2024-2025学年人教版八年级数学上册十一章---十二章综合卷

2024-2025学年八年级（上）十一章---十二章综合卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列长度的3条线段，能构成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，4，8 D．5，6，12 2．（3分）△ABC≌△A′B′C′，其中∠A′＝35°，∠B′＝70°，则∠C的度数为（　　） A．55° B．60° C．70° D．75° 3．（3分）如图，已知AB＝CD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△CDA的是（　　） A．∠BCA＝∠DAC B．∠BAC＝∠DCA C．BC＝AD D．∠B＝∠D＝90° 4．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB是因为图中的两个三角形△COD≌△C′O′D′，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 5．（3分）下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．（3分）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积是（　　） A．12cm2 B．16cm2 C．20cm2 D．24cm2 7．（3分）如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝24°，∠CDB′＝96°，则∠C′的度数为（　　） A．24° B．36° C．45° D．60° 8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠A＝50°，则∠FDE的度数为（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（3分）如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的另外两个角的角平分线BE和CD，BE、CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 　 　． 12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．AB＝15，BC＝9，AC＝12，则CD＝ 　 　． 13．（3分）若一个多边形的每个内角均为150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线的条数为 　 　条． 14．（3分）如图，在△ABC中，AM是边BC上的中线．已知AB＝12，AC＝7，则AM长的取值范围 　 　． 15．（3分）如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝3，若△ABC的周长是24，则△ABC的面积是 　 　． 16．（3分）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是 　 　（填序号）． ①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD． 三、解答题 17．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ADC＝110°． （1）求∠ABE的度数． （2）求证：DF∥BE． 18．（6分）如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE是高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝97°，求∠A和∠ACE的度数． 19．（7分）如图，点A、E、F、B在同一条直线上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE＝FB，CF＝DE．求证：∠AFC＝∠DEB． 20．（7分）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，求证：AB＝ED． 21．（8分）如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F． （1）求证：△AEB≌△BFC； （2）求证：EF＝CF﹣AE． 22．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE分别交AB、AD于E、F两点，且BD＝FD，AD＝CD，试说明CF与AB的关系． 23．（9分）如图（1）～（3），已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB＝α（0°＜α＜180°），∠CPD＝β． （1）如图（1），当α＝β＝90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）； （2）如图（2），当α＝60°，β＝120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由； （3）如图（3），当α+β＝180°时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 2024-2025学年八年级（上）十一章---十二章综合卷 参考答案与试题解析 一、单选题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列长度的3条线段，能构成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，4，8 D．5，6，12 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得 A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意； B、2+3＞4，能够组成三角形，符合题意； C、4+4＝8，不能够组成三角形，不符合题意； D、5+6＜12，不能够组成三角形，不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 2．（3分）△ABC≌△A′B′C′，其中∠A′＝35°，∠B′＝70°，则∠C的度数为（　　） A．55° B．60° C．70° D．75° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C′，根据全等三角形的性质得出∠C＝∠C′即可． 【解答】解：∵∠A′＝35°，∠B′＝70°， ∴∠C′＝180°﹣∠A′﹣∠B′＝75°， ∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C＝∠C′＝75°， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 3．（3分）如图，已知AB＝CD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△CDA的是（　　） A．∠BCA＝∠DAC B．∠BAC＝∠DCA C．BC＝AD D．∠B＝∠D＝90° 【分析】由已知我们可得到两个三角形的两边相等（其中AC为公共边），根据全等三角形的判定即可解答． 【解答】解：∵AB＝CD，AC＝CA， ∴可以添加的条件是：BC＝AD（SSS），或∠BAC＝∠DCA（SAS）或∠B＝∠D＝90°（HL）， 故只有∠BCA＝∠DAC仍无法判定△ABC≌△CDA； 故选：A． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 4．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明∠A′O′B′＝∠AOB是因为图中的两个三角形△COD≌△C′O′D′，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【分析】从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，根据SSS证△ODC≌△O′D′C′即可． 【解答】解：从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′， ∵在△ODC和△O′D′C′中 ， ∴△ODC≌△O′D′C′（SSS）， ∴∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和有关角的作法，主要考查学生的观察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 5．（3分）下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可． 【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴△ABC不是直角三角形； ⑤∵∠A＝2∠B＝3∠C， ∴设∠C＝x，则， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴， 解得：， ∴， ∴△ABC不是直角三角形； ∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共有3个， 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．掌握三角形的内角和是180°和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键； 6．（3分）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积是（　　） A．12cm2 B．16cm2 C．20cm2 D．24cm2 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【解答】解：∵F是CE的中点，△AEF的面积为4cm2， ∴， ∵E是BD的中点， ∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE， ∴S△ACE＝S△ABC， ∴△ABC的面积为：16cm2． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 7．（3分）如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝24°，∠CDB′＝96°，则∠C′的度数为（　　） A．24° B．36° C．45° D．60° 【分析】根据对顶角相等求出∠ADB，根据三角形内角定理求出∠BAD，根据角平分线的定义求出∠BAC，进而求出∠C，根据全等三角形对应角相等解答即可． 【解答】解：∵∠CDB′＝96°， ∴∠ADB＝∠CDB′＝96°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝60°， ∵AB′平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAD＝120°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝36°， ∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C′＝∠C＝36°， 故选：B． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠A＝50°，则∠FDE的度数为（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 【分析】根据全等三角形的判定推出△BFD≌△CDE，根据全等三角形的性质得出∠BFD＝∠CDE，根据三角形的内角和定理求出∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，求出∠FDB+∠EDC＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝115°，再求出答案即可． 【解答】解：∵在△BFD和△CDE中， ， ∴△BFD≌△CDE（SAS）， ∴∠BFD＝∠CDE， ∵∠B＝∠C，∠A＝50°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°， ∴∠FDB+∠CDE＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝115°， ∴∠FDE＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣115°＝65°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据全等三角形的性质得出∠BFD＝∠CDE是解此题的关键． 9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD， ∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝20， 解得：DE＝4， ∴CD＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 10．（3分）如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的另外两个角的角平分线BE和CD，BE、CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC+∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数，①正确；由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，过点P作PF⊥AB于F，PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，由角平分线的性质可知AP是∠BAC的平分线，②正确；PF＝PG＝PH，故∠AFP＝∠AGP＝90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD＝PE，④正确；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，再由DF＝EG可得出BC＝BD+CE，⑤正确；即可得出结论． 【解答】解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，①正确； ∵∠BPC＝120°， ∴∠DPE＝120°， 过点P作PF⊥AB于F，PG⊥AC于G，PH⊥BC于H， ∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴AP是∠BAC的平分线，②正确； ∴PF＝PG＝PH， ∵∠BAC＝60°，∠AFP＝∠AGP＝90°， ∴∠FPG＝120°， ∴∠DPF＝∠EPG， 在△PFD与△PGE中，， ∴△PFD≌△PGE（ASA）， ∴PD＝PE，④正确； 在Rt△BHP与Rt△BFP中，， ∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL）， 同理，Rt△CHP≌Rt△CGP， ∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE， 两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE， ∵DF＝EG， ∴BC＝BD+CE，⑤正确； 没有条件得出AD＝AE，③不正确； 故选：B． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 　AC＝DE　． 【分析】先求出∠ABC＝∠DBE＝90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可． 【解答】解：AC＝DE， 理由是：∵AB⊥DC， ∴∠ABC＝∠DBE＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DBE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）． 故答案为：AC＝DE． 【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL． 12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．AB＝15，BC＝9，AC＝12，则CD＝ 　　． 【分析】直接根据解答即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝9，AC＝12，AB＝15， ∴，即， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法是本题的关键． 13．（3分）若一个多边形的每个内角均为150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线的条数为 　9　条． 【分析】先根据多边形的外角和为360°，求出边数，然后求出对角线条数． 【解答】解：多边形的边数为360÷（180﹣150）＝12（条）， 则从此多边形一个顶点出发可作的对角线的条数为12﹣3＝9（条）． 故答案为：9． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，多边形的对角线，求多边形的边数是解决本题的关键． 14．（3分）如图，在△ABC中，AM是边BC上的中线．已知AB＝12，AC＝7，则AM长的取值范围 　2.5＜AM＜9.5　． 【分析】延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，根据SAS证明△EBM≌△ACM，根据全等三角形的性质得出EB＝AC＝7，再根据三角形三边关系即可推出结果． 【解答】解：如图，延长AM至点E，使ME＝AM，连接CE， ∵AM是BC上的中线， ∴CM＝BM， 在△EBM和△ACM中， ， ∴△EBM≌△ACM（SAS）， ∴EB＝AC＝7， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+EB， ∴12﹣7＜2AM＜12+7， ∴2.5＜AM＜9.5， 故答案为：2.5＜AM＜9.5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．（3分）如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝3，若△ABC的周长是24，则△ABC的面积是 　36　． 【分析】作OE⊥AC，OF⊥AB，连接OA，垂足分别为E、F，可得OD＝OE＝OF，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，连接OA，垂足分别为E、F， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB， ∴OD＝OE＝OF＝3， ∵△ABC的周长是 24， ∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB ＝ ＝ ＝． 故答案为：36． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16．（3分）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是 　①②④　（填序号）． ①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD． 【分析】过点E作EF⊥AD于点F，根据角平分线的性质可得BE＝EF，根据HL可证Rt△AEF≌Rt△AEB，可得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；根据HL可得Rt△EFD≌Rt△ECD，再运用全等三角形的性质即可判断②④；根据∠AEF＝∠AEB，∠DEF＝∠DEC，即可判断①，根据DE≠CE，CE＝BE，即可判断③． 【解答】解：过点E作EF⊥AD于点F，如图所示： ∵AB⊥BC，AE平分∠BAD， ∴BE＝EF， 在Rt△AEF和Rt△AEB中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）， ∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴EF＝EC， ∵DC⊥BC， ∴∠C＝90°， 在Rt△EFD和Rt△ECD中， ， ∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL）， ∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，∠FED＝∠CED， 故②符合题意； ∴AD＝AF+FD＝AB+DC， 故④符合题意； ∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝×180°＝90°， 故①符合题意， ∵DE≠CE， ∴DE≠BE， 故③不符合题意， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题 17．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ADC＝110°． （1）求∠ABE的度数． （2）求证：DF∥BE． 【分析】（1）首先根据多边形的内角和定理，即可求得∠ABC的度数，再根据BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数； （2）首先根据角平分线的定义，即可求得∠ADF＝55°，再根据三角形内角和定理，即可求得∠AFD＝35°，可得∠AFD＝∠ABE，据此即可证得结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°， ∠A+∠C+∠ADC+∠ABC＝360°， ∴∠ABC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ADC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴． （2）证明：∵DF平分∠ADC， ∴， ∵∠A+∠ADF+∠AFD＝180°， ∴∠AFD＝180°﹣∠ADF﹣∠A＝180°﹣55°﹣90°＝35°， ∵∠ABE＝35°， ∴∠AFD＝∠ABE， ∴DF∥BE． 【点评】本题考查了角平分线的定义，多边形及三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握和运用相关角的计算及关系是解决本题的关键． 18．（6分）如图，在△ABC中，BD是角平分线，CE是高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝97°，求∠A和∠ACE的度数． 【分析】先由三角形内角与外角的关系可求∠DBC，再根据三角形的内角和可求∠A，最后由直角三角形AEC可求∠ACE． 【解答】解：∵∠ADB＝∠DBC+∠ACB， ∴∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB＝97°﹣60°＝37°． ∵BD是角平分线， ∴∠ABC＝74°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝46°． ∵CE是高， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠A＝44°． 【点评】本题考查了三角形的内角和以及三角形内角与外角的关系，利用此可计算其它角的度数，是一道基础题． 19．（7分）如图，点A、E、F、B在同一条直线上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE＝FB，CF＝DE．求证：∠AFC＝∠DEB． 【分析】先证明AF＝BE，结合已知CF＝DE，则可用“HL”证明Rt△ACF≌Rt△BDE，从而得到∠AFC＝∠DEB． 【解答】证明：∵AE＝BF， ∴AE+EF＝BF+EF，即AF＝BE． 又CF＝DE，∠A＝∠B＝90°， ∴Rt△ACF≌Rt△BDE（HL）． ∴∠AFC＝∠DEB． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明两直角三角形全等的方法除了“SSS”、“SAS”、“AAS、ASA”外，还有“HL”，要灵活运用． 20．（7分）如图，△ABC的一个顶点A在△DEC的边DE上，AB交CD于点F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，求证：AB＝ED． 【分析】由已知条件易证得∠B＝∠D，∠BCA＝∠DCE，利用AAS可证得△ABC≌△EDC，从而可得AB＝ED． 【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠AFD＝∠BFC， ∴∠B＝∠D， 又∵∠2＝∠3， ∴∠2+∠ACD＝∠3+∠ACD， 即∠BCA＝∠DCE， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（AAS）， ∴AB＝ED． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是证得∠B＝∠D，∠BCA＝∠DCE． 21．（8分）如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F． （1）求证：△AEB≌△BFC； （2）求证：EF＝CF﹣AE． 【分析】（1）根据已知和三角形内角和定理求出∠E＝∠BFC＝90°，∠EAB＝∠FBC，根据AAS即可推出△AEB≌△BFC； （2）根据全等三角形的性质得出AE＝BF，BE＝CF即可求解． 【解答】证明：（1）∵过A，C分别作BD的垂线，垂足分别为E．F， ∴∠E＝∠BFC＝90°（垂直的定义）， ∵∠ABC＝90°（已知）， ∴∠EAB+∠ABE＝90°，∠FBC+∠ABE＝90°， ∴∠EAB＝∠FBC（等量代换）， 在△AEB和△BFC中， ， ∴△AEB≌△BFC（AAS）． （2）由（1）知：∵△AEB≌△BFC， ∴AE＝BF，BE＝CF（全等三角形的对应边相等）， ∴EF＝BE﹣BF＝CF﹣AE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，解此题的关键是推出△AEB≌△BFC． 22．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE分别交AB、AD于E、F两点，且BD＝FD，AD＝CD，试说明CF与AB的关系． 【分析】先证△ADB≌△CDF（SAS），得出AB＝CF，∠BAD＝∠DCF，再根据三角形内角和定理即可得出AB⊥CF． 【解答】解：AB＝CF且AB⊥CF，理由如下： ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝∠CDF＝90°， 在△ADB和△CDF中， ， ∴△ADB≌△CDF（SAS）， ∴AB＝CF，∠BAD＝∠DCF， ∵∠AFE＝∠DFC， ∴∠AEC＝∠ADC＝90°， ∴CE⊥AB， 即AB⊥CF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADB≌△CDF是解题的关键． 23．（9分）如图（1）～（3），已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB＝α（0°＜α＜180°），∠CPD＝β． （1）如图（1），当α＝β＝90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）； （2）如图（2），当α＝60°，β＝120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由； （3）如图（3），当α+β＝180°时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，根据角平分线的性质可得PF＝PE，先证明∠EPF＝∠CPD，再证明∠CPE＝∠EPD，即可证明△FPC≌△EPD，则有PC＝PD，∠PDC＝∠PCD，则有2∠PDC＝∠CPN，根据∠AOB+∠CPD＝180°，∠CPD+∠CPN＝180°，可得∠AOB＝∠CPN，即问题得解； （2）解答方法同（1）； （3）解答方法同（2）． 【解答】解：（1）PC＝PD，2∠PDC＝∠AOB， 理由：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB， ∴∠AOP＝∠BOP， ∵PF⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PFO＝∠PEO＝90°，PF＝PE， ∵∠AOB+∠ODC+∠OCD＝180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD＝180°， ∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD＝360°， ∴四边形OCPD的内角和为360°， 同理，可证明四边形OFPE的内角和为360°， ∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF＝360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF＝360°， 即∠AOB+∠EPF＝180°， ∵∠AOB＝∠CPD＝90°，即∠AOB+∠CPD＝180°， ∴∠EPF＝∠CPD， ∵∠EPF＝∠EPC+∠CPE，∠CPD＝∠EPC+∠EPD， ∴∠CPE＝∠EPD， 结合∠PFO＝∠PEO＝90°，PF＝PE，可得：△FPC≌△EPD， ∴PC＝PD， ∴∠PDC＝∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD＝∠CPN， ∴2∠PDC＝∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD＝180°，∠CPD+∠CPN＝180°， ∴∠AOB＝∠CPN， ∴2∠PDC＝∠AOB， 结论得证； （2）成立，理由如下： 过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB， ∴∠AOP＝∠BOP， ∵PF⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PFO＝∠PEO＝90°，PF＝PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°， ∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF＝360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF＝360°， 即∠AOB+∠EPF＝180°， ∵∠AOB＝60°，∠CPD＝120°，即∠AOB+∠CPD＝180°， ∴∠EPF＝∠CPD， ∵∠EPF＝∠EPC+∠CPE，∠CPD＝∠EPC+∠EPD， ∴∠CPE＝∠EPD， 结合∠PFO＝∠PEO＝90°，PF＝PE，可得：△FPC≌△EPD， ∴PC＝PD， ∴∠PDC＝∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD＝∠CPN， ∴2∠PDC＝∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD＝180°，∠CPD+∠CPN＝180°， ∴∠AOB＝∠CPN， ∴2∠PDC＝∠AOB， 结论得证； （3）成立，PC＝PD，2∠PDC＝∠AOB， 理由：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB， ∴∠AOP＝∠BOP， ∵PF⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PFO＝∠PEO＝90°，PF＝PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°， ∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF＝360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF＝360°， 即∠AOB+∠EPF＝180°， ∵∠AOB+∠CPD＝180°， ∴∠EPF＝∠CPD， ∵∠EPF＝∠EPC+∠CPE，∠CPD＝∠EPC+∠EPD， ∴∠CPE＝∠EPD， 结合∠PFO＝∠PEO＝90°，PF＝PE，可得：△FPC≌△EPD， ∴PC＝PD， ∴∠PDC＝∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD＝∠CPN， ∴2∠PDC＝∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD＝180°，∠CPD+∠CPN＝180°， ∴∠AOB＝∠CPN， ∴2∠PDC＝∠AOB， 结论得证． 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，证明△FPC≌△EPD是解答本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/18 8:29:02；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$