2025年广西九年级中考数学二轮复习题型突破课件：常考解答重、难题题型五综合与实践

题型五 综合与实践 类型1　探索应用型 1.(2024·吉林)综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究,第一小组负责调查板凳的历史及结构特点;第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识:第三小组负责汇报和交流,下面是第三小组汇报的部分内容,请你阅读相关信息,并解答“建立模型”中的问题. 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”,是中国传统家具,其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究,木工一般用铅笔画出凳面的对称轴,以对称轴为基准向两边各取相同的长度,确定榫眼的位置,如图②所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美. 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x mm,凳面的宽度为y mm,记录如下: 以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③,小组根据表中x,y的数值,在平面直角坐标系中描出了各点. 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题: (1)观察上述各点的分布规律,它们是否在同一条直线上? 如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数解析式; 如果不在同一条直线上,说明理由. (2)当凳面宽度为213 mm时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少? 【解析】(1)在同一条直线上,理由如下:设函数解析式为:y=kx+b(k≠0), ∵当x=16.5,y=115.5,x=23.1,y=148.5, ∴,解得:, ∴函数解析式为y=5x+33, 经检验其余点均在直线y=5x+33上, ∴函数解析式为y=5x+33,这些点在同一条直线上; (2)把y=213代入y=5x+33得:5x+33=213,解得x=36, ∴当凳面宽度为213 mm时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36 mm. 2.(2024·山西)阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容,请认真阅读,并完成相应任务. 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象:等边半正多边形 研究思路:类比三角形、四边形,按“概念-性质-判定”的路径, 由一般到特殊进行研究. 研究方法:观察(测量、实验)-猜想-推理证明 研究内容: 【一般概念】对于一个凸多边形(边数为偶数),若其各边都相等,且相间的角相等、相邻的角不相等,我们称这个凸多边形为等边半正多边形.如图1,我们学习过的菱形(正方形除外)就是等边半正四边形,类似地,还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义,对等边半正六边形研究如下:   概念理解:如图2,如果六边形ABCDEF是等边半正六边形,那么AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠C=∠E,∠B=∠D=∠F,且∠A≠∠B. 性质探索:根据定义,探索等边半正六边形的性质,得到如下结论: 内角:等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°. 对角线:… 任务: (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容:　　　　.  (2)如图3,六边形ABCDEF是等边半正六边形.连接对角线AD,猜想∠BAD与∠FAD的数量关系,并说明理由; (3)如图4,已知△ACE是正三角形,☉O是它的外接圆.请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法). 【解析】(1)答案:240 (2)∠BAD=∠FAD. 理由如下:连接BD,FD. ∵六边形ABCDEF是等边半正六边形. ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠C=∠E.∴△BCD≌△FED.∴BD=FD. 在△ABD与△AFD 中, ∴△BAD≌△FAD.∴∠BAD=∠FAD. (3)作法不唯一, 作法一: 作法二: 如图,六边形ABCDEF即为所求. 3.(2024·吉林)小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联,下面是他的研究过程: 【探究论证】 (1)如图①,在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC,垂足为点D.若CD=2,BD=1,则S△ABC=　　　　.  (2)如图②,在菱形A'B'C'D'中,A'C'=4,B'D'=2,则S菱形A'B'C'D'=　　　　.  (3)如图③,在四边形EFGH中,EG⊥FH,垂足为点O.若EG=5,FH=3, 则S四边形EFGH=　　　　;若EG=a,FH=b,猜想S四边形EFGH与a,b的关系,并证明你的猜想.  【理解运用】 (4)如图④,在△MNK中,MN=3,KN=4,MK=5,点P为边MN上一点. 小明利用直尺和圆规分四步作图: (ⅰ)以点K为圆心,适当长为半径画弧,分别交边KN,KM于点R,I; (ⅱ)以点P为圆心,KR长为半径画弧,交线段PM于点I'; (ⅲ)以点I'为圆心,IR长为半径画弧,交前一条弧于点R',点R',K在MN同侧; (ⅳ)过点P画射线PR',在射线PR'上截取PQ=KN,连接KP,KQ,MQ. 请你直接写出S四边形MPKQ的值. 【解析】(1)∵在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC,CD=2,∴AD=CD=2,∴AC=4, ∴S△ABC=×AC×BD=2. 答案:2 (2)∵在菱形A'B'C'D'中,A'C'=4,B'D'=2, ∴S菱形A'B'C'D'=×B'D'×A'C'=4. 答案:4 (3)∵EG⊥FH,∴S△EFG=×EG×FO,S△EHG=×EG×HO, ∵S四边形EFGH=S△EFG+S△EHG, ∴S四边形EFGH=×EG×FO+×EG×HO=×EG×(FO+HO), ∴S四边形EFGH=×EG×(FO+HO)=×EG×FH, ∵EG=5,FH=3,∴S四边形EFGH=×5×3=. 答案: 猜想:S四边形EFGH=ab. 证明:∵EG⊥FH,∴S△EFG=×EG×FO,S△EHG=×EG×HO, ∵S四边形EFGH=S△EFG+S△EHG, ∴S四边形EFGH=×EG×FO+×EG×HO=×EG×(FO+HO), ∴S四边形EFGH=×EG×(FO+HO)=×EG×FH, ∵EG=a,FH=b,∴S四边形EFGH=ab. (4)根据尺规作图可知:∠QPM=∠MKN, ∵在△MNK中,MN=3,KN=4,MK=5, ∴MK2=KN2+MN2, ∴△MNK是直角三角形,且∠MNK=90°, ∴∠NMK+∠MKN=90°, ∵∠QPM=∠MKN, ∴∠NMK+∠QPM=90°,∴MK⊥PQ, ∵PQ=KN=4,MK=5, ∴根据(3)的结论有:S四边形MPKQ=×MK×PQ=10. 类型2　拓广应用型 1.(2023·连云港)【问题情境 构建函数】 (1)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,M是CD的中点,AE⊥BM,垂足为E.设BC=x,AE=y,试用含x的代数式表示y. 【由数想形 新知初探】 (2)在上述关系式中,y与x成函数关系,其图象如图2所示.若x取任意实数,此时的函数图象是否具有对称性?若有,请说明理由,并在图2上补全函数图象. 【数形结合 深度探究】 (3)在“x取任意实数”的条件下,对上述函数继续探究,得出以下结论:①函数值y随x的增大而增大;②函数值y的取值范围是-4<y<4;③存在一条直线与该函数图象有四个交点;④在图象上存在四点A,B,C,D,使得四边形ABCD是平行四边形.其中正确的是 　　　　.(写出所有正确结论的序号)  【抽象回归 拓展总结】 (4)若将(1)中的“AB=4”改成“AB=2k”,此时y关于x的函数关系式是 　　　　　　　　　　　　;一般地,当k≠0,x取任意实数时,类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程,探究此类函数的相关性质(直接写出3条即可).  【解析】(1)在矩形ABCD中,∠ABC=∠BCM=90°, ∴∠ABE+∠MBC=90°,∵AE⊥BM, ∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°, ∴∠AEB=∠BCM,∠MBC=∠BAE, ∴Rt△ABE∽Rt△BMC,∴=, ∵AB=4,点M是CD的中点,∴CM=CD=AB=2, 在Rt△BMC中,BM===,∴=, ∴y==(x>0); (2)x取任意实数时,对应的函数图象关于原点对称.理由如下: 若P(a,b)为图象上任意一点,则b=, ∴设P(a,b)关于原点的对称点为Q,则Q(-a,-b), ∵当x=-a时,y==-,∴Q(-a,-b)也在函数y=的图象上, ∴当x取任意实数时,函数y=的图象关于原点对称; (3)观察图象,①函数值y随x的增大而增大,故正确; ②函数值y的取值范围是-4<y<4,故错误; ③存在一条直线与该函数图象至多有三个交点,故错误; ④在图象上存在四点A,B,C,D,使得四边形ABCD是平行四边形,故正确. 答案:①④ (4)y关于x的函数关系式为y=(x>0,k>0), 当k≠0,x取任意实数时,有如下相关性质: ①当k>0时,图象经过第一、三象限,函数值y随x的增大而增大, y的取值范围为-2k<y<2k; 当k<0时,图象经过第二、四象限,函数值y随x的增大而减小, y的取值范围为2k<y<-2k; ②函数图象经过原点; ③函数图象关于原点对称.(答案不唯一) 答案:y=(x>0,k>0) 2.(2024·盐城)发现问题 小明买菠萝时发现,通常情况下,销售员都是先削去菠萝的皮,再斜着铲去菠萝的籽. 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽,除了方便操作,是否还蕴含着什么数学道理呢? 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体,若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度,那么籽在侧面展开图上可以看成点,每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列,每行有n个籽,每列有k个籽,行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n,k均为正整数,n>k≥3,d>0),如图1所示. 小明设计了如下三种铲籽方案. 方案1:图2是横向铲籽示意图,每行铲的路径长为　　　　　　,共铲 　　　　行,则铲除全部籽的路径总长为 　　　　　　;  方案2:图3是纵向铲籽示意图,则铲除全部籽的路径总长为　　　　　　;  方案3:图4是销售员斜着铲籽示意图,写出该方案铲除全部籽的路径总长. 解决问题 在三个方案中,哪种方案铲籽路径总长最短? 请写出比较过程,并对销售员的操作方法进行评价. 【解析】方案1:根据题意每行有n个籽,行上相邻两籽的间距为d, ∴每行铲的路径长为(n-1)d, ∵每列有k个籽,呈交错规律排列,∴相当于有2k行, ∴铲除全部籽的路径总长为2(n-1)dk, 答案:(n-1)d　2k　2(n-1)dk 方案2:根据题意每列有k个籽,列上相邻两籽的间距为d, ∴每列铲的路径长为(k-1)d, ∵每行有n个籽,呈交错规律排列,∴相当于有2n列, ∴铲除全部籽的路径总长为2(k-1)dn, 答案:2(k-1)dn 方案3:由题图得斜着铲每两个点之间的距离为=, 根据题意得一共有2n列,2k行,斜着铲相当于有n条线段长,同时有2k-1个, ∴铲除全部籽的路径总长为×(2k-1)nd; 解决问题 由上得:2(n-1)dk-2(k-1)dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n-k)>0, ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长; 2(k-1)dn-×(2k-1)dn=[(2-)k-2+]dn, ∵n>k≥3,当k=3时,(2-)×3-2+=4->0,2(k-1)dn-×(2k-1)dn>0, ∴方案3铲籽路径总长最短,销售员的操作方法是选择最短的路径,减少对菠萝的损耗. 3.(2023·江西)综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动:在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,CD=,动点P以每秒1个单位长度的速度从C点出发,在三角形边上沿C→B→A匀速运动,到达点A时停止,以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t秒,正方形DPEF的面积为S,探究S与t的关系. 初步感知 (1)如图1,当点P由点C运动到点B时, ①当t=1时,S=　　　　;  ②S关于t的函数解析式为 　　　　.  (2)当点P由点B运动到点A时,经探究发现S是关于t的二次函数,并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息,求S关于t的函数解析式及线段AB的长. 延伸探究 (3)若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等. ①t1+t2=　　　　;  ②当t3=4t1时,求正方形DPEF的面积. 【解析】(1)①当t=1时,CP=1, 又∵∠C=90°,CD=, ∴S=DP2=CP2+CD2=12+()2=3. 答案:3 ②当点P由点C运动到点B时,CP=t, ∵∠C=90°,CD=,∴S=DP2=CP2+CD2=t2+()2=t2+2. 答案:S=t2+2 (2)由图可得:当点P运动到点B处时,PD2=BD2=6, 当点P运动到点A处时,PD2=AD2=18,抛物线的顶点坐标为(4,2), ∴BC===2,AD==3,∴M(2,6), 设S=a(t-4)2+2,将M(2,6)代入,得4a+2=6,解得a=1, ∴S=(t-4)2+2=t2-8t+18,∴AC=AD+CD=3+=4, 在Rt△ABC中,AB===6,CB+AB=2+6=8, ∴抛物线的解析式为S=t2-8t+18(2≤t≤8); (3)①如图,则∠AHD=90°=∠C, ∵∠DAH=∠BAC,∴△ADH∽△ABC,∴==,即==, ∴DH=,AH=4,∴BH=2,DH=CD, ∵存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等, ∴DP1=DP2=DP3,∴CP1=t1,P2H=4-t2, 在Rt△CDP1和Rt△HDP2中,,∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2(HL), ∴CP1=HP2,∴t1=4-t2,∴t1+t2=4. 答案:4 ②∵DP3=DP1,DH=DC,∠DHP3=∠C=90°, ∴Rt△DHP3≌Rt△DCP1(HL), ∴P3H=CP1,∵P3H=t3-4, ∴t3-4=t1,∵t3=4t1, ∴t1=,∴S=()2+2=. 类型3　动手操作应用型 1.(2024·广安)如图,矩形纸片的长为4,宽为3,矩形内已用虚线画出网格线,每个小正方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点,现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁,使其分成两块纸片,请在下列备用图中,用实线画出符合相应要求的剪裁线. 注:①剪裁过程中,在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁; ②在各种剪法中,若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况. 【解析】方法如图所示(答案不唯一): 2.(2024·连云港)【问题情境】 (1)如图1,圆与大正方形的各边都相切,小正方形是圆的内接正方形,那么大正方形面积是小正方形面积的几倍?小听将小正方形绕圆心旋转45°(如图2),这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的　　　　倍.由此可见,图形变化是解决问题的有效策略;  【操作实践】 (2)如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形,四边a,b,c,d之间存在某种数量关系.小昕按所示步骤进行操作,并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程,直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系; 【探究应用】 (3)如图5,在图3中“④”的基础上,小昕将△PDC绕点P逆时针旋转,他发现旋转过程中∠DAP存在最大值.若PE=8,PF=5,当∠DAP最大时,求AD的长; (4)如图6,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D、E分别在边AC和BC上,连接DE,AE,BD. 若AC+CD=5,BC+CE=8,求AE+BD的最小值. 【解析】(1)如图, ∵圆为正方形ABCD的内切圆,为正方形EFGH的外接圆, ∴设AE=DE=DH=CH=CG=BG=AF=BF=m,∠A=90°, ∴AB=AD=2m,EF==m, ∴S正方形ABCD=4m2,S正方形EFGH=(m)2=2m2, ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍. 答案:2 (2)如图, ∵EG⊥FH,∴a2=OF2+OE2,c2=OG2+OH2,d2=OE2+OH2,b2=OF2+OG2, ∴a2+c2=b2+d2,结合图形变换可得:PA2+PC2=PB2+PD2; (3)如图,∵将△PDC绕点P逆时针旋转, ∴点D在以点P为圆心,PD为半径的圆上运动, ∵A为圆外一个定点, ∴当AD与☉P相切时,∠DAP最大, ∴PD⊥AD,∴AD2=AP2-PD2, 由(2)可得:AE=DF, ∵PE=8,PF=5, ∴AD2=AP2-PD2=PE2+AE2-PF2-DF2=82-52=39, ∴AD=; (4)如图,将△BDC沿BC对折,D的对应点为D1, 将△AEC沿AC对折,E的对应点为E1,连接D1E1, ∴CD=CD1,CE=CE1, 再将△ABE1沿AC方向平移,使A与D1重合,如图,得△B1D1E2, 由(2)可得:AE+BD=D1E2+BD1, ∴当E2,D1,B三点共线时,AE+BD=D1E2+BD1最短, ∵AC+CD=5,BC+CE=8, ∴E1E2=5,BE1=8, ∴BE2===, ∴AE+BD的最小值为. 3.(2024·眉山)综合与实践 问题提出:在一次综合与实践活动中,某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处,并绕点O旋转,探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况. 操作发现:将直角三角板的直角顶点放在点O处,在旋转过程中: (1)若正方形边长为4,当一条直角边与对角线重合时,重叠部分的面积为　　　　;当一条直角边与正方形的一边垂直时,重叠部分的面积为 　　　　.  (2)若正方形的面积为S,重叠部分的面积为S1,在旋转过程中S1与S的关系为 　　　　　.  类比探究:如图1,若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合,在旋转过程中,两条直角边分别交正方形两边于E,F两点,小宇经过多次实验得到结论BE+DF=OC,请你帮他进行证明. 拓展延伸:如图2,若正方形边长为4,将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合,在旋转过程中,当三角板的直角边交AB于点M,斜边交BC于点N,且BM=BN时,请求出重叠部分的面积. (参考数据:sin 15°=,cos 15°=,tan 15°=2-) 【解析】操作发现:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOC=90°, 当一条直角边与对角线重合时,重叠部分的面积为=S正方形ABCD=×4×4=4; 当一条直角边与正方形的一边垂直时,如图, ∴∠OMC=∠MON=∠BCD=90°,∴四边形MONC是矩形, ∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACD=45°,OA=OC, ∴∠MOC=∠MCO,∴OM=MC, ∴四边形OMCN是正方形,∴OM=AD=2,∴四边形OMCN的面积是4. 答案:4　4 (2)如图,过点O作OG⊥CB于点G,OH⊥DC于点H. ∵O是正方形ABCD的中心,∴OG=OH, ∵∠OGC=∠OHC=∠C=90°,∴四边形OGCH是矩形, ∵OG=OH,∴四边形OGCH是正方形, ∴∠GOH=∠EOF=90°, ∴∠EOG=∠FOH, ∵∠OGE=∠OHF=90°,∴△OGE≌△OHF(ASA), ∴S△OGE=S△OHF,∴S四边形OECF=S正方形OGCH=S正方形ABCD,∴S1=S. 答案:S1=S 类比探究: 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,OB=OC=OD=OA,∠OBC=∠OCD=45°, ∵∠FOE=∠BOC,∴∠EOB=∠FOC, ∴△EOB≌△FOC(ASA), ∴BE=CF,∴BE+DF=CF+DF=CD, ∵CD=OC,∴BE+DF=OC. 拓展延伸:过点O作OG⊥AB于点G,OH⊥BC于点H. 同(2)可知四边形OGBH是正方形,∴BG=BH,OG=OH, ∵BM=BN,∴GM=NH, ∵∠OGM=∠OHN=90°,∴△OGM≌△OHN(SAS), ∴S△OGM=S△OHN,∠GOM=∠NOH, ∵∠MON=60°,∴∠GOM=×(90°-60°)=15°, 由(1)可知OG=2,=4,∴tan∠GOM=tan 15°==2-, ∴GM=2×(2-)=4-2,∴S△OGM=OG·GM=×2×(4-2)=4-2, ∴重叠部分的面积=S四边形OMBN=S正方形OGBH-2S△OGM=4-2×(4-2)=4-4. 本课结束 $$