2025年广西九年级中考数学二轮复习题型突破课件：常考解答重、难题题型一实际应用与方案设计

二、常考解答重、难题 题型一 实际应用与方案设计 类型1　购买、分配类方案选择问题 1.(2024·贵州)为增强学生的劳动意识,养成劳动的习惯和品质,某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系,计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生,种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生. 根据以上信息,解答下列问题: (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生? (2)种植甲、乙两种作物共10亩,所需学生人数不超过55人,至少种植甲作物多少亩? 【解析】 (1)设种植1亩甲作物需要x名学生,种植1亩乙作物需要y名学生, 根据题意,得,解得. 答:种植1亩甲作物需要5名学生,种植1亩乙作物需要6名学生. (2)设种植甲作物m亩,则种植乙作物(10-m)亩, 根据题意,得5m+6(10-m)≤55, 解得m≥5, ∴m的最小值为5. 答:至少种植甲作物5亩. 2.(2024·贺州模拟)为了让学生德智体美劳全面发展,提高学生们的动手能力,致远中学成立了烹饪社团.为满足社团活动的需求,计划购买炒锅20口,通过市场调查了解到:若购进A种炒锅10口,B种炒锅5口,需要1325元;若购进A种炒锅4口,B种炒锅3口,需要595元. (1)求购进A,B两种炒锅每口分别需要多少元; (2)商家了解到学校社团实际需求,特推出以下优惠措施: 项目 购买数量少于10口 购买数量不少于10口 A炒锅 不打折 打8折 B炒锅 不打折 打7.5折 根据需求,要求购买B种炒锅的数量不多于A种炒锅数量的,请你帮忙设计出最省钱的购买方案,并求出其所需费用. 【解析】(1)设A种炒锅每口x元,B种炒锅每口y元. 根据题意,得, 解得, ∴A种炒锅每口100元,B种炒锅每口65元. (2)设购买A种炒锅a口,则购买B种炒锅(20-a)口. 根据题意,得20-a≤a,解得a≥15, ∴20-a≤5. 设所需费用W元,则W=0.8×100a+65(20-a)=15a+1 300, ∵15>0,∴W随a的减小而减小, ∵a≥15,∴当a=15时,W取最小值,W最小=15×15+1 300=1 525,此时购买B种炒锅20-15=5(口), ∴购买A种炒锅15口、购买B种炒锅5口最省钱,所需费用1 525元. 3.(2024·柳州模拟)茶道被视为一种修身养性的生活艺术.图中的茶筒、茶漏、茶夹、茶匙、茶针、茶则六样器具,被饮茶爱好者统称为“茶道六君子”.某网店销售甲、乙两种“茶道六君子”套装,甲种套装单价比乙种套装单价便宜40元;用320元购买甲种套装的数量是用240元购买乙种套装数量的2倍. (1)求甲、乙两种套装的单价; (2)某学校社团开展茶文化学习活动,需要从该网店购进 甲、乙两种套装共10套,且总金额不超过1 000元.请通 过计算说明最少需购买多少套甲种套装. 【解析】(1)设甲种套装的单价是x元,则乙种套装的单价是(x+40)元, 根据题意,得=×2, 解得x=80, 经检验,x=80是所列方程的解,且符合题意, ∴x+40=80+40=120(元). 答:甲种套装的单价是80元,乙种套装的单价是120元. (2)设购买y套甲种套装,则购买(10-y)套乙种套装, 根据题意,得80y+120(10-y)≤1 000, 解得y≥5, ∴y的最小值为5. 答:最少需购买5套甲种套装. 4.(2024·梧州模拟) 如何设计购买方案? 素材 1 某班50名同学要去南宁市周边的伊岭岩景区参加“非遗传承,研学之旅”活动,已知景区分为壮文化大观园、溶洞、扎染体验馆三个场馆,且购买1张壮文化大观园门票和1张溶洞门票共需50元,购买3张壮文化大观园门票和2张溶洞门票共需120元.扎染体验馆门票为每张12元. 素材 2 由于场地原因,要求到壮文化大观园参观的人数要多于到溶洞参观的人数,且每位同学只能选择一个场馆参观.参观当天刚好有优惠活动:每购买1张溶洞门票就赠送1张扎染体验馆门票. 问题解决 任务 1 确定场馆门票价格 请分别求出壮文化大观园和溶洞的门票单价. 任务 2 探究经费的使 用 若购买溶洞的门票赠送的扎染体验馆门票刚好够参观扎染体验馆的同学使用,求此次购买门票所需总金额的最小值. 任务 3 拟定购买方案 若购买门票总预算为680元(全部花完),能让去壮文化大观园的人数尽量得多,请你设计一种最佳购买方案. 【解析】任务1:设一张壮文化大观园门票为x元,一张溶洞门票为y元, 由题意得,, 解得, 答:一张壮文化大观园门票为20元,一张溶洞门票为30元. 任务2:设购买溶洞门票a张,则购买壮文化大观园门票(50-2a)张,此次购买门票所需总金额为w元, 依题意得,50-2a>a, 解得a<16, w=30a+20(50-2a)=-10a+1 000, ∵-10<0,∴w随a的增大而减小, ∵a<16,且a为整数, ∴当a=16时,w取得最小值,最小值为-10×16+1 000=840. 答:此次购买门票所需总金额的最小值为840元. 任务3:设购买壮文化大观园门票m张,溶洞门票n张,则购买扎染体验馆门票(50-m-2n)张, 依题意得,20m+30n+12(50-m-2n)=680, ∴m=10-n, 又∵m,n均为正整数, ∴或或, ∴共有3种购买方案, 方案1:购买7张壮文化大观园门票,4张溶洞门票,50-7-2×4=35张扎染体验馆门票; 方案2:购买4张壮文化大观园门票,8张溶洞门票,50-4-2×8=30张扎染体验馆门票; 方案3:购买1张壮文化大观园门票,12张溶洞门票,50-1-2×12=25张扎染体验馆门票; 又∵在不超额的前提下,要让去壮文化大观园的人数尽量得多, ∴选择方案1,即购买7张壮文化大观园门票,4张溶洞门票,35张扎染体验馆门票. 类型2　工程、生产类问题 1.(2024·赤峰)一段高速公路需要修复,现有甲、乙两个工程队参与施工,已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米,且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等. (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米; (2)为了保证交通安全,两队不能同时施工,要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍,那么15天的工期,两队最多能修复公路多少千米? 【解析】(1)设甲队平均每天修复公路x千米,则乙队平均每天修复公路(x+3)千米, 由题意得=, 解得x=6, 经检验,x=6是原方程的解,且符合题意, x+3=9, 答:甲队平均每天修复公路6千米,则乙队平均每天修复公路9千米. (2)设甲队的工作时间为m天,则乙队的工作时间为(15-m)天,15天的工期,两队能修复公路w千米, 由题意得w=6m+9(15-m)=-3m+135, m≥2(15-m), 解得m≥10, ∵-3<0, ∴w随m的增加而减少,∴当m=10时,w有最大值,最大值为w=-3×10+135=105, 答:15天的工期,两队最多能修复公路105千米. 2.(2024·陕西)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4 h;若爸爸单独完成,需2 h.当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了3 h,求这次小峰打扫了多长时间. 【解析】设这次小峰打扫了x h,则爸爸打扫了(3-x)h, 根据题意得,+=1, 解得x=2. 答:这次小峰打扫了2 h. 3.(2023·连云港)目前,我市对市区居民用气户的燃气收费,以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯: 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 0~400 m3 (含400)的部分 2.67 元/m3 若家庭人口超过4人的,每增加1人,第一、二阶梯年用气量的上限分别增加 100 m3,200 m3. 第二阶梯 400~1 200 m3 (含1 200)的部分 3.15 元/m3 第三阶梯 1 200 m3 以上的部分 3.63 元/m3 (1)一户家庭人口为3人,年用气量为200 m3,则该年此户需缴纳燃气费用为　　　　元;  (2)一户家庭人口不超过4人,年用气量为x m3(x>1 200),该年此户需缴纳燃气费用为y元,求y与x的函数解析式; (3)甲户家庭人口为3人,乙户家庭人口为5人,某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3 855元,求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气.(结果精确到1m3) 【解析】(1)200×2.67=534(元); 答案:534 (2)根据题意得:y=400×2.67+(1 200-400)×3.15+3.63(x-1 200)=3.63x-768, ∴y与x的函数解析式为y=3.63x-768(x>1 200); (3)∵400×2.67+(1 200-400)×3.15=3 588<3 855, ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯, 由(2)知,当y=3 855时,3.63x-768=3 855, 解得x≈1 273.6, 又∵2.67×(100+400)+3.15×(1 200+200-500)=4 170>3 855, 且2.67×(100+400)=1 335<3 855. ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯,但未达到第三阶梯, 设乙户年用气量为a m3, 则有2.67×500+3.15(a-500)=3 855, 解得a=1 300, 1 300-1 273.6=26.4≈26 m3. 答:该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气. 类型3　行程问题 1.(2024·陕西)我国新能源汽车快速健康发展,续航里程不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时,该车的剩余电量是80 kW·h,行驶了240 km后,从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中,剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示. (1)求y与x之间的关系式; (2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h,求王师傅驾车 从B市这一高速公路出口驶出时,该车的剩余电量占 “满电量”的百分之多少. 【解析】(1)设y=kx+b(0≤x≤240),代入(0,80),(150,50),得,, 解得k=-,b=80, ∴y=-x+80; (2)令x=240,则y=32, ×100%=32%, 答:该车的剩余电量占“满电量”的32%. 2.(2023·绥化)某校组织师生参加夏令营活动,现准备租用A,B两种型号客车(每种型号的客车至少租用一辆).A型车每辆租金500元,B型车每辆租金600元.若5辆A型车和2辆B型车坐满后共载客310人;3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客340人. (1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人? (2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆,总租金不高于5 500元,并将全校420人载至目的地.该校有几种租车方案?哪种租车方案最省钱? (3)在这次活动中,学校除租用A,B两型客车外,又派出甲,乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米,甲车从学校出发0.5小时后,乙车才从学校出发,却比甲车早0.5小时到达目的地.如图是两车离开学校的路程s(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数图象.根据图象信息,求甲、乙两车第一次相遇后,t为何值时两车相距25千米. 【解析】(1)设每辆A型车坐满后载客x人,每辆B型车坐满后载客y人, 根据题意得:,解得:, ∴每辆A型车坐满后载客40人,每辆B型车坐满后载客55人; (2)设租用A型车m辆,则租用B型车(10-m)辆, 由题意得:, 解得:5≤m≤, ∵m是正整数,∴m可取5,6,7,8, ∴共有4种方案,设总租金为w元,根据题意得w=500m+600(10-m)=-100m+6 000, ∵-100<0,∴w随m的增大而减小,∴m=8时,w最小为-100×8+6 000=5 200(元). ∴租用A型车8辆,租用B型车2辆最省钱; (3)设s甲=kt,把(4,300)代入得:300=4k,解得k=75,∴s甲=75t, 设s乙=kt+b,把(0.5,0),(3.5,300)代入得: ,解得, ∴s乙=100t-50, ∵两车第一次相遇后,相距25千米, ∴100t-50-75t=25或300-75t=25, 解得t=3或t=, ∴在甲、乙两车第一次相遇后,当t=3小时或小时时,两车相距25千米. 类型4　增长率(面积)问题 (2024·北京)为防治污染,保护和改善生态环境,自2023年7月1日起,我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车,“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km,A,B两类物质排放量之和不超过50 mg/km.已知该型号某汽车的A,B两类物质排放量之和原为92 mg/km.经过一次技术改进,该汽车的A类物质排放量降低了50%,B类物质排放量降低了75%,A,B两类物质排放量之和为40 mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”,并说明理由. 【解析】这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”,理由如下: 设该汽车的A类物质排放量为x mg/km,则该汽车的B类物质排放量为 (92-x) mg/km, 根据题意得(1-50%)x+(1-75%)(92-x)=40, 解得x=68, ∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量(1-50%)x=34, ∵“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km, ∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”. 类型5　函数图象问题 1.(2024·齐齐哈尔)领航无人机表演团队进行无人机表演训练,甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞,乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞,甲、乙两架无人机同时匀速上升,6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演,完成表演动作后,按原速度继续飞行上升,当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时,进行了时长为t秒的联合表演,表演完成后以相同的速度大小同时返回地面.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示.请结合图象解答下列问题: (1)a=　　　　米/秒,t=　　　　秒;  (2)求线段MN所在直线的函数解析式; (3)两架无人机表演训练到多少秒时,它们距离地面的高度差为12米?(直接写出答案即可) 【解析】(1)由题意得甲无人机的速度为a=48÷6=8(米/秒), t=39-19=20(秒). 答案:8　20 (2)由题图知,N(19,96), ∵甲无人机的速度为8米/秒, ∴甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8=12(秒), ∴甲无人机单独表演所用时间为19-12=7(秒),6+7=13(秒), ∴M(13,48), 设线段MN所在直线的函数解析式为y=kx+b,将M(13,48),N(19,96)代入得 ,解得, ∴线段MN所在直线的函数解析式为y=8x-56. (3)由题意A(0,20),B(6,48), 线段OB所在直线的函数解析式为y=8x,线段AN所在直线的函数解析式为y=4x+20, 线段BM所在直线的函数解析式为y=48, 当0≤t≤6时,由题意得|4x+20-8x|=12, 解得x=2或x=8(舍去), 当6<t≤13时,由题意得|4x+20-48|=12, 解得x=10或x=4(舍去), 当13<t≤19时,由题意得|8x-56-4x-20|=12, 解得x=16或x=22(舍去), 综上,两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时,它们距离地面的高度差为12米. 2.(2024·绥化)为了响应国家提倡的“节能环保”号召,某共享电动车公司准备投入资金购买A,B两种电动车.若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆,需投入资金30.5万元;若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆,需投入资金48万元.已知这两种电动车的单价不变. (1)求A,B两种电动车的单价分别是多少元; (2)为适应共享电动车出行市场需求,该公司计划购买A,B两种电动车200辆,其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半.当购买A种电动车多少辆时,所需的总费用最少,最少费用是多少元? (3)该公司将购买的A,B两种电动车投放到出行市场后,发现消费者支付费用y元与骑行时间x min之间的对应关系如图.其中A种电动车支付费用对应的函数为y1;B种电动车支付费用是10 min之内,起步价6元,对应的函数为y2.请根据函数图象信息解决下列问题. ①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班.已知两种电动车的平均行驶速度均为300 m/min(每次骑行均按平均速度行驶,其他因素忽略不计),小刘家到公司的距离为8 km,那么小刘选择 　　　　种电动车更省钱(填写A或B).  ②直接写出两种电动车支付费用相差4元时, x的值为 　　　　.  【解析】(1)设A,B两种电动车的单价分别为x元,y元, 由题意得,, 解得, 答:A,B两种电动车的单价分别为1 000元,3 500元. (2)设购买A种电动车m辆,则购买B种电动车(200-m)辆, m≤(200-m), 解得m≤, 设所需购买总费用为w元, 则w=1 000m+3 500(200-m)=-2 500m+700 000, ∵-2 500<0, ∴w随着m的增大而减小, ∵m取正整数, ∴m=66时,w最少, ∴w最少=700 000-2 500×66=535 000(元), 答:当购买A种电动车66辆时所需的总费用最少,最少费用为535 000元. (3)①∵两种电动车的平均行驶速度均为300 m/min,小刘家到公司的距离为 8 km, ∴所用时间=26(分钟), 根据函数图象可得当x>20时,y2<y1更省钱, ∴小刘选择B种电动车更省钱. 答案:B ②设y1=k1x, 将(20,8)代入得,8=20k1, 解得k1=, ∴y1=x, 当0<x≤10时,y2=6, 当x>10时,设y2=k2x+b2, 将(10,6),(20,8)代入得,,解得, ∴y2=x+4, 依题意,当0<x≤10时,y2-y1=4, 即6-x=4, 解得x=5, 当x>10时,|y2-y1|=4, 即|x+4-x|=4, 解得:x=0(舍去) 或x=40. 答案:5或40 3.(2024·赤峰)如图,是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图,如图1,人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴,过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息,设计了以下三个问题,请你解决. (1)如图1,点B与地面的距离为2米,水滑道最低点C与地面的距离为米,点C到点B的水平距离为3米,则水滑道ACB所在抛物线的解析式为　　　　;  (2)如图1,腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米,人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称. ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式; ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内?请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计); (3)为消除安全隐患,公园计划对水滑道进行加固.如图2,水滑道已经有两条加固钢架,一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN,另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM.现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架,为了美观,要求这条钢架与BM平行,且与水滑道有唯一公共点,一端固定在钢架MN上,另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度(结果保留根号). 【解析】(1)根据题意得到水滑道ACB所在抛物线的顶点坐标为C(-3,),且过点B(0,2), 设水滑道ACB所在抛物线的解析式为y=a(x+3)2+, 将B(0,2)代入,得2=a(0+3)2+,即9a=,∴a=, ∴水滑道ACB所在抛物线的解析式为y=(x+3)2+; 答案:y=(x+3)2+ (2)①∵人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称, 则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为y=-(x+b)2+c, ∴人腾空后的路径形成的抛物线BD的顶点坐标与抛物线ACB的顶点坐标C(-3,)关于点B(0,2)成中心对称, ∵0×2-(-3)=3,2×2-=, ∴人腾空后的路径形成的抛物线BD的顶点坐标为(3,),即b=3,c=, ∴此人腾空后的最大高度是米,人腾空后的路径形成的抛物线BD的解析式为y=+; ②由①知人腾空后的路径形成的抛物线BD的解析式为y=-(x-3)2+, 令y=0,则-(x-3)2+=0,即(x-3)2=25,∴x=8或x=-2(舍去,不符合题意), ∴点D(8,0),∴OD=8, ∵OE=12,∴DE=OE-OD=4>3, ∴此人腾空飞出后的落点D在安全范围内; (3)根据题意可得M点的纵坐标为4, 令y=(x+3)2+=4,即(x+3)2=25, ∴x=2(舍去,不符合题意)或x=-8, ∴M(-8,4), 设BM所在直线的解析式为y=kx+b', 将M(-8,4),B(0,2)代入得,解得, ∴BM所在直线的解析式为y=-x+2, 如图,设这条钢架为GH,与MN交于点G,与地面交于H, ∵这条钢架与BM平行,∴设该钢架GH所在直线的解析式为y=-x+n, 联立, 即-x+n=(x+3)2+, 整理得,x2+8x+16-8n=0, ∵该钢架GH与水滑道有唯一公共点, ∴Δ=82-4×1×(16-8n)=0, ∴n=0,即该钢架所在直线的解析式为y=-x,∴点H与点O重合, ∵GN=-×=2,NO=8,∠GNO=90°,∴GH==2, ∴这条钢架的长度为2米. 4.(2023·天津)已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上,文具店离宿舍0.6 km,体育场离宿舍1.2 km,张强从宿舍出发,先用了10 min匀速跑步去体育场,在体育场锻炼了30 min,之后匀速步行了10 min到文具店买笔,在文具店停留10 min后,用了20 min匀速散步返回宿舍,下面图中x表示时间,y表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系. 请根据相关信息,回答下列问题: (1)①填表: 张强离开宿舍的时间/min 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/km   1.2     ②填空:张强从体育场到文具店的速度为　　　　km/min;  ③当50≤x≤80时,请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式; (2)当张强离开体育场15 min时,同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍,如果李明的速度为0.06 km/min,那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?(直接写出结果即可) 【解析】(1)①由题中图象可知,张强从宿舍到体育场的速度为1.2÷10=0.12(km/min), ∴当张强离开宿舍1 min时,张强离宿舍的距离为0.12×1=0.12(km); 当张强离开宿舍20 min时,张强离宿舍的距离为1.2 km; 当张强离开宿舍60 min时,张强离宿舍的距离为0.6 km; 张强离开宿舍的时间/min 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/km 0.12 1.2 1.2 0.6 答案:0.12　1.2　0.6 ②由题中图象可知,张强从体育场到文具店的速度为=0.06(km/min). 答案:0.06 ③当50≤x≤60时,y=0.6,张强从文具店到宿舍的速度为=0.03(km/min), ∴当60<x≤80时,y=2.4-0.03x; 综上,y=; (2)根据题意,当张强离开体育场15 min时,张强已到达文具店并停留了5 min, 设李明从体育场出发x min后与张强相遇, 则0.06x=0.03(x-5)+0.6,解得x=15, ∴1.2-0.06×15=0.3(km), ∴李明遇到张强时离宿舍的距离是0.3 km. 类型6　最值、最优方案问题 1.(2024·成都)推进中国式现代化,必须坚持不懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售,在水果收获的季节,该合作社用17 500元从农户处购进A,B两种水果共1 500 kg进行销售,其中A种水果收购单价为10元,B种水果收购单价为15元. (1)求A,B两种水果各购进多少千克; (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%,若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润,不计其他费用,求A种水果的最低销售单价. 【解析】(1)设A种水果购进x千克,B种水果购进y千克, 根据题意,得, 解得. 答:A种水果购进1 000千克,B种水果购进500千克. (2)设A种水果的销售单价为m元, 根据题意,得1 000×(1-4%)m-10×1 000≥10×1 000×20%, 解得m≥12.5, ∴m的最小值为12.5. 答:A种水果的最低销售单价为12.5元. 2.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上紫薯粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元,某商家用5 000元购进的紫薯粽盒数与3 000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现紫薯粽每盒售价52元时,可售出180盒;每盒售价提高1元时,少售出10盒. (1)求紫薯粽、豆沙粽每盒的进价; (2)设紫薯粽每盒售价x元(52≤x≤70),y表示该商家销售紫薯粽的利润(单位:元),求y关于x的函数解析式并求出y的最大值. 【解析】(1)设紫薯粽每盒进价a元,则豆沙粽每盒进价(a-20)元, 则=, 解得a=50, 经检验a=50是方程的解, 此时a-20=30, 答:紫薯粽每盒进价50元,豆沙粽每盒进价30元. (2)由题意得,当x=52时,每天可售出180盒, 当紫薯粽每盒售价x元(52≤x≤70)时,每天可售[180-10(x-52)]盒, ∴y=(x-50)[180-10(x-52)]=(x-50)(-10x+700)=-10x2+1 200x-35 000 =-10(x-60)2+1 000, ∵-10<0,52≤x≤70, ∴当x=60时,y取最大值,最大值为1 000元, 答:y关于x的函数解析式为y=-10x2+1 200x-35 000(52≤x≤70),且最大利润为1 000元. 3.(2024·云南)A,B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢.某超市销售A,B两种型号的吉祥物,有关信息见如表:   成本(单位:元/个) 销售价格(单位:元/个) A型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,则一共需要 670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要410元. (1)求a,b的值; (2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量x(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的,又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元,求y的最大值. 注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与其成本的差. 【解析】(1)根据题意,得, 解得, ∴a的值是40,b的值是50. (2)购买B种型号吉祥物的数量为(90-x)个. 根据题意,得,解得≤x≤60; y=(40-35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720, ∵-3<0,∴y随x的减小而增大, ∵≤x≤60且x为整数, ∴当x=52时,y的值最大,y最大=-3×52+720=564, ∴y的最大值是564. 4.(2024·遂宁)某酒店有A,B两种客房,其中A种24间,B种20间.若全部入住,一天营业额为7 200元;若A,B两种客房均有10间入住,一天营业额为3 200元. (1)求A,B两种客房每间定价分别是多少元; (2)酒店对A种客房调研发现:如果客房不调价,房间可全部住满;如果每个房间定价每增加10元,就会有一个房间空闲.当A种客房每间定价为多少元时,A种客房一天的营业额W最大,最大营业额为多少元? 【解析】(1)设A种客房每间定价是x元,B种客房每间定价是y元, ∴. ∴. 答:A,B两种客房每间定价分别是200元、120元. (2)由题意,设A种客房每间定价为m元, ∴W=m(24-)=-(m-220)2+4 840. ∵-<0,∴当m=220时,W取最大值,最大值为4 840. 答:当A种客房每间定价为220元时,A种客房一天的营业额W最大,最大营业额为 4 840元. 5.(2024·德阳)罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一,至今有200多年历史,采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋,经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成.为了迎接端午节,进一步提升糯米咸鹅蛋的销量,德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售,有A,B两种组合方式,其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽,B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽.A,B两种组合的进价和售价如表: 价格 A B 进价(元/件) 94 146 售价(元/件) 120 188 (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少; (2)根据市场需求,超市准备的B种组合数量比A种组合数量的3倍少5件,且两种组合的总件数不超过95件,假设准备的两种组合全部售出,为使利润最大,该超市应准备多少件A种组合?最大利润为多少? 【解析】(1)设每枚糯米咸鹅蛋的进价是x元,每个肉粽的进价是y元, 根据题意,得, 解得. 答:每枚糯米咸鹅蛋的进价是16元,每个肉粽的进价是5元. (2)设该超市准备m件A种组合,则该超市准备(3m-5)件B种组合, 根据题意,得m+3m-5≤95, 解得m≤25. 设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为w元, 则w=(120-94)m+(188-146)(3m-5), 即w=152m-210, ∵152>0, ∴w随m的增大而增大,∴当m=25时,w取得最大值,最大值为152×25-210=3 590. 答:为使利润最大,该超市应准备25件A种组合,最大利润为3 590元. 类型7　拱形问题 1.(2024·武汉)16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行. 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=-x+b.其中,当火箭运行的水平距离为9 km时,自动引发火箭的第二级. (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km, ①直接写出a,b的值; ②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km,求这两个位置之间的距离. (2)直接写出a满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 【解析】(1)①∵y=ax2+x经过点(9,3.6), ∴81a+9=3.6.解得a=-. ∵y=-x+b经过点(9,3.6), ∴3.6=-×9+b.解得b=8.1; ②由①得,y=-x2+x =-(x2-15x+)+ =-(x-)2+(0≤x≤9). ∴火箭运行的最高点是 km. ∴-1.35=2.4(km). ∴2.4=-x2+x. 整理得,x2-15x+36=0. 解得x1=12>9(不合题意,舍去),x2=3. 由①得,y=-x+8.1. ∴2.4=-x+8.1.解得x=11.4. ∴11.4-3=8.4(km). 答:这两个位置之间的距离为8.4 km. (2)当x=9时,y=81a+9. ∴火箭第二级的引发点的坐标为(9,81a+9). 设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km. ∴y=-x+b经过点(9,81a+9),(15,0) ∴.解得. ∴-<a<0时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 2.(2024·江西)如图,一小球从斜坡O点以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx(a<0)刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如表: x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①m=　　　　,n=　　　　;  ②小球的落点是A,求点A的坐标. (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系:y=-5t2+vt. ①小球飞行的最大高度为　　　　米;  ②求v的值. 【解析】(1)①根据小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律表可知, 抛物线顶点坐标为(4,8),,解得, ∴二次函数解析式为y=-x2+4x, 当y=时,-x2+4x=, 解得x=3或x=5(舍去),∴m=3, 当x=6时,n=y=-×62+4×6=6, 答案:3　6 ②联立得, 解得或, ∴点A的坐标是(,). (2)①由题干可知小球飞行的最大高度为8米, 答案:8 ②y=-5t2+vt=-5(t-)2+,则=8, 解得v=4(负值舍去). 本课结束 $$