17.1勾股定理 课时作业2024—2025学年人教版数学八年级下册

17.1勾股定理 课时作业2024—2025学年人教版八年级下册数学 一、单选题 1．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为（    ） A．10m B．12m C．14m D．16m 2．如图，在中，．以点B为圆心，为半径画弧交于点D；以点A为圆心，为半径画弧交于点E．则长最接近的整数是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 4．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．169 5．下列几组数中，为勾股数的一组是（    ） A．4，5，6 B．12，16，20 C．，24，26 D．2，3，4 6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别记作S1与S2，若S1＝16，S2＝25，则BC的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．直角三角形的两边长分别为3和4，那么它的第三边长为(　　) A．2 B．5 C．4或 D．5或 8．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,不能构成直角三角形的是(     ) A．3、4、5 B．6、8、10 C．5、12、13 D．2、3、4 二、填空题 9．（勾股定理的应用）如图，在中，，，，则 ．    10．如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 11．如图，以原点O为圆心，OB为半径画弧交数轴于点A，则点A所表示的数是 ． 12．如图，无盖的长方体盆子的长为12，宽为6，高为10，在盒子里面顶点B有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，想沿盒子内表面从点A爬到点B处，爬行的最短路程是 ． 13．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动． 设点的运动时间为秒在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时的值 ． 三、解答题 14．探寻“勾股数”：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”，勾股数有多少？勾股数有规律吗？ （1）请你写出两组勾股数． （2）试构造勾股数．构造勾股数就是要寻找3个正整数，使他们满足“两个数的平方和（或差）等于第三数的平方”，即满足以下形式： ①　 　2+　 　2＝　 　2；或②　 　2﹣　 　2＝　 　2 ③要满足以上①、②的形式，不妨从乘法公式入手．我们已经知道③（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．如果等式③右边也能写成　 　2的形式，就能符合②的形式． 因此不妨设x＝m2，y＝n2，（m、n为任意正整数，m＞n），请你写出含m、n的这三个勾股数并证明它们是勾股数． 15．如图①，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜4）． （1）请在4×8的网格纸图①中画出t为3秒时的线段PQ．并求其长度； （2）若M是BC的中点，记△PQM的面积为S，请用含有t的代数式来表示S； （3）当t为多少时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形？ 16．已知：是四边形的对角线，，，，，． （1）求的值． （2）求的长． 17．如图，在中，，，，若动点P从点C出发，按照的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为． (1)当点P出发时，求的长． (2)当t为何值时，平分？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C C B B D D 1．D 【分析】先利用勾股定理求出旗杆顶部到折断处的长，再由旗杆折断之前的高度是折断的两部分的长度之和求解即可． 【详解】如图，记旗杆顶部为点A，折断处为点B，旗杆底部为点C， 由题意得BC⊥AC，BC=6m，AC=8m， ∴∠ACB=90°， ∴m， ∴BC+AB=6+10=16m， ∴旗杆折断之前的高度是16m， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 2．C 【分析】勾股定理求出的长，根据作图求出的长，进而求出的长，利用求出的长，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 由作图可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴长最接近的整数是； 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理，无理数的估算．熟练掌握无理数的估算方法，是解题的关键． 3．C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC， 由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m， 在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m， 故小鸟至少飞行10m． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 4．C 【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13, 2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得(a ＋b)2的值. 【详解】（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝大正方形的面积＋四个直角三角形的面积和＝13＋（13－1）＝25，故答案选C. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解本题的要点在于注意完全平方公式的展开: （a＋b）2＝a2＋b2＋2ab,还要注意图形的面积和a,b之间的关系. 5．B 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，进行逐一判断即可． 【详解】解：，故A选项不符合题意； ，故B选项符合题意； 不是正整数，故C选项不符合题意； ，故D选项不符合题意； 故选：B． 6．B 【分析】利用勾股定理根据条件先求出的长，再在利用勾股定理求解． 【详解】解：如图： 在中，由题意解得：，且， 解得：， ， 同理，在中，由题意解得：， ， 在中，由勾股定理： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是利用勾股定理求出直角边，再求解． 7．D 【分析】分为两种情况：当3和4都是直角边时，根据勾股定理求出斜边即可；当斜边是4时，根据勾股定理计算求出另外的一条直角边即可． 【详解】两种情况求解：当直角边为3和4时，由勾股定理得：， 第三条边长为：5， 当斜边是4时，由勾股定理得：， 第三条边长为：， 综上所述：第三条边长为：5或， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意不确定直角三角的斜边长时，求第三条边长，需要分情况讨论，掌握勾股定理是解题的关键． 8．D 【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A. 42+32=52，能构成直角三角形，故此选项错误； B. 62+82=102，能构成直角三角形，故此选项错误； C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项错误； D. 22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理. 9． 【分析】过C作，垂足为D，设，在和中，利用勾股定理列出方程，解之得到，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过C作，垂足为D， 设，则， 在和中， ， 即， 解得：，即， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求出相应线段长． 10．3 【分析】本题考查的是勾股定理及其应用，根据圆的面积公式得到，，根据勾股定理得到，，计算即可． 【详解】解：连接，如图， 由题意得，， ， ， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 11．﹣ 【分析】根据勾股定理求出OB，再根据数轴的特点即可得出答案． 【详解】解：如图所示：OB＝， 故点A所表示的数是：﹣． 故答案为：﹣． 【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握第三边的求法是解题的关键． 12．20 【分析】本题考查平面展开最短路径问题．蚂蚁从到有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可． 【详解】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是18和10， 则所走的最短线段； 第二种情况：如图2，把我们看到的左面与底面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是22和6， 所以走的最短线段； 第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是12和16， 所以走的最短线段； 三种情况比较而言，第三种情况最短． 故答案为：20． 13．或6或13 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，分点在上和点在上两种情况，再分，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】①当点在上，时，此时：， 则：； ②当点在上，时， 过点作于点，则：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在上，时，此时点移动的距离为：， ∴； 综上：或6或13； 故答案为：或6或13． 14．（1）勾股数：3，4，5或6，8，10等；（2）①　3　　4　　5；或②　6　　8　　10；③2．证明见解析. 【分析】根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】（1）勾股数：3，4，5或6，8，10等． （2）①　3　2+　4　2＝　5　2；或②　6　2﹣　8　2＝　1O　2 ③2． 证明：（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4 （m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4， （m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝4m2n2＝（2mn）2． ∴（m2+n2）2﹣（2mn）2＝（m2﹣n2）2， ∴m2+n2，m2﹣n2，2mn为勾股数． 【点睛】本题考查勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形． 15．（1）图见解析，PQ=5；（2）；（3）t＝3 或时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形． 【分析】根据点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位可知，当t=3秒时，DP=6，AQ=3即可画出线段PQ； （2）利用割补法求三角形面积; （3）设时间为t，则在t秒钟，P运动了2t个格，Q运动了t个格，分情况 PQ=BQ和PQ＝BP，然后根据勾股定理列出关于t的方程，解得t即可． 【详解】如图所示：   由勾股定理得PQ＝ ＝5； （2）∵M是BC的中点 ∴CM=BM       （3）设时间为t，则在t秒钟，P运动了2t格，Q运动了t格 当PQ＝BQ时，即（2t﹣t）2+42＝（8﹣t）2，解得t＝3（秒）． 当PQ＝BP时，（8﹣t）＝8﹣2t，解得：t＝ ∴综上，t＝3 或时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 16．（1）；（2）． 【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据∠C=60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE=BE，然后求出∠EDB=∠EBD=45°，即可求出∠ABD=45°； （2）过点A作AF⊥BD于点F，求出，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】（1）过点作于点， ∵在中，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴． （2）过点作于点， 在中，，， ∴， ∵在中，， ∵， ∴， ∴中， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，根据边的长度得到等腰直角三角形是解题的关键，难点在于作辅助线构造成直角三角形． 17．(1) (2)当秒时，平分 (3)或或或时为等腰三角形 【分析】（1）表示出的长，在中用勾股定理求出的长，进而得出答案； （2）过点P作于点D，由证明，得出，因此，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案． 【详解】（1）解：如图1所示，当时，， 在中， ； （2）解：如图2所示，过点P作于点D， 根据勾股定理得：， ∵平分， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∴， 设，则 在中，， 即， 解得：， ∴当秒时，平分； （3）如图3， 若P在边上时，， 此时用的时间为，为等腰三角形； 若P在边上时，有3种情况： ①如图4， 若使，此时，P运动的路程为， 所以用的时间为，故时为等腰三角形； ②如图5， 若，过C作斜边的高， 则， 根据勾股定理求得， ∵，， ∴， 所以P运动的路程为， ∴t的时间为，为等腰三角形； ③如图6， 若时，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴P的路程为，所以时间为时，为等腰三角形． ∴或或或时为等腰三角形． 【点睛】本题考查了几何变换和全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$