中位数是77.5分,说明有一半的学生成绩在77.5分以上,因此八年级学生乙成绩78分,在中位数以上,因此八年级学生乙在自己年级的名次比较靠前. (3)该校八年级学生有400人,假设全部参加此次测试,请估计八年级学生成绩在80分以上(含80分)的人数. 【解析】(3)400×=184(人), 答:该校八年级学生400人中成绩在80分以上(含80分)的大约有184人. 23.(本题满分10分)为改善生态环境,防止水土流失,某村计划在沿江堤坡种植白杨树,现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择,其具体销售方案如下: 甲林场 乙林场 购树苗 数量 销售 单价 购树苗 数量 销售 单价 不超过 1 000棵时 4元/棵 不超过 2 000棵时 4元/棵 超过1 000 棵的部分 3.8 元/棵 超过2 000 棵的部分 3.6 元/棵 设购买白杨树苗x棵,到两家林场购买所需费用分别为y甲(元)、y乙(元). (1)该村需要购买1 500棵白杨树苗,若都在甲林场购买所需费用为__________元, 若都在乙林场购买所需费用为__________元;  【解析】(1)由题意,得y甲=4×1 000+3.8(1 500-1 000)=5 900(元), y乙=4×1 500=6 000(元); 　5 900　 　6 000　 (2)分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式; 【解析】(2)当0≤x≤1 000时,y甲=4x, 当x>1 000时,y甲=4 000+3.8(x-1 000)=3.8x+200, ∴y甲=; 当0≤x≤2 000时,y乙=4x,当x>2 000时,y乙=8 000+3.6(x-2 000)=3.6x+800, ∴y乙=; (3)如果你是该村的负责人,应该选择到哪家林场购买树苗划算,为什么? 【解析】(3)由题意,得 当0≤x≤1 000时,两家林场单价一样, ∴到两家林场购买所需要的费用一样. 当1 000<x≤2 000时,甲林场有优惠而乙林场无优惠, ∴当1 000<x≤2 000时,到甲林场优惠; 当x>2 000时,y甲=3.8x+200,y乙=3.6x+800, 当y甲=y乙时 3.8x+200=3.6x+800,解得x=3 000. ∴当x=3 000时,到两家林场购买的费用一样; 当y甲<y乙时,3.8x+200<3.6x+800,x<3 000. ∴2 000<x<3 000时,到甲林场购买划算; 当y甲>y乙时,3.8x+200>3.6x+800,解得:x>3 000. ∴当x>3 000时,到乙林场购买划算. 综上所述,当0≤x≤1 000或x=3 000时,到两家林场购买一样; 当1 000<x<3 000时,到甲林场购买划算; 当x>3 000时,到乙林场购买划算. 24.(本题满分10分)小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1,纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形,其示意图如图2,已知AD=BE=10 cm,CD=CE=5 cm, AD⊥CD,BE⊥CE,∠DCE=40°. (1)连接DE,求线段DE的长. (2)求点A,B之间的距离. (结果精确到0.1 cm.参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36,sin 40°≈0.64, cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84) 【解析】(1)如图,过点C作CF⊥DE于点F, ∵CD=CE=5 cm,∠DCE=40°. ∴∠DCF=20°,∴DF=CD·sin 20°≈5×0.34=1.7(cm), ∴DE=2DF=3.4 cm, ∴线段DE的长约为3.4 cm; (2)∵横截面是一个轴对称图形, ∴延长CF交AD,BE延长线于点G,连接AB, ∴DE∥AB,∴∠A=∠GDE, ∵AD⊥CD,BE⊥CE,∴∠GDF+∠FDC=90°, ∵∠DCF+∠FDC=90°, ∴∠GDF=∠DCF=20°,∴∠A=20°, ∴DG=≈≈1.8(cm), ∴AG=AD+DG=10+1.8=11.8(cm), ∴AB=2AG·cos 20°≈2×11.8×0.94≈22.2(cm). ∴点A,B之间的距离为22.2 cm. 本课结束 $$ 必考题型专项练(八)(T19-T24) 19.(本题满分6分)计算:计算:28÷(-4)+|-3|-52. 【解析】原式=(-7)+3-25 =-7+3-25 =-4-25 =-29. 点击题号可跳转 20.(本题满分6分)解不等式:≤-1.并把它的解集在数轴上表示出来. 【解析】去分母得:2x-1≤2(3x+2)-4, 去括号得:2x-1≤6x+4-4, 移项合并同类项得:-4x≤1, 化系数为1得:x≥-. 在数轴上表示为: 21.(本题满分10分)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,且AC=8,BC=6. (1)尺规作图:过点O作AC的垂线,交劣弧于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法); 【解析】(1)分别以A,C为圆心,大于AC为半径画弧,在AC的两侧分别相交于P,Q两点,画直线PQ交劣弧于点D,交AC于点E,即作线段AC的垂直平分线,由垂径定理可知,直线PQ一定过点O; (2)在(1)所作的图形中,求点O到AC的距离及sin ∠ACD的值. 【解析】(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°, 在Rt△ABC中,且AC=8,BC=6. ∴AB==10, ∵OD⊥AC,∴AE=CE=AC=4, 又∵OA=OB,∴OE是△ABC的中位线, ∴OE=BC=3, 由于PQ过圆心O,且PQ⊥AC, 即点O到AC的距离为3, 连接OC,在Rt△CDE中, ∵DE=OD-OE=5-3=2,CE=4, ∴CD===2, ∴sin ∠ACD===. 22.(本题满分10分)在“世界读书日”到来之际,学校开展了课外阅读主题周活动,活动结束后,经初步统计,所有学生的课外阅读时长都不低于6小时,但不足12小时,从七、八年级中各随机抽取了20名学生,对他们在活动期间课外阅读时长(单位:小时)进行整理、描述和分析(阅读时长记为x,6≤x<7,记为6;7≤x<8,记为7;8≤x<9,记为8;…以此类推),下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息, 七年级抽取的学生课外阅读时长:6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,10,10,11, 七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.3 8.3 众数 a 9 中位数 8 b 8小时及以上 所占百分比 75% c 根据以上信息,解答下列问题: (1)填空:a=______,b=________,c=_________.  【解析】(1)七年级学生的课外阅读时长出现次数最多的是8小时,因此七年级学 生的课外阅读时长的众数是8小时,即a=8;将八年级学生的课外阅读时长从小到 大排列,处在中间位置的两个数的平均数为=8.5,因此中位数是8.5小时,即b=8.5; c=×100%=65%; 　8　 　8.5　 　65%　 (2)该校七年级有400名学生,估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的学生人数. 【解析】(2)400×=160(人), 答:七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的大约有160人; (3)根据以上数据,你认为该校七、八年级学生在主题周活动中,哪个年级学生的阅读积极性更高?请说明理由.(写出一条理由即可) 【解析】(3)八年级学生的阅读积极性更高,理由:八年级学生课外阅读时长的中位数、众数均比七年级的高. 23.(本题满分10分)综合与实践. “漏壶”是一种古代计时器,在社会实践活动中,某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶,漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的,中间连通,液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中,实验开始时圆柱容器中已有一部分液体. 【实验观察】(1)下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y(厘米)与时间x(小时)的数据: 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点,用光滑的线连接; 时间x(小时) 1 2 3 4 5 圆柱体容器 液面高度y(厘米) 6 10 14 18 22 【解析】(1)描出各点,并连接,如图所示: 【探索发现】(2)请你根据表中的数据及图象,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数解析式; 【解析】(2)由图象可知该图象是一次函数,设该函数的解析式为y=kx+b, ∵点(1,6),(2,10)在该函数图象上, ∴, 解得, 即y与x之间的函数解析式为y=4x+2; 【结论应用】(3)如果本次实验记录的开始时间是上午9:00,那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是几点? 【解析】(3)当y=12时,4x+2=12, 解得x=2.5,9+2.5=11.5, 即圆柱体容器液面高度达到12厘米时是上午11:30. 24.(本题满分10分)某公司今年推出一款产品.根据市场调研,发现如下信息. 信息1:每月的销售总量y(件)和销售单价x(元/件)存在函数关系,其图象由部分双曲线EF和线段FG组成. 信息2:该产品2月份的单价为66元/件,3月份的单价降低至45元/件,在生产成本不变的情况下,这两月的销售利润相同. 根据以上信息,解答下列问题: (1)求该产品的生产成本; 【解析】(1)由题中图象得曲线EF解析式为y==(0<x≤45). 令x=45,则y==400,即3月份销售量为400件, 设该产品的生产成本为a元/件,则(66-a)×100=(45-a)×400,解得a=38, 答:该产品的生产成本为38元/件; (2)该公司计划在4月份通过技术改造,使生产成本降低40%,同时继续降低销售价格,使得4月份的销售利润不低于3月份.求4月份该产品销售单价的范围. 【解析】(2)3月份利润为(45-38)×400=2 800元. 由题意得4月份成本为(1-40%)×38=22.8元/件,则(x-22.8)≥2 800, 解得x≥27, ∴4月份该产品销售单价的范围是27≤x<45. 本课结束 $$ 必考题型专项练(十)(T19-T24) 19.(本题满分6分)计算:[1+(-2)3]-3÷(-). 【解析】原式=[1+(-8)]-3×(-4)=(-7)+12=5. 20.(本题满分6分)先化简,再求值:-,其中x=+1. 【解析】原式===x-1, 当x=+1时,原式=. 点击题号可跳转 21.(本题满分10分)如图,△ABC内接于☉O. (1)作∠B的平分线与☉O交于点D(用尺规作图,不用写作法,但要保留作图痕迹); (2)在(1)中,连接AD,若∠BAC=60°,∠C=66°,求∠DAC的大小. 【解析】(1)如图所示,BD即为所求. (2)∵∠BAC=60°,∠C=66°, ∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=54°, 由作图可知BD平分∠ABC, ∴∠DAC=∠DBC=∠ABC=27°. 22.(本题满分10分)为增强学生体质,某校在八年级男生中试行“每日锻炼,每月测试”的引体向上训练活动,设定6个及以上为合格.体育组为了解一学期的训练效果,随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩.其中,2月份测试成绩如表1,6月份测试成绩如图1(尚不完整).整理本学期测试数据得到表2和图2(尚不完整). 表1:2月份测试成绩统计表 个数 0 1 3 6 8 10 人数 4 8 4 1 2 1 表2:本学期测试成绩统计表 项目 平均数 /个 众数 /个 中位数 /个 合格率 2月 2.6 a 1 20% 3月 3.1 3 4 25% 4月 4 4 5 35% 5月 4.55 5 5 40% 6月 b 8 6 c 请根据图表中的信息,解答下列问题: (1)将图1和图2中的统计图补充完整,并直接写出a,b,c的值; 【解析】(1)在6月份测试成绩中,引体向上3个的人数为20-4-1-6-4=5(人), 补充统计图如图: c=×100%=55%, 根据题表1可得a=1, b=(4×1+5×3+1×6+6×8+4×10)=5.65; (2)从多角度分析本次引体向上训练活动的效果; 【解析】(2)本次引体向上训练活动的效果明显,理由如下: 从平均数和合格率看,平均数和合格率逐月增加, 从众数看,引体向上个数逐月增加, 从中位数看,引体向上的个数越来越大;(答案不唯一,合理即可) (3)若将此活动在本校八年级推广,该校八年级男生按400人计算,以随机抽查的20名男生训练成绩为样本,估计经过一学期的引体向上训练,可达到合格水平的男生人数. 【解析】(3)400×55%=220(人), 答:估计经过一学期的引体向上训练,可达到合格水平的男生有220人. 23.(本题满分10分)兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发,到书吧看书后回家.哥哥步行先出发,途中速度保持不变;妹妹骑车,到书吧前的速度为200米/分. 图2中的图象分别表示两人离学校的路程s(米)与哥哥离开学校的时间t(分)的函数关系. (1)求哥哥步行的速度. 【解析】(1)由A(8,800),得:v==100米/分,∴哥哥步行速度为100米/分. (2)已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧. ①求图中a的值; ②妹妹在书吧待了10分钟后回家,速度是哥哥的1.6倍,能否在哥哥到家前追上哥哥?若能,求追上时兄妹俩离家还有多远;若不能,说明理由. 【解析】(2)①设DE所在直线为s=200t+b,将(10,800)代入,得800=200×10+b, 解得b=-1 200. ∴DE所在直线为s=200t-1200, 当s=0时,200t-1 200=0, 解得t=6.∴a=6. ②能追上. 如图,设BC所在直线为s=100t+b', 将B(17,800)代入,得800=100×17+b', 解得b'=-900,∴s=100t-900. ∴妹妹的速度是160米/分. 设FG所在直线为s=160t+m,将F(20,800)代入,得800=160×20+m, 解得m=-2 400,∴s=160t-2400. 解得 ∴1 900-1 600=300(米),即追上时兄妹俩离家300米远. 24.(本题满分10分)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论. 如图,已知△ABC,CA=CB,☉O是△ABC的外接圆,点D在☉O上(AD>BD),连接AD,BD,CD. 【特殊化感知】 (1)如图1,若∠ACB=60°,点D在AO的延长线上,则AD-BD与CD的数量关系为　　　　　　;  【一般化探究】 (2)如图2,若∠ACB=60°,点C,D在AB同侧,判断AD-BD与CD的数量关系并说明理由; 【拓展性延伸】 (3)若∠ACB=α,直接写出AD,BD,CD满足的数量关系.(用含α的式子表示) 【解析】(1)∵CA=CB,∠ACB=60°, ∴△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°, ∵AD为☉O的直径, ∴∠ABD=∠ACD=90°,∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°, ∴CD=BD=AD, ∴AD-BD=CD. 答案:AD-BD=CD (2)若∠ACB=60°,点C,D在AB同侧,AD-BD与CD的数量关系为AD-BD=CD, 理由:延长BD至点E使DE=CD,连接CE,如图, ∵CA=CB,∠ACB=60°, ∴△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°, ∵四边形ABDC为圆的内接四边形,∴∠CDE=∠BAC=60°, ∵DE=CD,∴△CDE为等边三角形, ∴CE=CD,∠DCE=∠E=60°,∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+∠BCD, ∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=60°+∠BCD,∴∠ACD=∠BCE. ∵∠ADC=∠ABC=60°, ∴∠ADC=∠E=60°. 在△ACD和△BCE中,, ∴△ACD≌△BCE(ASA),∴AD=BE, ∵BE=BD+DE=BD+CD, ∴AD=BD+CD,∴AD-BD=CD. (3)①当点C,D在AB同侧时, 延长BD至点E,连接CE,使CE=CD,过点C作CF⊥DE于点F,如图, ∵CA=CB,∠ACB=α,∴∠CAB=∠CBA=90°-α, ∵四边形ABDC为圆的内接四边形,∴∠CDE=∠BAC=90°-α, ∵CE=CD,∴∠CDE=∠E=90°-α,∠DCE=α. ∵CF⊥DE,∴∠DCF=∠ECF=α,DF=EF=CD·sin α,∴DE=2DF=2CD·sin α, ∵∠ACD=∠ACB+∠BCD=α+∠BCD,∠BCE=∠BCD+∠DCE=α+∠BCD, ∴∠ACD=∠BCE, ∵∠ADC=∠ABC=90°-α, ∴∠ADC=∠E. 在△ACD和△BCE中,, ∴△ACD≌△BCE(ASA),∴AD=BE, ∵BE=BD+DE=BD+2CD·sin α, ∴AD-BD=2CD·sin α. ②当点C,D在AB两侧时, 延长DB至点E,使BE=AD,连接CE,过点C作CF⊥DE于点F,如图, ∵CA=CB,∠ACB=α,∴∠CAB=∠CBA=90°-α, ∵四边形ADBC为圆的内接四边形,∴∠CBE=∠DAC, 在△CAD和△CBE中,,∴△CAD≌△CBE(SAS), ∴CD=CE,∠ADC=∠E, ∵∠ADC=∠ABC=90°-α,∴∠E=90°-α, ∵CF⊥DE,∴∠DCF=∠ECF=α,DF=EF=CD·sin α, ∴DE=CD·sin α,∴DE=2CD·sin α, ∵DE=BD+BE=BD+AD, ∴AD+BD=2CD·sin α. 综上,若∠ACB=α,AD,BD,CD满足的数量关系为: 当点C,D在AB同侧时,AD-BD=2CD·sin α; 当点C,D在AB两侧时,AD+BD=2CD·sin α. 本课结束 $$ 必考题型专项练(七)(T19-T24) 19.(本题满分6分)计算:42+|3-5|+6÷(-). 【解析】原式=16+2+(-18)=0. 点击题号可跳转 20.(本题满分6分)解不等式组,并把解集在如图所示的数轴上表示出来. 【解析】解不等式x-4≥3(x-2),得:x≤1, 解不等式<,得:x>-7, 则该不等式组的解集为-7<x≤1, 将解集表示在数轴上如图: 21.(本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标都在格点上,且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称,C点坐标为(-2,1). (1)请直接写出A1的坐标,并画出△A1B1C1. (2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点,将△ABC平移后点P的对应点为P'(a+2,b-6),请画出平移后的△A2B2C2. (3)若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称, 请直接写出对称中心的坐标. 【解析】(1)如图所示,△A1B1C1即为所求; A1的坐标为(3,-4). (2)如图所示,△A2B2C2即为所求; (3)如图所示,△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称, 则对称中心的坐标为(1,-3). 22.(本题满分10分)某公司有A,B,C三种型号电动汽车出租,每辆车每天费用分别为300元、380元、500元.阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天,往返行程为210 km,为了选择合适的型号,通过网络查询,获得三种型号电动汽车充满电后能行驶的里程数据如图所示. 型号 平均里 程(km) 中位数 (km) 众数 (km) B 216 215 220 C 227.5 227.5 227.5 (1)阳阳已经对B,C型号电动汽车数据统计如表,请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数. 【解析】(1)由题中统计图可知: A型号汽车的平均里程:==200(km); A型号汽车的里程由小到大排序:最中间的两个数(第10,11个数据)是200,200,故中位数==200(km); 出现充满电后的里程最多的是205 km,共六次,故众数为205 km. (2)为了尽可能避免行程中充电耽误时间,又能经济实惠地用车,请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析,给出合理的用车型号建议. 【解析】(2)选择B型号汽车.理由:A型号汽车的平均里程、中位数、众数均低于210 km,且只有10%的车辆能达到行程要求,故不建议选择;B,C型号汽车的平均里程、中位数、众数都超过210 km,其中B型号汽车有90%符合行程要求,很大程度上可以避免行程中充电耽误时间,且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠,故建议选择B型号汽车. 23.(本题满分10分)如图,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,点D是☉O外一点,∠BCD=∠BAC,连接OD交BC于点E. (1)求证:CD是☉O的切线.   【解析】(1)连接OC, ∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°, ∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC, ∵∠BCD=∠BAC, ∴∠OCB+∠DCB=90°,∴OC⊥CD, ∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线; (2)若CE=OA,sin ∠BAC=,求tan ∠CEO的值. 【解析】(2)过点O作OH⊥BC于点H. ∵sin ∠BAC==, ∴可以假设BC=4k,AB=5k,则AO=OC=CE=2.5k, ∵OH⊥BC,∴CH=BH=2k, ∵OA=OB,∴OH=AC=k, ∴EH=CE-CH=2.5k-2k=0.5k,∴tan ∠CEO===3. 24.(本题满分10分)综合与实践 【问题情境】数学活动课上,老师带领同学们开展“利用三角板测量物体的数学探究”实践活动. 【实践发现】 某小组的同学用9块高度都是1 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个直角三角板(∠MCN=90°),点C在AB上,点M和N分别与木墙的顶端重合,如图所示. 探究1:(1)如图1,当放置的是等腰直角三角板(含45°的三角板)时,同学们发现:两堵木墙高度之和等于两堵墙之间的距离,AC,BC,AM,BN的数量关系为AC+BC=AM+BN,请你判断同学们的结论是否正确,并说明理由. 探究2:(2)如图2,当放置的不是等腰直角三角板时,∠MCN=90°,探究1中的结论AC,BC,AM,BN的数量关系是否仍然成立?若不成立,请写出你的猜想,并证明你的结论. 【解析】(1)AC+BC=AM+BN结论正确.理由如下: 由题意得:MC=NC,∠MCN=90°,MA⊥AB,NB⊥AB, ∴∠CAM=∠CBN=90°, ∴∠ACM+∠CMA=90°,∠BCN+∠CNB=90°, ∴∠ACM=∠CNB, 在△AMC和△BCN中,, ∴△AMC≌△BCN(AAS), ∴AM=BC,AC=BN,∴AC+BC=AM+BN; (2)不成立,猜想=. 证明:由(1)知∠CAM=∠CBN=90°,∠ACM=∠CNB, 则在△AMC和△BCN中,, ∴△AMC∽△BCN,∴=. 本课结束 $$ 必考题型专项练(四)(T19-T24) 19.(本题满分6分)计算:(-1)2 025+(-6)×[5+(3-6)]. 【解析】原式=-1+(-6)×2=-1+(-12)=-13. 20.(本题满分6分)解不等式组,并将解集在数轴上表示出来. 【解析】解不等式①得:x<2,解不等式②得:x≥-3, ∴该不等式组的解集为-3≤x<2, 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示: 点击题号可跳转 21.(本题满分10分)如图,☉O为等边△ABC的外接圆. 连接BO并延长交AC于E,交☉O于D,过点D作☉O的切线,交BA的延长线于点M. (1)求证:AC∥DM. 【解析】(1)∵△ABC是等边三角形, ∴BD平分∠ABC,∴BD⊥AC, ∵DM是☉O的切线, ∴BD⊥DM,∴AC∥DM; (2)若AM=2,求☉O的半径. 【解析】(2)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°, ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=30° 设☉O的半径是r,在Rt△BDM中,BD=2r,∠DBM=30°,∴BM===r, 在Rt△ABE中,BE=BO=r,∠BAC=60°,∴AB===r, ∵BM-AB=AM,∴r-r=2,∴r=2,∴☉O的半径为2. 22.(本题满分10分)综合与实践 【问题情境】全国第一届学生(青年)运动会于2023年11月在广西南宁举办,为了解学生对全国第一届学生(青年)运动会了解程度. 【实践发现】某校分别随机抽取了七年级、八年级学生若干名(抽取的两个年级学生人数相同)进行问卷测试,并对得分情况进行整理和分析. 【实践探究】把得分情况进行整理和分析(得分用整数x表示,单位:分),把结果分为A等级:85≤x≤100,B等级:70≤x<85,C等级:0≤x<70.并绘制成如下统计图表,其中七年级学生测试成绩数据的众数出现在A组,A组测试成绩情况分别为:85,85,87,92,95,95,95,95,97,98,99,100,B组分数各不相同;八年级学生测试成绩数据的A组共有个c人. 七年级、八年级两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示: 成绩 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a b 99.5 八年级 85 91 96 95.1 【问题解决】根据以上信息,解答下列问题: (1)填空:a=_______,b=_______,c=_______;  【解析】(1)由频数分布图可知,抽取的七年级的学生有3+5+12=20(人), ∴七年级测试成绩的中位数为第10名和第11名成绩的平均成绩,∴a==86, ∵七年级的众数在A组,且七年级A组中成绩为95分的出现了4次,出现的次数最 多,∴b=95; 由扇形统计图可知,八年级成绩在A组的占比为1-30%-5%=65%, ∴c=20×65%=13; 　86　 　95　 　13　 (2)根据以上数据,你认为该学校哪个年级的测试成绩更好,并说明理由(写出两条合理的理由); 【解析】(2)八年级的成绩比较好.理由如下: 两个年级的平均成绩相同,但是八年级的中位数比七年级的大(或八年级的众数比七年级的大),并且八年级的方差比七年级的方差小,即八年级的成绩更加稳定, ∴八年级的成绩比较好; (3)若该校七、八年级分别有900人,请估计该校初中七、八年级学生中成绩为A等级的学生共有多少人? 【解析】(3)900×+900×=1 125(人), ∴计该校初中七、八年级学生中成绩为A等级的学生共有1 125人. 23.(本题满分10分)综合与实践 【问题情境】 在综合与实践活动课上,老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动,如图1,现有矩形纸片ABCD,AB=4,BC=7. 【实践发现】将图1中的矩形纸片折叠,使点A落在BC边上的点F处,然后展平,得到折痕BE,连接EF,EC,如图2. 【解决问题】 (1)试判断四边形ABFE的形状,并给予证明. 【实践探究】 (2)将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D落在CE上的点N处,然后展平,得到折痕EM,连接MN,如图3,求线段CM的长. 【解析】(1)四边形ABFE是正方形. 证明:由折叠可知△FBE≌△ABE,∴BF=BA,∠BFE=∠A, ∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABF=90°,∴∠BFE=∠A=∠ABF=90°, ∴四边形ABFE是矩形,又BF=BA,∴四边形ABFE是正方形; (2)设CM=x,则DM=4-x,由折叠可知△ENM≌△EDM, ∴∠ENM=∠D=90°,DM=NM=4-x,EN=ED=AD-AE=7-4=3, 由(1)知CF=BC-BF=7-4=3,EF=AB=4,∴CE==5. ∴CN=CE-EN=5-3=2, 在Rt△CNM中,NM2+CN2=CM2,∴(4-x)2+22=x2,解得:x=,即CM=. 24.(本题满分10分)某果农准备购买一批桑葚树和樱桃树共100棵,其中桑葚树不少于10棵.已知桑葚树的成活率为70%,樱桃树的成活率为90%,现在要求这批树的成活率不低于80%.桑葚树的单价y1(元)和购买数量x1(棵)的函数关系以及樱桃树的单价y2(元)和购买数量x2(棵)的函数关系分别如图1和图2所示. (1)写出y1关于x1的函数关系式; 【解析】(1)当0<x1≤60时,设y1=k1x1+b1(k1≠0), 把(0,180),(60,60)代入得,,解得, ∴y1=-2x1+180(0<x1≤60); 当60<x1≤100时,y1=60. 综上,y1=; (2)请你帮该果农作个预算,购买这批树最少需要多少钱? 【解析】(2)设购买桑葚树x棵,则购买樱桃树(100-x)棵, 由≥80%,得x≤50,∴10≤x≤50. 设购树所需费用为W元, 当40≤x≤50时,W=(-2x+180)x+100(100-x)=-2(x-20)2+10 800, Wmin=-2(50-20)2+10 800=9 000(元). 当10≤x<40时,W=(-2x+180)x+70(100-x)=-2(x-27.5)2+2×27.52+7 000, Wmin=-2×(10-27.5)2+2×27.52+7 000=7 900(元), 综上所述,购买这批树所需费用最少为7 900元. 本课结束 $$