3.3.1.2抛物线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程2 万志强 先成人 再成才 有理想 敢担当 y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) 准线方程 焦点坐标 标准方程 图 形 x F O y l x F O y l x F O y l x F O y l y2=2px (p>0) x2=-2py (p>0) P的意义:抛物线的焦点到准线的距离即焦准距 方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置， (3)谁是一次;焦点谁上. (4)焦点“坐标”等于一次项系数除以4， (5)准线“方程”与焦点“坐标”互为相反数. 四种抛物线的对比 焦点位置 x正半轴 x负半轴 y正半轴 y负半轴 先成人 再成才 有理想 敢担当 l 的准线方程？ 的焦点坐标？ 的焦点坐标？ 复习巩固 追问：你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出其焦点坐标、准线方程。 解：由，得： 焦点坐标为：，准线方程为： 先成人 再成才 有理想 敢担当 例1 思考辨析 (1)平面内到定点距离与定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线。 （ ） (2)若动点P到定点F(1,1)的距离等于它到定直线：3x+y-4=0 的距离相等，则动点P轨迹是一条抛物线. （ ） × × 典例分析 先成人 再成才 有理想 敢担当 例2、求过点的抛物线的标准方程 x y o (3,2) 将点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为或 解:∵点在第一象限， ∴抛物线的开口方向只能是向右或向上 ∴设抛物线的标准方程是 = 典例分析 先成人 再成才 有理想 敢担当 1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1) y 2 = 20x; (2) x 2 = y; (3) 2y2 +5x=0; (4) x2 +8y=0. 焦点F (5,0), 准线方程为x =-5 焦点F (0, ), 准线方程为y = 焦点F ( ,0), 准线方程为x = 焦点F (0, -2 ), 准线方程为y =2 练习巩固 先成人 再成才 有理想 敢担当 例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为1m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。 先成人 再成才 有理想 敢担当 练习 2. 先成人 再成才 有理想 敢担当 8 例4、是抛物线上一点，若点的横坐标为，则点到焦点的距离是—————— 这就是抛物线的焦半径公式! x ┑ l F M d H y 典例分析 先成人 再成才 有理想 敢担当 利用抛物线的定义解题 例5、已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又有点(3,2)，求的最小值，并求出此时点的坐标 解：将代入抛物线方程，得： ∵ ，∴点在抛物线的内部。 如图，设点到抛物线准线：的距离为 由抛物线定义，得： = ∴当、 三点共线时， 最小， 最小值为： 此时，点的纵坐标也是2，将其代入得：即， 典例分析 先成人 再成才 有理想 敢担当 例6、点到点的距离比它到直线: 的距离小1，求点的轨迹方程。 典例分析 解法一：（直接法）设点的坐标为： 由题意得：= . . 即： 化简，得： 解法二：（定义法） 由抛物线的定义知点到点的距离等于点到直线的距离即：= ∴，即 即 先成人 再成才 有理想 敢担当 图形 标准方程 焦半径公式 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px (p>0) y2 = -2px (p>0) x2 = 2py (p>0) x2 = -2py (p>0) 四种抛物线的焦半径公式 课堂小结 先成人 再成才 有理想 敢担当 2．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米． $$