江苏省淮安市高中校协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷

第 1页（共 4 页） 淮安市高中校协作体 2024～2025 学年度第一学期高一年级期中联考 数学试卷参考答案 一、单项选择题（本大题共有 8 小题，每题 5 分，共 40 分） 1.设集合 A = {1,3,5}，则集合A的真子集的个数为（ C ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．“x > 6”是“x > 16”的（ B ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.若 5 3a    ，1 4b  ，则 a b 的取值范围为（ D ） A．  11,0 0, 3        B． 4 1, 3 5       C． 11, 3       D． 35, 4       4．函数 4 x y x   的定义域是（ A ） A．   4,0 0,4  B．  2,2 C．   2,0 0,2  D．[-4,4] 5．已知二次函数  f x 满足   21 2f x x x    ,则  f x 的解析式为（ A ） A.f(x) = x2 − x + 2 B. f(x) = x2 + x − 2 C. f(x) = x2 − x − 2 D.f(x) = x2 + x + 2 6．已知函数   2 2 1, 1 2 , 1 x x f x x x x        ,则   3f f  =（ C ） A.33 B.34 C.35 D.36 7．已知 3a＝5b＝A，且 1 a ＋ 2 b ＝2，则 A＝( B ) A. 4 3 B.5 3 C. 6 3 D.15 8．已知正数 ,a b满足 3a + b = ab，则 a + 3b的最小值是 ( A ) A．16 B．6 3 C．2 2 D．18 二、多项选择题（本大题共有 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部 选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分.） 9．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是( BD ) A．A∪B＝B B.(���) ∪ � = {�|� ≤ 2或� > 3} C. (���) ∪ (���) = � D．A∩B＝{x|1＜x≤2} 10.下列结论正确的是（ ABD ） A． 2log 4 2 B． lg10 1 C． ln e 1  D． 3log 23 2 11．已知函数   22f x x ax   在区间  1,2 上不具有单调性，则 a的值可以是（BCD ） A．9 B．-1 C．-3 D．0 三、填空题（本大题共有 3 小题，每题 5 分，共 15 分） 12．命题“ 20, 4 3 0x x x     ”的否定是 20, 4 3 0x x x     第 2页（共 4 页） 13．通过科学研究发现：地震时释放的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 lg 4.8 1.5E M  . 已知 2011 年甲地发生里氏 8 级地震，2019 年乙地发生里氏 6 级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为 1E ， 2E ，则 1 2 E E  1000 14．若关于x的不等式  2 1 0x m x m    的解集中恰有2个整数，则实数m的取值范围是 [-2,-1)∪(3,4] 四、解答题（本大题共有 5 小题，第 15 题 13 分，第 16 题、第 17 题每题 15 分，第 18 题、第 19 题每题 17 分，共 77 分） 15.(13 分)已知集合 A = x|x ≥ 2 ，B = 1 ≤ x ≤ 7 ，C = x|x ≥ a − 1 . (1)求� ∩ �，��(� ∪ �)，(���) ∩ �； (2)若� ∪ � = �，求实数 a 的取值范围. 解:（1）因为集合 A = x|x ≥ 2 ，B = 1 ≤ x ≤ 7 所以� ∩ � = �|2 ≤ � ≤ 7 …………………………………………………………2 分 由� ∪ � = �|� ≥ 1 得��(� ∪ �) = �|� < 1 …………………………………………………………5 分 由��� = �|� < 2 得(���) ∩ B = �|1 ≤ � < 2 …………………………………………………………8分 （2）由� ∪ � = �得 A ⊆ C …………………………………………………………10 分 所以 a − 1 ≤ 2，解得 a ≤3， 所以实数 a的取值范围为( −∞, 3].…………………………………………………………13 分 16.（15 分）已知 p：关于 x的方程�2 − 2�� + �2 + � − 3 = 0 有实数根， q： 1 5m a m    ． (1)若命题 p 是真命题，求实数 a的取值范围； (2)若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：（1）因为命题 p 是真命题，则命题 p是假命题 即关于 x的方程�2 − 2�� + �2 + � − 3 = 0 无实数根 ……………………………………3分 因此∆ = 4�2 − 4(�2 + � − 3) < 0，解得� > 3 所以实数 a的取值范围是� > 3 ………………………………………………7 分 （2）由（1）知，若命题 p是真命题，则�: � ≤ 3 因为命题 p是命题 q的必要不充分条件，则{ | 1 5}a m a m    是{�|� ≤ 3}的真子集……………………11 分 因此 m+ 5 ≤ 3，解得 m ≤− 2 所以实数 m的取值范围是 m ≤− 2 ………………………………………………15 分 17. （15 分）计算下列各式的值： (1)8 2 3 − ( − 7 8 )0 + 4 (3 −π)4 + [( − 2)6] 1 2 + (3 2 × 3)6 + ( 4 2) 8 5 (2)lg2 − lg 1 8 + 4lg5 − log32 ∙ log49 − 25log53 解：（1）8 2 3 − ( − 7 8 )0 + 4 (3 −π)4 + [( − 2)6] 1 2 + (3 2 × 3)6 + ( 4 2) 8 5 =(23) 2 3 − ( − 7 8 )0 + |3 −π| + [26] 1 2 + (2 1 3 × 3 1 2)6 + (4 1 2 × 2 1 4) 8 5 =22 − 1+ |3 −π| + 23 + (22 × 33) + (2 5 4) 8 5 =4 − 1 + (π − 3) + 8 + 108 + 4 =3 +π − 3 + 8 + 108 + 4 = π+120 …………………………………………………………8 分 第 3页（共 4 页） （2）lg2 − lg 1 8 + 4lg5 − log32 ∙ log49 − 25log53 = lg2 + 3lg2 + 4lg5 − log32 ∙ log23 − (5log53)2 = 4lg2 + 4lg5 − 1 − 9 = 4lg(2 × 5) − 10 = 4 − 10 =− 6 …………………………………………………………15 分 18．（17 分）某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊 蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源， 该地卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需 求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为 55 万元，每生产 x万件，需另外投入 成本 ( )C x （万元）， 21 30 ,0 50 2( ) 810051 400, 50 x x x C x x x x           ，每件工具售价为 50 元，经过市场调研该厂年内生产的 工具能全部销售完． (1)写出年利润 L（万元）关于年产量 x（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？ 解:（1）当 0 50x  时， L(x) = 50x − 1 2 x2 − 30x − 55 =− 1 2 x2 + 20x − 55 …………………………………………………3分 当 50x  时，L(x) = 50x − 51x − 8100 x + 400 − 55 = 345 − (x + 8100 x )………………………………6分 故 L(x) = − 1 2 x2 + 20x − 55,0 < x < 50 345 − (x + 8100 x ), x ≥ 50 …………………………………………………8分 （2）0 50x  时， 2 1( ) ( 20 2 ) 150L x x    L(x) =− 1 2 (x − 20)2 + 145 当 20x = 时， ( )L x 取得最大值 L(20) = 145…………………………………………………11 分 当 50x  时，L(x) = 345 − (x + 8100 x ) ≤ 345 − 2 8100 = 165 当且仅当 8100x x  即 90x  时取到等号…………………………………………………14 分 由 165>145 得 x=90 时， ( )L x 取得最大值 答：年产量为 90 万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大 ……………………………………17 分 19.（17 分）已知函数 2( ) 2, ( ) 0f x ax bx f x    解集为{ 2 1}x x  ∣ ． (1)求 ( )f x 的解析式； (2)用定义法证明函数 ( )f x 在[1, +∞)上为单调增函数； (3)若   2f x x m  在区间 1,3 上恒成立，求实数m的范围． 解：（1）由函数 2( ) 2, ( ) 0f x ax bx f x    解集为{ 2 1}x x  ∣ 可知方程 2 2 0ax bx   的两根为 2,1 第 4页（共 4 页） 由 −2+ 1 =− � � ( − 2) × 1 = −2 � 解得 1a b  所以 2( ) 2f x x x   …………………………………………5 分 （2）设�2> �1 ≥ 1 由 f(x2) − f(x1) = x22 + x2 − 2 − (x12 + x1 − 2) = (x2 − x1)(x2 + x1 + 1) ∵ �2> �1 ≥ 1 ∴ x2 − x1 > 0,�2 + �1 + 1 > 0 ∴ f(x2) − f(x1) > 0即 f(x2) > f(x1) ∴ 函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数 …………………………………………10 分 （3）由题意得：x2 + x − 2 > 2x + m 即对于任意的  1,3x  ，有 m < x2 − x − 2恒成立 则 m < (x2 − x − 2)min, x ∈ [ − 1,3] …………………………………………………………14 分 当 x = 1 2 时，由二次函数性质得x2 − x − 2取得最小值− 9 4 ，则 m <− 9 4 ……………………………17 分 第 1页（共 4 页） 淮安市高中校协作体 2024～2025 学年度第一学期高一年级期中联考 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：蒋法宝 一、单项选择题（本大题共有 8 小题，每题 5 分，共 40 分） 1.设集合 A = {1,3,5}，则集合A的真子集的个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．“x > 6”是“x > 16”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.若 5 3a    ，1 4b  ，则 a b 的取值范围为（ ） A．  11,0 0, 3        B． 4 1, 3 5       C． 11, 3       D． 35, 4       4．函数 4 x y x   的定义域是（ ） A．   4,0 0,4  B．  2,2 C．   2,0 0,2  D．[-4,4] 5．已知二次函数  f x 满足   21 2f x x x    ,则  f x 的解析式为（ ） A.f(x) = x2 − x + 2 B. f(x) = x2 + x − 2 C. f(x) = x2 − x − 2 D.f(x) = x2 + x + 2 6．已知函数   2 2 1, 1 2 , 1 x x f x x x x        ,则   3f f  =（ ） A.33 B.34 C.35 D.36 7．已知 3a＝5b＝A，且 1 a ＋ 2 b ＝2，则 A＝( ) A. 4 3 B.5 3 C. 6 3 D.15 8．已知正数 ,a b满足 3a + b = ab，则 a + 3b的最小值是( ) A．16 B．6 3 C．2 2 D．18 二、多项选择题（本大题共有 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部 选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分.） 9．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是( ) A. A∪B＝B B.(���) ∪ � = {�|� ≤ 2或� > 3} C. (���) ∪ (���) = � D．A∩B＝{x|1＜x≤2} 10.下列结论正确的是（ ） A． 2log 4 2 B． lg10 1 C． ln e 1  D． 3log 23 2 11．已知函数   22f x x ax   在区间  1,2 上不具有单调性，则 a的值可以是（ ） A．9 B．-1 C．-3 D．0 第 2页（共 4 页） 三、填空题（本大题共有 3 小题，每题 5 分，共 15 分） 12．命题“ 20, 4 3 0x x x     ”的否定是 13．通过科学研究发现：地震时释放的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 lg 4.8 1.5E M  . 已知 2011 年甲地发生里氏 8 级地震，2019 年乙地发生里氏 6 级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为 1E ， 2E ，则 1 2 E E  14．若关于 x 的不等式  2 1 0x m x m    的解集中恰有 2个整数，则实数 m的取值范围是 四、解答题（本大题共有 5 小题，第 15 题 13 分，第 16 题、第 17 题每题 15 分，第 18 题、第 19 题每题 17 分，共 77 分） 15.(13 分)已知集合 A = x|x ≥ 2 ，B = 1 ≤ x ≤ 7 ，C = x|x ≥ a − 1 . (1)求� ∩ �，��(� ∪ �)，(���) ∩ �； (2)若� ∪ � = �，求实数 a 的取值范围. 16.（15 分）已知 p：关于 x的方程�2 − 2�� + �2 + � − 3 = 0 有实数根， q： 1 5m a m    ． (1)若命题 p 是真命题，求实数 a的取值范围； (2)若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 第 3页（共 4 页） 17. （15 分）计算下列各式的值： (1)8 2 3 − ( − 7 8 )0 + 4 (3 −π)4 + [( − 2)6] 1 2 + (3 2 × 3)6 + ( 4 2) 8 5 (2)lg2 − lg 1 8 + 4lg5 − log32 ∙ log49 − 25log53 18．（17 分）某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊 蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源， 该地卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需 求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为 55 万元，每生产 x万件，需另外投入 成本 ( )C x （万元）， 21 30 ,0 50 2( ) 810051 400, 50 x x x C x x x x           ，每件工具售价为 50 元，经过市场调研该厂年内生产的 工具能全部销售完． (1)写出年利润 L（万元）关于年产量 x（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？ 第 4页（共 4 页） 19.（17 分）已知函数 2( ) 2, ( ) 0f x ax bx f x    解集为{ 2 1}x x  ∣ ． (1)求 ( )f x 的解析式； (2)用定义法证明函数 ( )f x 在[1, +∞)上为单调增函数； (3)若   2f x x m  在区间 1,3 上恒成立，求实数m的范围．