2025年广西九年级中考数学二轮复习题型突破课件：常考解答重、难题题型三与切线有关的证明及计算

题型三 与切线有关的证明及计算 类型1　切线证明+全等三角形证明的有关问题 1.(2024·湖北)Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在AC上,以OC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,且BD=BC. (1)求证:AB是☉O的切线. (2)连接OB交☉O于点F,若AD=,AE=1,求弧CF的长. 【解析】(1)连接OD, 在△BOD和△BOC中,, ∴△BOD≌△BOC(SSS), ∴∠BDO=∠BCO, ∵∠ACB=90°, ∴∠BDO=90°, 即OD⊥AB, 又∵点D在☉O上, ∴AB是☉O的切线. (2)令☉O的半径为r, 在Rt△AOD中,()2+r2=(r+1)2, 解得r=1, ∴AO=2,∴sin A==, ∴∠A=30°,∴∠DOC=120°. 又∵△BOD≌△BOC, ∴∠DOB=∠COB=60°, ∴弧CF的长为=. 2.(2023·玉林模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线与AC,BC及AB的延长线分别相交于点D,E,F,☉O是△BEF的外接圆,∠EBF的平分线交EF于点G,交☉O于点H,连接BD,若BC=BF. (1)求证:△ABC≌△EBF. (2)试判断DB与☉O的位置关系,并说明理由. (3)若AB=1,求线段BF和HG的长度. 【解析】(1)∵∠ABC=90°,∴∠EBF=90°, ∵DF⊥AC,∴∠ADF=90°, ∴∠C+∠A=∠A+∠BFE=90°, ∴∠C=∠BFE,在△ABC与△EBF中, , ∴△ABC≌△EBF(ASA). (2)BD与☉O相切, 理由:连接OB, ∵OB=OF,∴∠OBF=∠OFB, ∵∠ABC=90°,AD=CD,∴BD=CD, ∴∠C=∠DBC,∵∠C=∠BFE, ∴∠DBC=∠OBF. ∵∠CBO+∠OBF=90°, ∴∠DBC+∠CBO=90°, ∴∠DBO=90°,∴BD与☉O相切; (3)如图,连接AE,FH,EH, ∵DF垂直平分AC,∴AE=CE=AB=, ∴BF=BC=BE+EC=AB+CE=1+, ∵BH平分∠EBF, ∴∠FBG=∠EBF=×90°=45°, ∴∠EGB=∠GFB+∠FBG=∠GFB+45°=∠C+45°=∠CAE+45°=∠CAE+∠EAB=∠CAB=∠BEG, ∴∠EGB=∠BEG,即BG=BE=1, ∵BH平分∠FBE,∴HF=HE, ∵∠FHE=180°-∠FBE=90°, ∴∠HFE=45°,∴∠HFB=45°+∠EFB=∠EGB=∠GEB=∠FHB, ∴∠HFB=∠FHB, 即FB=HB=1+, ∴HG=HB-GB=1+-1=. 类型2　切线证明+相似三角形证明的有关问题 1.(2024·盐城)如图,点C在以AB为直径的☉O上,过点C作☉O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC. (1)求证:△ABC∽△ACD; (2)若AC=5,CD=4,求☉O的半径. 【解析】(1)连接OC,如图, ∵l是☉O的切线, ∴OC⊥l, ∵AD⊥l, ∴OC∥AD, ∴∠CAD=∠ACO=∠CAB, ∵∠D=∠ACB=90°, ∴△ABC∽△ACD; (2)∵AC=5,CD=4,∠D=90°, ∴AD==3, ∵△ABC∽△ACD, ∴=, ∴=, ∴AB=, ∴半径为. 2.(2023·荆州)如图,在菱形ABCD中,DH⊥AB于H,以DH为直径的☉O分别交AD,BD于点E,F,连接EF. (1)求证:CD是☉O的切线; (2)求证:△DEF∽△DBA. 【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB∥CD,∵DH⊥AB, ∴∠CDH=∠DHA=90°,∴CD⊥OD, ∵OD为☉O的半径, ∴CD是☉O的切线; (2)连接HF, 则∠DEF=∠DHF,∵DH为☉O直径, ∴∠DFH=90°,∴∠DHF=90°-∠BDH, ∵∠DHB=90°, ∴∠DBA=90°-∠BDH, ∴∠DHF=∠DBA=∠DEF, ∵∠EDF=∠BDA, ∴△DEF∽△DBA. 3.(2023·广安)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O,交斜边AC于点D,点E是BC的中点,连接OE,DE. (1)求证:DE是☉O的切线; (2)若sin C=,DE=5,求AD的长; (3)求证:2DE2=CD·OE. 【解析】(1)连接OD,BD, 在Rt△ABC中,∠ABC=90°, ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°, ∴∠BDC=180°-∠ADB=90°, ∵点E是BC的中点,∴DE=BE=EC, ∵OB,OD是☉O的半径,∴OB=OD, 又∵OE=OE,∴△ODE≌△OBE(SSS), ∴∠ODE=∠OBE=90°, ∴半径OD⊥DE,∴DE是☉O的切线; (2)由(1)知:DE=BE=EC,∠ADB=∠BDC=∠ABC=90°, ∵DE=5,∴BC=10, ∵sin C=,∴=,∴BD=8, ∵∠C+∠CBD=∠ABD+∠CBD=90°, ∴∠ABD=∠C, ∴sin ∠ABD=sin C=,∴=, 设AD=4x,则AB=5x, ∵AD2+BD2=AB2,∴(4x)2+82=(5x)2, 解得x=(负值舍去),∴AD=4x=4×=; (3)由(1)(2)得,∠BDC=∠OBE=90°,BE=DE, ∵点O是AB的中点,点E是BC的中点, ∴OE∥AC,BC=2BE, ∴∠C=∠OEB,∴△BCD∽△OEB, ∴=,即=, ∴2DE2=CD·OE. 4.(2023·百色模拟)如图,△ABC为☉O的内接三角形,AB为☉O的直径,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD,交☉O于点D.连接CD交AB于点E,延长BD和CA相交于点P,过点A作AG∥CD交BP于点G. (1)求证:直线GA是☉O的切线; (2)求证:AC2=GD·BD; (3)若tan ∠AGB=,PG=6,求cos P的值. 【解析】(1)∵将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD,∴BC=BD.∴点B在CD的垂直平分线上. 同理得:点A在CD的垂直平分线上. ∴AB⊥CD即OA⊥CD,∵AG∥CD,∴OA⊥GA.∵OA是☉O的半径,∴直线GA是☉O的切线; (2)∵AB为☉O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°. ∴∠ABD+∠BAD=90°. ∵∠GAB=90°,∴∠GAD+∠BAD=90°. ∴∠ABD=∠GAD. ∵∠ADB=∠ADG=90°, ∴△BAD∽△AGD.∴=. ∴AD2=GD·BD. ∵AC=AD,∴AC2=GD·BD; (3)∵tan ∠AGB=,∠ADG=90°, ∴=. ∴AD=GD. ∵AD2=GD·BD,∴BD=2GD. ∵的长=的长, ∴∠GAD=∠GBA=∠PCD. ∵AG∥CD,∴∠PAG=∠PCD. ∴∠PAG=∠PBA. ∵∠P=∠P,∴△PAG∽△PBA. ∴PA2=PG·PB. ∵PG=6,BD=2GD, ∴PA2=6(6+3GD). ∵∠ADP=90°, ∴PA2=AD2+PD2. ∴6(6+3GD)=(GD)2+(6+GD)2. 解得GD=2或GD=0(舍去). ∴PD=8,AP=6, ∴cos P===. 类型3　切线证明+锐角三角函数的有关问题 1.(2024·甘肃)如图,AB是☉O的直径,=,点E在AD的延长线上,且∠ADC=∠AEB. (1)求证:BE是☉O的切线; (2)当☉O的半径为2,BC=3时,求tan∠AEB的值. 【解析】(1)连接BD,OC,OD, ∵=,∴BC=BD, ∵OC=OD,∴点O,B在CD的垂直平分线上,∴OB垂直平分CD,∴∠AFD=90°, ∵∠ADC=∠AEB,∴CD∥BE,∴∠ABE=∠AFD=90°,∴AB⊥BE, ∵AB是☉O的直径,∴BE是☉O的切线; (2)∵☉O的半径为2,∴AB=2×2=4, ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∵BC=3,∴AC===,∴tan ∠ABC==, ∵=,∴∠ADC=∠ABC, ∵∠AEB=∠ADC,∴∠AEB=∠ABC, ∴tan∠AEB=tan∠ABC=. 2.(2024·广安)如图,点C在以AB为直径的☉O上,点D在BA的延长线上,∠DCA=∠CBA. (1)求证:DC是☉O的切线; (2)点G是半径OB上的点,过点G作OB的垂线与BC交于点F, 与DC的延长线交于点E,若sin D=,DA=FG=2,求CE的长. 【解析】(1)连接OC, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB, ∵∠DCA=∠OBC,∴∠DCA=∠OCB, 而AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠DCA+∠OCA=∠OCA+∠OCB=90°, ∴∠OCD=90°,∴DC是☉O的切线; (2)设OC=OA=r, ∵sin D==, ∴=,∴r=8,∴OC=OA=8, 在 Rt△OCD 中, CD===6, ∵∠DCA+∠ECF=∠BFG+∠CBA=90°, ∴∠ECF=∠BFG, 又∵∠BFG=∠EFC,∴∠ECF=∠EFC, ∴EC=EF,设EC=EF=x, ∵∠D=∠D,∠DCO=∠DGE, ∴△DOC∽△DEG, ∴=,则 =,解得x=14, 经检验x=14是所列方程的解, ∴CE=14. 3.(2024·宜宾)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC=10,过点A作AE∥BC,交☉O的直径BD的延长线于点E,连接CD. (1)求证:AE是☉O的切线; (2)若tan∠ABE=,求CD和DE的长. 【解析】(1)连接并延长AO交BC于点F,连接OC,则OB=OC, ∵AB=AC,∴∠AOB=∠AOC, ∴∠FOB=∠FOC,∴OF⊥BC, ∵AE∥BC,∴∠OAE=∠OFB=90°, ∵OA是☉O的半径,且AE⊥OA, ∴AE是☉O的切线. (2)∵OB=OA,∴∠BAF=∠ABE, ∴=tan∠BAF=tan∠ABE=, ∴AF=2BF, ∵AB===BF=10,∴BF=2,AF=4, ∵BF2+FO2=OB2,且OB=OA=4-FO, ∴(2)2+FO2=(4-FO)2, 解得FO=, ∴OD=OB=OA=4-=, ∵OB=OD,BF=CF,∴CD=2FO=2×=3, ∵=cos∠AOE=cos∠FOB=, ∴OE===, ∴DE=OE-OD=-=, ∴CD的长是3,DE的长是. 4.(2024·赤峰)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,☉O经过B,C两点,与斜边AB交于点E,连接CO并延长交AB于点M,交☉O于点D,过点E作EF∥CD,交AC于点F. (1)求证:EF是☉O的切线; (2)若BM=4,tan∠BCD=,求OM的长. 【解析】(1)连接OE,延长EO,交☉O于点P,连接PD,BD,如图, ∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∴∠ABC=45°, ∵CD是☉O的直径,∴∠CBD=90°, ∴∠DBE=∠CBD-∠ABC=90°-45°=45°,∴∠EPD=∠DBE=45°, ∴∠DOE=2∠DPE=2×45°=90°, ∵EF∥CD, ∴∠FEO=∠DOE=90°,即OE⊥EF, ∵OE是☉O的半径, ∴EF是☉O的切线; (2)∵∠DBC=90°,tan∠BCD=, ∴=, ∵BC=AC,∴=, ∵∠DMB=∠CMA,∠A=∠DBM, ∴△DBM∽△CAM, ∴===, ∵BM=4,∴AM=2BM=8, ∴AB=AM+BM=8+4=12, 在等腰直角三角形ABC中,AC2+BC2=AB2,∴AC2+AC2=AB2=, 解得,AC=12, ∴AC=BC=12,∴DB=BC=6, 在Rt△BDC中,CD===6, ∴CO=DO=3, 又=,∴CM=2DM, ∴2DM+DM=CD=6, ∴DM=2, ∴OM=OD-DM=3-2=. 5.(2024·广元)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,☉O经过A,C两点,交AB于点D,CO的延长线交AB于点F,DE∥CF交BC于点E. (1)求证:DE为☉O的切线; (2)若AC=4,tan∠CFD=2,求☉O的半径. 【解析】(1)连接OD. ∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴△ACB为等腰直角三角形, ∴∠CAB=45°, ∴∠COD=2∠CAB=90°, ∵DE∥CF, ∴∠COD+∠EDO=180°, ∴∠EDO=180°-∠COD=90°, 又OD为半径, ∴DE为☉O的切线. (2)过点C作CH⊥AB于点H, ∵△ACB为等腰直角三角形,AC=4, ∴AB=4, ∴CH=AH=2, ∵tan∠CFD=2, ∴=2, ∴FH=, ∵CF2=CH2+FH2, ∴CF=. 在Rt△FOD中,∵tan∠CFD==2, 设半径为r,∴=2, ∴r=. 类型4　切线证明+阴影面积有关的问题 1.(2024·山东)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以点A为圆心,以AD为半径作交AB于点E,以点B为圆心,以BE为半径作交BC于点F,连接FD交于另一点G,连接CG. (1)求证:CG为所在圆的切线; (2)求图中阴影部分面积.(结果保留π) 【解析】(1)连接BG,如图1, 根据题意可知,AD=AE,BE=BF, 又∵AB=BC,∴CF=AE=AD, ∵BC=2AD, ∴BF=BE=AD=AE=CF, ∵AD∥BC, ∴四边形ABFD是平行四边形, ∴∠BFD=∠DAB=60°, ∵BG=BF,∴△BFG是等边三角形, ∴GF=BF,∴GF=BF=FC, ∴G在以BC为直径的圆上,∴∠BGC=90°, ∴CG为所在圆的切线; (2)过D作DH⊥AB于点H,连接BG,如图2, 由图可得,S阴影=S▱ABFD-S扇AED-S扇BEG-S△BFG, 在Rt△AHD中,AD=1,∠DAB=60°, ∴DH=AD·sin∠DAB=1×=, ∴S▱ABFD=AB·DH=2×=, 由题可知,扇形ADE和扇形BGE全等, ∴S扇形AED=S扇形BGE ====, 等边三角形BFG的面积为 GF·DH=×1×=, ∴S阴影=S▱ABFD-S扇形AED-S扇形BEG-S△BFG =---=-. 2.(2024·内江)如图,AB是☉O的直径,C是的中点,过点C作AD的垂线,垂足为点E. (1)求证:△ACE∽△ABC; (2)求证:CE是☉O的切线; (3)若AD=2CE,OA=,求阴影部分的面积. 【解析】(1)∵C是的中点, ∴=,∴∠EAC=∠BAC. ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°. ∵CE⊥AE,∴∠AEC=90°, ∴∠AEC=∠ACB,∴△ACE∽△ABC; (2)连接OC,如图, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, 由(1)知:∠EAC=∠BAC, ∴∠EAC=∠OCA,∴OC∥AE, ∵CE⊥AE,∴OC⊥CE. ∵OC为☉O的半径,∴CE是☉O的切线; (3)连接OD,过点O作OF⊥AD于点F,如图, 则AF=FD=AD, ∵AD=2CE,∴AF=CE. ∵OF⊥AD,CE⊥AE,OC⊥CE, ∴四边形EFOC为矩形,∴OF=CE, ∴OF=AF,则△AFO为等腰直角三角形, ∴∠FAO=45°,AF=FO=OA=1. ∵OA=OD,∴∠ODA=∠FAO=45°, ∴∠AOD=90°. ∴S△OAD=OA·OD=××=1, S扇形OAD==, ∴阴影部分的面积=S扇形OAD-S△OAD=-1. 3.(2023·巴中)如图,已知等腰△ABC,AB=AC,以AB为直径作☉O交BC于点D,过D作DF⊥AC于点E,交BA延长线于点F. (1)求证:DF是☉O的切线. (2)若CE=,CD=2,求图中阴影部分的面积(结果用π表示). 【解析】(1)如图,连接OD, ∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∵OB=OD,∴∠B=∠ODB, ∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD,∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF,∵OD是☉O的半径, ∴DF是☉O的切线; (2)如图,连接AD, 设☉O的半径为r,在Rt△CED中,CE=,CD=2,∴ED2=CD2-CE2=4-3=1, ∴ED=1,∵cos C==, ∴∠C=30°,∴∠B=30°,∴∠AOD=60°, ∵AC∥OD,O为AB的中点, ∴OD是△ABC的中位线,∴D是BC的中点,∴CD=BD=2, ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°, ∴AD=AB=r,∴BD=AD=r=2, ∴r=,∴AB=2r=, ∴AE=AC-CE=AB-=-=, ∴S阴影=S四边形AODE-S扇形AOD =(+)×1-π×()2 =-. 类型5　切线证明+等腰三角形存在性有 关的问题 1.(2023·南宁模拟)如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,P是斜边AC上一个动点,以BP为直径作☉O交BC于点D,与AC的另一个交点为E(点E在点P右侧),连接DE,BE,已知AB=3,BC=6. (1)求线段BE的长; (2)如图2,若BP平分∠ABC,求∠BDE的正切值; (3)是否存在点P,使得△BDE是等腰三角形,若存在,求出所有符合条件的CP的长;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)∵∠ABC=90°,AB=3,BC=6, ∴AC===3, ∵BP为☉O的直径, ∴∠BEP=90°,∴BE⊥AC, ∵S△ABC=×AC×BE=×AB×BC, ∴BE==; (2)∵BP平分∠ABC, ∴∠DBP=∠ABC=45°, 连接DP,如图1, ∵BP为☉O的直径, ∴∠DBP=∠DPB=45°, ∴可设DP=BD=x, ∵∠CDP=∠ABC=90°,∴PD∥AB, ∴△CPD∽△CAB,∴==2, ∴CD=2x,∴CB=3x=6,∴x=2, ∴DP=BD=2,CD=4, ∴CP===2, ∴CE===, ∴tan∠BDE=tan∠BPE====3. (3)存在这样的点P. 由△DCP∽△BCA,得=, ∴CP==CD, 若△BDE是等腰三角形,可分三种情况: ①当BD=BE时,BD=BE=, ∴CD=BC-BD=6-, ∴CP=×(6-) =3-3. ②当BD=DE时,此时点D是Rt△CBE斜边的中点, ∴CD=BC=3,∴CP=; ③当DE=BE时,如图2,作EH⊥BC于点H,则H是BD的中点, ∵∠ABC=∠EHC=90°,∴EH∥AB, ∴=, 又∵AE=AC-CE=3-=, ∴BH=DH==,∴CD=BC-BD=6-=,∴CP=. 综上所述,存在点P,使得△BDE是等腰三角形,符合条件的CP的长为3-3或或. 2.如图,点E,F分别为矩形ABCD边AD,CD上的点,以BE为直径作☉O交BF于点G,且EF与☉O相切,连接EG. (1)若AE=EG,求证:△ABE≌△GBE. (2)若AB=2,tan∠EBF=. ①求DE的长. ②连接AG,若△ABG是以AG为腰的等腰三角形,求所有满足条件的BC的长. 【解析】(1)∵BE为☉O的直径, ∴∠BAE=∠BGE=90°. 在Rt△ABE和Rt△GBE中,, ∴Rt△ABE≌Rt△GBE(HL); (2)①∵EF与☉O相切,∴BE⊥EF, ∴∠BEF=90°,∴∠AEB+∠DEF=90°. ∵四边形ABCD为矩形,∴∠BAE=90°, ∴∠ABE+∠AEB=90°, ∴∠ABE=∠DEF,∵∠BAE=∠D=90°, ∴△ABE∽△DEF,∴=. 在Rt△BEF中,∵tan∠EBF=, ∴==, ∴DE=AB=×2=1; ②若△ABG是以AG为腰的等腰三角形, Ⅰ.当GA=GB时,有∠GAB=∠GBA, ∵∠DAB=∠CBA=90°, ∴∠EAG=∠FBC. ∵∠EAG=∠EBG,∴∠EBG=∠FBC. 在△BEF和△BCF中,, ∴△BEF≌△BCF(AAS), ∴BE=BC.设BC=x,则AD=BC=x, ∴AE=AD-DE=x-1, ∵AB2+AE2=BE2, ∴22+(x-1)2=x2, 解得x=,∴BC=; Ⅱ.当GA=AB=2时,有∠ABG=∠AGB. ∵∠AEB=∠AGB,∴∠AEB=∠ABG. ∵∠AEB+∠ABE=90°,∠ABG+∠FBC=90°,∴∠ABE=∠FBC, ∵∠BAE=∠C=90°,∴△BAE∽△BCF, ∴=. 由(2)①知=, ∴=,∴=,∴BC=. 综上,若△ABG是以AG为腰的等腰三角形,满足条件的BC的长为或. 3.已知:如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C在半径OB上,AC的垂直平分线交OA于点D,交于点E,连接BE,CD. (1)若C是半径OB的中点,求∠OCD的正弦值; (2)若E是的中点,求证:BE2=BO·BC; (3)连接CE,当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时,求CD的长. 【解析】(1)∵C是半径OB的中点, ∴OC=OB=1, ∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD, 设OD=x,∴CD=AD=OA-OD=2-x, 在Rt△OCD中,根据勾股定理得(2-x)2-x2=1,∴x=,∴CD=, ∴sin∠OCD==; (2)如图,连接AE,CE,∵DE是AC的垂直平分线, ∴AE=CE,∵E是的中点, ∴=,∴AE=BE,∴BE=CE, ∴∠CBE=∠BCE, 连接OE,∴OE=OB, ∴∠OBE=∠OEB, ∴∠CBE=∠BCE=∠OEB, ∴△OBE∽△EBC,∴=, ∴BE2=BO·BC; (3)△DCE是以CD为腰的等腰三角形, 当CD=CE时,∵DE是AC的垂直平分线, ∴AD=CD,AE=CE, ∴AD=CD=CE=AE, ∴四边形ADCE是菱形,∴CE∥AD, ∴∠OCE=90°, 设菱形的边长为a,∴OD=OA-AD=2-a, 在Rt△OCE中,OC2=OE2-CE2=4-a2, 在Rt△COD中,OC2=CD2-OD2=a2-(2-a)2,∴4-a2=a2-(2-a)2, ∴a=-2-2(舍)或a=2-2; ∴CD=2-2; 当CD=DE时, ∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=CD, ∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA, ∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA, ∴∠DEA=∠OEA,∴点D和点O重合,此时,点C和点B重合,∴CD=2, 综上,当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时,CD的长为2或2-2. 类型6　切线证明+最值的有关问题 1.(2023·柳州柳南区一模)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,CD⊥AB于点D,P为AB延长线上一点,∠PCD=2∠BAC. (1)求证:CP为☉O的切线; (2)若BP=2,CP=2,求☉O的半径; (3)在(2)的条件下,设M为AC上一个动点,求OM+DM的最小值. 【解析】(1)∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA, ∴∠POC=2∠BAC,∵∠PCD=2∠BAC, ∴∠POC=∠PCD,∵CD⊥AB于点D, ∴∠ODC=90°,∴∠POC+∠OCD=90°, ∴∠PCD+∠OCD=90°,∴∠OCP=90°, ∴OC⊥CP, ∵OC为☉O的半径,∴CP为☉O的切线; (2)设☉O的半径为r, 在Rt△OCP中,BP=2,CP=2, 由勾股定理知OC2+CP2=OP2,即r2+20=(r+2)2,解得r=4; (3)∵S△OCP=OC·CP=OP·CD,即4×2=(4+2)·CD,∴CD=, 作点O关于AC的对称点E,连接OE,交AC于点F,连接ED交AC于点M,连接AE,EC,OM,如图所示: ∵点O关于AC的对称点为E, ∴FE=FO,EO⊥AC, 由垂径定理可知FA=FC,即在四边形AOCE中,对角线AC,OE互相垂直平分, ∴四边形AOCE是菱形, ∴EC∥OA,即EC∥AP, ∴EC=OC=4, ∴∠ECD=∠CDP=90°, 由AC,OE互相垂直平分,根据中垂线性质得ME=MO,∴OM+DM=EM+DM=ED, 在Rt△ECD中,EC=4,CD=, ∴ED==,即OM+DM的最小值为. 2.(2023·南宁江南区二模)在图1至图3中,☉O的直径BC=30,AC切☉O于点C,AC=40,连接AB交☉O于点D,连接CD,P是线段CD上一点,连接PB. (1)如图1,当点P,O的距离最小时,求PD的长; (2)如图2,若射线AP过圆心O,交☉O于点E,F,求tan F的值; (3)如图3,作DH⊥PB于点H,连接CH,直接写出CH的最小值. 【解析】(1)如图1,连接OP, ∵AC切☉O于点C,∴AC⊥BC. ∵BC=30,AC=40,∴AB=50. 由S△ABC=AB·CD=AC·BC, 即×50×CD=×40×30,解得CD=24, 当OP⊥CD时,点P,O的距离最小,此时PD=CD=12. (2)如图2,连接CE, ∵EF为☉O的直径,∴∠ECF=90°. 由(1)知,∠ACB=90°, 由AO2=AC2+OC2, 得(AE+15)2=402+152, 解得AE=5-15. ∵∠ACB=∠ECF=90°, ∴∠ACE=∠BCF=∠AFC. 又∠CAE=∠FAC,∴△ACE∽△AFC, ∴=. ∴tan F====-. (3)CH的最小值为3-9. 如图3,以BD为直径作☉G,则G为BD的中点, ∵DH⊥PB,∴点H总在☉G上, ∵CD=24,BC=30,∠BDC=90°,∴BD=18,∴DG=9,∴GH=9, ∴当点C,H,G在一条直线上时,CH最小, 此时,CG===3,CH=3-9, 即CH的最小值为3-9. 3.如图,在圆的内接△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,点P为优弧BC上一动点,连接PA,PB,PC,CD平分∠BCP交AP于点D. (1)求证:AC=AD; (2)当点P从B运动到C时,求点D运动的路径长; (3)在(2)的条件下,请求出PD的最大值. 【解析】(1)∵AB=AC,∴∠ACB=∠APC, ∵CD平分∠BCP,∴∠BCD=∠PCD, ∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠ADC=∠PCD+∠APC, ∴∠ACD=∠ADC,∴AC=AD; (2)由(1)知,AC=AD,AC=6,∴AD=6, ∴点D始终在以A为圆心,半径为6的圆弧上运动,当点P在点B时,D与B重合,当点P在点C时,D与C重合, ∵∠BAC=120°, ∴点D运动的路径长==4π; (3)∵PD=AP-AD=AP-6, ∴当AP最大时,PD最大, ∵AP是圆的弦,直径是圆内最长的弦, ∴AP最长是直径, 过点A作圆的直径AE,连接CE, ∴∠ACE=90°, ∵AB=AC=6,∠BAC=120°, ∴∠ABC=∠ACB=×(180°-120°)=30°, ∴∠AEC=∠ABC=30°,∴AE=2AC=12,∴AP的最大值是12, ∴PD的最大值是12-6=6. 4.如图1,☉O为△ABC的外接圆,半径为6,AB=AC,∠BAC=120°,点D为优弧上异于B,C的一动点,连接DA,DB,DC. (1)求证:AD平分∠BDC; (2)如图2,CM平分∠BCD,且与AD交于M. 花花同学认为:无论点D运动到哪里,始终有AM=AC; 都都同学认为:AM的长会随着点D运动而变化. 你赞同谁的观点,请说明理由. (3)求DA+DB+DC的最大值. 【解析】(1)∵AB=AC,∴=, ∴∠BDA=∠ADC,∴AD平分∠BDC; (2)赞同花花同学的观点,理由如下: 如图,∵CM平分∠BCD,AD平分∠BDC, ∴∠BCM=∠DCM,∠BDA=∠ADC, ∵∠ACB=∠BDA,∴∠ACB=∠ADC, ∴∠AMC=∠ADC+∠DCM=∠ACB+∠BCM=∠ACM,∴AC=AM, ∴无论点D运动到哪里,始终有AM=AC; (3)如图,在AD右侧作∠DAE=120°,与DC的延长线交于点E,过点A作AF⊥CD于点F, ∵∠BAC=120°, ∴∠BDC=180°-∠BAC=60°, ∴∠ADC=30°, ∴∠E=∠ADC=30°,∴AD=AE, ∵∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=120°,∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中,, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE, ∴BD+CD=CE+CD=DE, ∵AF⊥CD,∴DE=2DF, 在Rt△ADF中,∠ADC=30°,∴AD=2AF, ∴AD2=AF2+DF2,即AD2=(AD)2+DF2,∴DF=AD, ∴DE=2DF=AD, ∴DA+DB+DC=DE+AD=(+1)AD, 当AD为直径时,AD取得最大值,即AD的最大值为12, ∴DA+DB+DC的最大值为12(+1)=12+12. 本课结束 $$