2025年广西九年级中考数学二轮复习题型突破课件：常考解答重、难题题型四 二次函数综合题

题型四 二次函数综合题 类型1　二次函数与线段问题 1.(2024·重庆)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(-1,6),与y轴交于点C,与 x轴交于A,B两点(A在B的左侧),连接AC,BC, tan∠CBA=4. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,交AC于点D.点M是线段DE上一动点,MN⊥y轴,垂足为N,点F为线段BC的中点,连接AM,NF.当线段PD长度取得最大值时,求AM+MN+NF的最小值. 【解析】(1)由抛物线的解析式知,OC=4, ∵tan∠CBA=4,则OB=1, 即点B(1,0), 由题意得:, 解得:, 则抛物线的解析式为y=-x2-3x+4; (2)由抛物线的解析式知,点A,B,C的坐标分别为(-4,0),(1,0),(0,4),则点F(,2), 由点A,C的坐标得,直线AC的解析式为y=x+4, 设点P(x,-x2-3x+4),则点D(x,x+4), 则PD=-x2-3x+4-x-4=-x2-4x, 当x=-2时,PD取得最大值,则点E(-2,0),D(-2,2),则MN=2, 将点A向右平移2个单位长度得到点A'(-2,0),连接A'F交y轴于点N,过点N作NM⊥PE,连接AM, 则四边形MNA'A为平行四边形,则AM=A'N,则此时AM+MN+NF= A'N+MN+NF=2+A'F=2+=2+为最小. 2.(2024·广安)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A坐标为(-1,0),点B坐标为(3,0). (1)求此抛物线的函数解析式. (2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线交直线BC于点D,过点P作y轴的垂线,垂足为点E,请探究2PD+PE是否有最大值?若有最大值,求出最大值及此时P点的坐标;若没有最大值,请说明理由. 【解析】(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A坐标为(-1,0),点B坐标为(3,0), ∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+x+2. (2)当x=0时,y=2, ∴C(0,2), 设直线BC为y=kx+2, ∴3k+2=0, 解得k=-, ∴直线BC为y=-x+2, 设P(x,-x2+x+2), ∴D(x,-x+2), ∴2PD+PE=2(-x2+x+2+x-2)+x=-x2+5x, 当x=-=时,有最大值, 此时P(,) . 类型2　二次函数与最短路径问题 1.(2024·德阳)如图,抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)当0<x≤2时,求y=x2-x+c的函数值的取值范围; (3)将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点,求PA+PM的最小值. 【解析】(1)把A(-1,0)代入y=x2-x+c得:0=1+1+c, 解得c=-2, ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2; (2)∵y=x2-x-2=(x-)2-, ∴抛物线y=x2-x-2开口向上,顶点坐标为(,-),对称轴为直线x=; ∵|0-|<|2-|, ∴在0<x≤2时,当x=2,y取最大值,y=22-2-2=0;当x=时,y取最小值,y=-; ∴当0<x≤2时,函数值的取值范围是-≤y≤0; (3)连接BM,AM,过A作AH⊥BM于H,交抛物线对称轴直线x=于P',设直线x=交x轴于N,如图: 在y=x2-x-2中,令y=0得0=x2-x-2, 解得x=-1或x=2, ∴B(2,0), ∴BN=2-=, ∵将抛物线的顶点(,-)向下平移个单位长度得到点M, ∴M(,-3),MN=3, ∴BM===, ∴sin∠BMN===, ∴=, ∴P'H=P'M, ∴P'A+P'M=P'A+P'H=AH, 由垂线段最短可知,当P与P'重合时,PA+PM最小,最小值为AH的长度, ∵2S△ABM=AB·MN=BM·AH, ∴AH===, ∴PA+PM的最小值为. 2.(2023·临夏州)如图1,抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A, 与直线y=-x交于点B(4,-4),点C(0,-4)在y轴上.点P从点 B出发,沿线段BO方向匀速运动,运动到点O时停止. (1)求抛物线y=-x2+bx的解析式; (2)当BP=2时,请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D,连接PC,OD,判断四边形OCPD的形状,并说明理由; (3)如图2,点P从点B开始运动时,点Q从点O同时出发,以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动,点P停止运动时点Q也停止运动,连接BQ,PC,求CP+BQ的最小值. 【解析】(1)∵抛物线y=-x2+bx过点B(4,-4),∴-16+4b=-4,∴b=3,∴y=-x2+3x.即抛物线的解析式为y=-x2+3x. (2)四边形OCPD是平行四边形,理由如下: 如图1,作PD⊥OA交x轴于点H, ∵点P在y=-x上, ∴OH=PH,∠POH=45°, 连接BC,∵OC=BC=4, ∴OB=4,∵BP=2,∴OP=OB-BP=2,∴OH=PH=OP=×2=2, 当xD=2时,DH=yD=-4+3×2=2, ∴PD=DH+PH=2+2=4, ∵C(0,-4),∴OC=4,∴PD=OC, ∵OC⊥x轴,PD⊥x轴,∴PD∥OC, ∴四边形OCPD是平行四边形. (3)如图2,由题意得,BP=OQ,连接BC, 在OA上方作△OMQ,使得∠MOQ=45°,OM=BC,连接MB, ∵OC=BC=4,BC⊥OC, ∴∠CBP=45°,∴∠CBP=∠MOQ, ∵BP=OQ,∠CBP=∠MOQ,BC=OM, ∴△CBP≌△MOQ(SAS), ∴CP=MQ, ∴CP+BQ=MQ+BQ≥MB(当M,Q,B三点共线时最短), ∴CP+BQ的最小值为MB, ∵∠MOB=∠MOQ+∠BOQ=45°+45°=90°, ∴MB===4,即CP+BQ的最小值为4. 类型3　二次函数与面积问题 1.(2024·扬州)如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点. (1)求b,c的值; (2)若点P在该二次函数的图象上,且△PAB的面积为6,求点P的坐标. 【解析】(1)把A(-2,0),B(1,0)代入y=-x2+bx+c得:,解得; (2)由(1)知,二次函数解析式为y=-x2-x+2, 设点P坐标为(m,-m2-m+2), ∵△PAB的面积为6,AB=1-(-2)=3, ∴=AB·|yP|=×3×|-m2-m+2|=6,∴|m2+m-2|=4, 即m2+m-2=4或m2+m-2=-4, 解得m=-3或m=2, ∴P(-3,-4)或(2,-4). 2.(2024·凉山州)如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2相交于A(-2,0),B(3,m)两点,与x轴相交于另一点C. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A,B重合),过点P 作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E,当PE=2ED时,求P点坐标; (3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半? 若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)把B(3,m)代入y=x+2得m=3+2=5,∴B(3,5), 把A(-2,0),B(3,5)代入y=-x2+bx+c得:,解得, ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8; (2)设P(t,-t2+2t+8),则E(t,t+2),D(t,0), ∵PE=2DE, ∴-t2+2t+8-(t+2)=2(t+2), 解得t=1或t=-2(此时P不在直线AB上方,舍去); ∴P的坐标为(1,9); (3)抛物线上存在点M,使△ABM的面积等于△ABC面积的一半,理由如下: 过M作MK∥y轴交直线AB于点K,如图: 在y=-x2+2x+8中,令y=0得0=-x2+2x+8,解得x=-2或x=4, ∴A(-2,0),C(4,0),∴AC=6, ∵B(3,5),∴S△ABC=×6×5=15, 设M(m,-m2+2m+8),则K(m,m+2), ∴MK=|-m2+2m+8-(m+2)|=|-m2+m+6|, ∴S△ABM=MK·|xB-xA|=|-m2+m+6|×5=|-m2+m+6|, ∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半, ∴|-m2+m+6|=×15, ∴|-m2+m+6|=3, ∴-m2+m+6=3或-m2+m+6=-3, 解得m=或m=, ∴M的坐标为(,)或(,)或(,)或(,). 类型4　二次函数与直角三角形存在性 1.(2024·眉山)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-3,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),点D在抛物线上. (1)求该抛物线的解析式; (2)当点D在第二象限内,且△ACD的面积为3时,求点D的坐标; (3)在直线BC上是否存在点P,使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)把A(-3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c得:,解得, ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3; (2)过D作DK∥y轴交AC于K,如图: 由A(-3,0),C(0,3)得直线AC解析式为y=x+3, 设D(t,-t2-2t+3),则K(t,t+3), ∴DK=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t, ∵△ACD的面积为3,∴DK·|xA-xC|=3,即(-t2-3t)×3=3, 解得t=-1或t=-2,∴D的坐标为(-1,4)或(-2,3); (3)在直线BC上存在点P,使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形,理由如下: 在y=-x2-2x+3中,令y=0得0=-x2-2x+3,解得x=-3或x=1, ∴A(-3,0),B(1,0), 由B(1,0),C(0,3)得直线BC解析式为y=-3x+3, 设P(m,-3m+3),D(n,-n2-2n+3), 过P作PN⊥y轴于N,过D作DM⊥y轴于M, ①∵OA=OC=3, ∴当P与C重合,D与A重合时,△OPD是等腰直角三角形,如图: 此时P(0,3); ②当P在第一象限,D在第四象限时, ∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形,∴OD=OP,∠POD=90°, ∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN, ∵∠DMO=90°=∠PNO,∴△DOM≌△OPN(AAS), ∴DM=ON,OM=PN,∴, 解得(n小于0,舍去)或, ∴-3m+3=n=,∴P的坐标为(,); ③当P在第四象限,D在第三象限时,如图: ∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形,∴OD=OP,∠POD=90°, ∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN, ∵∠DMO=90°=∠PNO, ∴△DOM≌△OPN(AAS), ∴OM=PN,DM=ON, ∴, 解得或(n大于0,舍去),∴-3m+3=n=, ∴P的坐标为(,); ④当P在第四象限,D在第一象限,如图: ∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形,∴OD=OP,∠POD=90°, ∴∠DOM=90°-∠PON=∠OPN, ∵∠DMO=90°=∠PNO, ∴△DOM≌△OPN(AAS), ∴OM=PN,DM=ON,∴, 解得(舍去)或, ∴-3m+3=-n=-, ∴P的坐标为(,-); 综上所述,P的坐标为(0,3)或(,)或(,)或(,-). 2.(2023·连云港改编)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L1:y=x2-2x-3的顶点为P.直线l过点M(0,m)(m≥-3),且平行于x轴,与抛物线L1交于A,B两点(B在A的右侧).将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2,抛物线L2交y轴于点C,顶点为D. (1)当m=1时,求点D的坐标; (2)连接BC,CD,DB,若△BCD为直角三角形, 求此时L2对应的函数解析式. 【解析】(1)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴抛物线L1的顶点坐标为P(1,-4), ∵m=1,点P和点D关于直线y=1对称, ∴点D的坐标为(1,6); (2)∵抛物线L1的顶点P(1,-4)与L2的顶点D关于直线y=m对称,∴D(1,2m+4), 抛物线L2:y=-(x-1)2+(2m+4)=-x2+2x+2m+3, ∴当x=0时,C(0,2m+3), ①当∠BCD=90°时,如图1,过点D作DN⊥y轴于点N, ∵D(1,2m+4),∴N(0,2m+4), ∵C(0,2m+3),∴DN=NC=1,∴∠DCN=45°,∵∠BCD=90°,∴∠BCM=45°, ∵直线l∥x轴,∴∠BMC=90°, ∴∠CBM=∠BCM=45°,BM=CM, ∵m≥-3,∴BM=CM=(2m+3)-m=m+3,∴B(m+3,m), ∵点B在y=x2-2x-3的图象上, ∴m=(m+3)2-2(m+3)-3, ∴m=0或m=-3, ∵当m=-3时,得B(0,-3),C(0,-3),此时,点B和点C重合,舍去; 当m=0时,符合题意; 将m=0代入L2:y=-x2+2x+2m+3得L2:y=-x2+2x+3; ②当∠BDC=90°时, 如图2,过点B作BT⊥ND交ND的延长线于点T, 同理,BT=DT,∴D(1,2m+4), ∴DT=BT=(2m+4)-m=m+4, ∵DN=1, ∴NT=ND+DT=1+(m+4)=m+5, ∴B(m+5,m), ∵点B在y=x2-2x-3的图象上, ∴m=(m+5)2-2(m+5)-3, 解得m=-3或m=-4, ∵m≥-3,∴m=-3,此时,B(2,-3),C(0,-3),符合题意; 将m=-3代入L2:y=-x2+2x+2m+3,得L2:y=-x2+2x-3; ③易知,当∠DBC=90°时,此种情况不存在; 综上所述,L2对应的函数解析式为y=-x2+2x+3或y=-x2+2x-3. 类型5　二次函数与等腰三角形存在性 (2024·达州)如图1,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3,0) 和点B(1,0),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线上一点,且S△PMC=2S△DMC,求点P的坐标; (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点,是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由题意得:y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+bx-3, 解得a=1, 则抛物线的解析式为:y=x2+2x-3; (2)由y=x2+2x-3,当x=0时,y=-3,则C(0,-3), ∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,则D(-1,-4),对称轴为直线x=-1. 设直线AC的解析式为y=k1x+b1,代入A(-3,0),C(0,-3), ∴,解得. ∴直线AC的解析式为y=-x-3, 当x=-1时,y=-2,则M(-1,-2), ∴MC==,MD=-2-(-4)=2,CD==, ∴MD2=MC2+CD2, ∴△MCD是等腰直角三角形, ∴S△PMC=2S△DMC=2××CD2=2. 连接MB,设MD交x轴于点E,则ME=EB=2,∴△MBE是等腰直角三角形, ∴∠BME=45°,BM=2, 又∠DMC=45°,∴BM⊥AC, ∴S△BMC=×MC×BM=××2=2, ∴点P与点B重合时符合题意,P(1,0), 如图所示,过点B作BP∥AC交抛物线于点P, 设直线BP的解析式为y=-x+m,将B(1,0)代入得,0=-1+m,解得m=1, ∴直线BP的解析式为y=-x+1 联立解得,或, ∴P(-4,5), 综上所述,P(1,0)或P(-4,5); (3)存在,理由: 设点N(-1,m), 由点A,C,N的坐标得,AC2=18,AN2=4+m2,CN2=1+(m+3)2,当AC=AN时,则18=4+m2,解得m=±, 则点N(-1,±); 当AC=CN或AN=CN时,则18=1+(m+3)2或4+m2=1+(m+3)2,解得:m=-3+或-1(不合题意的值已舍去), 则点N(-1,-1)或(-1,-3+), 综上,N(-1,±)或(-1,-1)或(-1,-3+). 类型6　二次函数与平行四边形 (2024·广元)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线F:y=-x2+bx+c经过点A(-3,-1),与y轴交于点B(0,2). (1)求抛物线函数解析式; (2)在直线AB上方抛物线上有一动点C,连接OC交AB于点D,求的最大值及此时点C的坐标; (3)作抛物线F关于直线y=-1上一点的对称图象F',抛物线F与F'只有一个公共点E(点E在y轴右侧),G为直线AB上一点,H为抛物线F'对称轴上一点,若以B,E,G,H为顶点的四边形是平行四边形,求G点坐标. 【解析】(1)A(-3,-1),B(0,2)代入y=-x2+bx+c,得:, 解得:, ∴抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+2. (2)如图1,过点C作x轴的垂线交AB于点M. ∴CM∥y轴, ∴△CDM∽△ODB, ∴==, 设AB的解析式为y=mx+n,把A(-3,-1),B(0,2)代入解析式得, 解得:, ∴y=x+2. 设C(t,-t2-2t+2),则M(t,t+2), ∴CM=-t2-3t=-+, ∵-3<t<0,-1<0, ∴当t=-时,CM最大,最大值为CM=. ∴的最大值为,此时点C的坐标为. (3)由中心对称可知,抛物线F与F'的公共点E为直线y=-1与抛物线F的右交点, ∴-x2-2x+2=-1, ∴x1=-3(舍),x2=1, ∴E(1,-1). ∵抛物线F:y=-x2-2x+2的顶点坐标为(-1,3), ∴抛物线F'的顶点坐标为(3,-5), ∴抛物线F'的对称轴为直线x=3. 如图2,当BE为对角线时,由题知xE-xG=xH-xB=3, ∴xG=-2, ∴G(-2,0). 如图3,当BE为边时,由题知xH-xG=xE-xB=1, ∴xG=2, ∴G(2,4). 如图4,由题知xG-xH=xE-xB=1, ∴xG=4,∴G(4,6), 综上:点G的坐标为(-2,0),(2,4),(4,6). 类型7　二次函数与矩形问题 (2023·本溪)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A和点B(4,0),与y轴交于点C(0,4),点E在抛物线上. (1)求抛物线的解析式; (2)点E在第一象限内,过点E作EF∥y轴,交BC于点F,作EH∥x轴,交抛物线于点H,点H在点E的左侧,以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH,当矩形EFGH的周长为11时,求线段EH的长; (3)点M在直线AC上,点N在平面内,当四边形OENM是正方形时,请直接写出点N的坐标. 【解析】(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,0)和C(0,4), ∴ 解得, ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4; (2)∵点B(4,0)和C(0,4). 设直线BC的解析式为y=kx+4,则0=4k+4,解得k=-1. 直线BC的解析式为y=-x+4, 设E(x,-x2+x+4),且0<x<4,则F(x,-x+4),GH=EF=-x2+x+4-(-x+4)=-x2+2x, ∵该抛物线的对称轴为-=1, ∴H(2-x,-x2+x+4), ∴GF=EH=x-(2-x)=2x-2, 依题意得2(-x2+2x+2x-2)=11. 解得x=5(舍去)或x=3. ∴EH=4; (3)令y=0,则-x2+x+4=0, 解得x=-2或x=4. ∴A(-2,0). ∴直线AC的解析式为y=2x+4, ∵四边形OENM是正方形, ∴OE=OM,∠EOM=90°, 分别过点M,E作y轴的垂线,垂足分别为Q,P,如图, ∠OPE=∠MQO=90°,∠OEP=90°-∠EOP=∠MOQ. ∴△OEP≌△MOQ(AAS). ∴PE=OQ,PO=MQ. 设E(m,-m2+m+4), ∴PE=OQ=-m,PO=MQ=-m2+m+4.则M(m2-m-4,m), ∵点M在直线AC上, ∴m=2(m2-m-4)+4. 解得m=4或m=-1. 当m=4时,M(0,4),E(4,0), 即点M与点C重合,点E与点B重合时,四边形OENM是正方形,此时N(4,4): 当m=-1时,M(-,-1),E(-1,), 点O向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到点M, 则点E向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到点N, N(-1-,-1),即N(-,). 综上,点N的坐标为(4,4)或(-,). 类型8　二次函数与菱形问题 1.(2024·内江)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DC⊥x轴于点C,交AB于点E. (1)求这条抛物线的函数解析式; (2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似?若存在, 请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由; (3)F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合),过点F作x轴的垂线交AB于点G,连接DF,当四边形EGFD为菱形时,求点D的横坐标. 【解析】(1)令y=0,则-2x+6=0,则x=3; 令x=0,则y=6, ∴A(3,0),B(0,6), 把A(3,0),B(0,6)代入y=-x2+bx+c, 得, 解得, ∴抛物线的函数解析式为y=-x2+x+6; (2)存在点D,使得△BDE和△ACE相似, 设点D(t,-t2+t+6),则E(t,-2t+6),C(t,0), ∴EC=-2t+6,AC=3-t,DE=-t2+3t, ∵△BDE和△ACE相似,∠BED=∠AEC, ∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE, ①如图,当△ACE∽△BDE时,∠BDE=∠ACE=90°, ∴BD∥AC, ∴D点纵坐标为6, ∴-t2+t+6=6, 解得t=0或t=1, ∴D(1,6); ②如图,当△ACE∽△DBE时,∠BDE=∠CAE, 过B作BH⊥DC于H,H(t,6),BH=t,DH=-t2+t,∴∠BHD=90°, ∴=tan∠BDE=tan∠CAE=, ∴==2, ∴-2t2+2t=t, 解得t=0(舍去)或t=, ∴D(,), 综上所述,点D的坐标为(1,6)或(,). (3)如图,∵四边形EGFD为菱形, ∴DE∥FG,DE=FG=EG, 设点D(m,-m2+m+6),E(m,-2m+6), F(n,-n2+n+6),G(n,-2n+6), ∴DE=-m2+3m,FG=-n2+3n, ∴-m2+3m=-n2+3n, 即(m-n)(m+n-3)=0, ∵m-n≠0, ∴m+n-3=0, ∴m+n=3,即n=3-m, ∵A(3,0),B(0,6), ∴AO=3,BO=6, ∴AB==3, 过点G作GK⊥DE于K, ∴KG∥AC, ∴∠EGK=∠BAC, ∴=cos∠EGK=cos∠BAC=, 即=, ∴EG=(n-m)=(3-2m), ∵DE=EG, ∴-m2+3m=(3-2m), ∴m2-(3+2)m+3=0, 解得m=(不符合题意,舍去)或 m=, ∴m=, ∴点D的横坐标为 . 2.(2024·泸州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线 y=ax2+bx+3经过点A(3,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1对称. (1)求该抛物线的解析式; (2)当-1≤x≤t时,y的取值范围是0≤y≤2t-1,求t的值; (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在y轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形?若存在,求出该菱形的边长;若不存在,说明理由. 【解析】(1)A(3,0),抛物线的对称轴为x=1,则抛物线和x轴的另外一个交点为(-1,0), 则抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)=ax2+bx+3,解得a=-1,b=-2, 则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)当-1≤x≤t时, x=-1时,y=0,取得最小值, 则x=t(t小于3)时,y取得最大值, 而抛物线的顶点处取得最大值, 抛物线的顶点坐标为(1,4), 即2t-1=4,解得t=2.5. (3)存在,理由如下: 由抛物线的解析式知,点B(0,3), 当BC是对角线时,菱形BDCE', 由点A,B的坐标得,直线AB的解析式为:y=-x+3, 设点C(x,-x2+2x+3),点D(x,-x+3), 则CD=-x2+2x+3-(-x+3)=BD=x,解得:x=3-, 则BD=x=3-2, 即菱形的边长为3-2. 当BC为边时, 同理可得:BC=CD,则x2+(-x2+2x)2=(-x2+3x)2, 解得:x=2(不合题意的值已舍去), 则CD=-22+6=2, 菱形的边长为2. 综上,菱形的边长为3-2或2. 类型9　二次函数与正方形问题 (2023·岳阳改编)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B两点,交y轴于点C(0,3). (1)请求出抛物线Q1的解析式. (2)如图,在y轴上有一点D(0,-1),点E在抛物线Q1上,点F为坐标平面内一点,是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形?若存在,请求出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)∵抛物线Q1:y=-x2+bx+c经过A(-3,0),C(0,3)两点, ∴,解得, ∴抛物线Q1的解析式为y=-x2-2x+3. (2)存在点E,F使得四边形DAEF为正方形. 理由: 如图,过点E作EG⊥x轴于点G,则∠AGE=90°=∠AOD, ∵A(-3,0),D(0,-1),∴OA=3,OD=1, ∵四边形DAEF是正方形, ∴AE=AD=DF,∠DAE=∠ADF=90°, ∵∠EAG+∠DAO=90°,∠DAO+∠ADO=90°,∴∠EAG=∠ADO, ∴△EAG≌△ADO(AAS), ∴AG=OD=1,EG=OA=3, ∴E(-2,3),当x=-2时,y=-x2-2x+3=-(-2)2-2×(-2)+3=3, ∴点E在抛物线上,过点F作FL⊥y轴于点L, 同理,△DFL≌△ADO(AAS), ∴FL=OD=1,DL=OA=3, ∴OL=DL-OD=3-1=2,∴F(1,2). 类型10　二次函数与相似问题 (2023·武汉改编)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边),交y轴于点C. (1)直接写出A,B,C三点的坐标; (2)如图,作直线x=t(0<t<4),分别交x轴,线段BC,抛物线C1于D,E,F三点,连接CF,若△BDE与△CEF相似,求t的值. 【解析】(1)当y=0时,x2-2x-8=0, 解得x1=-2,x2=4, 当x=0时,y=-8, ∴A(-2,0),B(4,0),C(0,-8). (2)∵F是直线x=t与抛物线C1的交点, ∴F(t,t2-2t-8). ①如图,当△BE1D1∽△CE1F1时, 则∠BCF1=∠CBO,∴CF1∥OB. ∵C(0,-8),∴t2-2t-8=-8, 解得t=0(舍去)或t=2. ②如图,当△BE2D2∽△F2E2C时, 过F2作F2T⊥y轴于点T. ∵∠BCF2=∠BD2E2=90°, ∴∠CBO+∠BCO=90°,∠F2CT+∠BCO=90°, ∴∠F2CT=∠OBC, 又∵∠CTF2=∠BOC, ∴△BCO∽△CF2T,∴=, ∵B(4,0),C(0,-8),∴OB=4,OC=8. ∵F2T=t,CT=-8-(t2-2t-8)=2t-t2, ∴=,∴2t2-3t=0, 解得t=0(舍去)或t=, 综上,符合题意的t的值为2或. 类型11　二次函数与角度问题 (2023·金华)如图,直线y=x+与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线的顶点P在直线AB上,与x轴的交点为C,D,其中点C的坐标为(2,0),直线BC与直线PD相交于点E. (1)如图2,若抛物线经过原点O. ①求该抛物线的函数解析式; ②求的值. (2)连接PC,∠CPE与∠BAO能否相等?若能,求符合条件的点P的横坐标;若不能,试说明理由. 【解析】(1)①∵抛物线经过原点O(0,0),C(2,0),∴对称轴为直线x=1, 当x=1时,y=×1+=, ∴抛物线的顶点P(1,), 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+, 把C(2,0)代入得a+=0,解得a=-, ∴y=-(x-1)2+=-x2+3x,∴该抛物线的函数解析式为y=-x2+3x; ②∵直线y=x+与x轴,y轴分别交于点A,B,∴A(-2,0),B(0,), 设直线OP的解析式为y=kx,把P(1,)代入,得k=, ∴直线OP的解析式为y=x, 如图,过点B作BF∥x轴交OP于点F,则点F的纵坐标与点B的纵坐标相同, ∴=x,解得x=, ∴F(,),∴BF=, ∵BF∥OC,∴△BEF∽△CEO, ∴===,∴的值为. (2)如图,过点P作PF⊥x轴于点F, 设P(m,m+),则F(m,0), ∴PF=m+,AF=m-(-2)=m+2,AC=2-(-2)=4, 在Rt△APF中,AP2=AF2+PF2=(m+2)2+(m+)2=m2+9m+9, 若∠CPE=∠BAO, ∵∠PCD=∠ACP,∴△CPD∽△CAP, ∴∠CDP=∠CPA, ∵PC=PD,∴∠CDP=∠ACP, ∴∠PCD=∠CPA,∴AP=AC, ∴m2+9m+9=16, 解得m1=-,m2=, ∴∠CPE与∠BAO能相等,点P的横坐标为-或. 类型12　二次函数与定值问题 (2024·湖南)已知二次函数y=-x2+c的图象经过点A(-2,5),点P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次函数的图象上的两个动点. (1)求此二次函数的解析式; (2)如图1,此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方,过点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D,连接AC,DQ,PQ.若x2=x1+3,求证:的值为定值; (3)如图2,点P在第二象限,x2=-2x1,若点M在直线PQ上,且横坐标为x1-1,过点M作MN⊥x轴于点N,求线段MN长度的最大值. 【解析】(1) 将点A的坐标代入抛物线解析式得:5=-4+c,则c=9, 即抛物线的解析式为y=-x2+9; (2)证明:令y=-x2+9=0,则x=±3,则点B(3,0), 由点A,B的坐标得,直线AB的解析式为y=-x+3, 设点P,Q,D的坐标分别为:(x1,-+9),(x2,-+9),(x1,-x1+3), 则S△PDQ=×PD×(xQ-xP)=×(-+9+x1-3)(x2-x1)=(-+x1+6), 同理可得:S△ADC=×CD×(xD-xA)=(-+x1+6),则=3为定值; (3)点P,Q的坐标分别为:(x1,-+9),(-2x1,-4+9), 由点P,Q的坐标得,直线PQ的解析式为:y=x1(x-x1)-+9=xx1-2+9, 则MN=yM=(x1-1)x1-2+9=-(x1+)2+≤, 故MN的最大值为. 类型13　抛物线与圆 (2023·苏州)如图,二次函数y=x2-6x+8的图象与x轴分别交于点A,B(点A在点B的左侧),直线l是对称轴.点P在函数图象上,其横坐标大于4,连接PA,PB,过点P作PM⊥l,垂足为M,以点M为圆心,作半径为r的圆,PT与☉M相切,切点为T. (1)求点A,B的坐标; (2)若以☉M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的 面积相等,且☉M不经过点(3,2),求PM长的取值范围. 【解析】(1)令y=0,则x2-6x+8=0, 解得x1=2,x2=4, ∴点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(4,0). (2)∵y=x2-6x+8=(x-3)2-1, ∴对称轴为x=3. 设P(m,m2-6m+8), ∵PM⊥l,∴M(3,m2-6m+8), 连接MT,则MT⊥PT, ∴PT2=PM2-MT2=(m-3)2-r2,即以切线长PT为边长的正方形的面积为(m-3)2-r2,过点P作PH⊥x轴,垂足为H, 则S△PAB=AB·PH=m2-6m+8, ∴(m-3)2-r2=m2-6m+8, ∵r>0,∴r=1. 假设☉M经过点N(3,2),则有两种情况: ①如图,当点M在点N的上方, ∴M(3,3),∴m2-6m+8=3, 解得m=5或1,∵m>4,∴m=5. ②如图,当点M在点N的下方, ∴M(3,1),∴m2-6m+8=1, 解得m=3±, ∵m>4,∴m=3+, 综上所述,PM=m-3=2或, ∴当☉M不经过点N(3,2)时,PM长的取值范围为1<PM<或<PM<2或PM>2. 答:PM长的取值范围为1<PM<或<PM<2或PM>2. 本课结束 $$