第3章圆锥曲线与方程章末综合测评卷-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程章末综合测评卷-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，△和△的内心分别为M，N，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．点P是直线l：上一动点，点，点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，，过点M作圆的切线，切点为S，当取得最小值时，则直线MF的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知，分别为双曲线：的上，下焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，是抛物线上上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．下列有关双曲线与的说法正确的是（    ） A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等 6．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于A，B两点，若的面积是面积的3倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．若，且，则 C．分别以线段、为直径的两个圆内切 D． 8．已知F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为10 B．面积的最大值为 C．椭圆C的焦距为6 D．椭圆C的离心率为 三、填空题 9．已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则 ． 10．已知抛物线：.①则的准线方程为 ；②设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 11．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为 12．已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作切线，切点为A，则的最小值 . 四、解答题 13．设椭圆的两个焦点分别为，，短轴的一个端点为P． (1)若为直角，求椭圆的离心率； (2)若为钝角，求椭圆离心率的取值范围． 14．已知曲线上任意一点到点的距离与到直线距离之比为，在曲线上取两点，使得线段的中点在圆上． (1)求曲线的方程： (2)若为坐标原点，求面积的最大值． 15．若双曲线的一个焦点是，且离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)设过焦点的直线的一个法向量为，当直线与双曲线的右支相交于不同的两点时， ①求实数的取值范围； ②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 16．已知抛物线：，直线，都经过点．当两条直线与抛物线相切时，两切点间的距离为4． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线，分别与抛物线依次交于点 E，F 和 G，H，直线 EH，FG 相交于点．若直线，关于 轴对称，则点是否为定点？请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D B B ACD AB 1．A 【分析】设圆M与△的三边分别切于点D，P，E(参考解析中的图)，根据圆的切线长定理得到相关线段的相等关系，结合双曲线的定义及线段关系可得，进而确定E的坐标，设并确定其范围，由及平方关系、二倍角正弦公式和正弦函数的性质求范围. 【详解】设圆M与△的三边分别切于点D，P，E，设E为，如下图示： 由圆的切线性质知：，，， 由双曲线的定义知：，即，故，可得，即， 故圆M切x轴于双曲线的右顶点处，同理圆N也切x轴于双曲线的右顶点处，又， 所以，则， 设，易知：，又分别为和的平分线， 所以，，， 所以，又， 所以. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：利用圆切线的性质、双曲线定义求出圆与x轴坐标相切的点坐标，并得到，结合表示出，注意的范围. 2．D 【分析】由题意首先求出的轨迹方程，过点作圆的切线，切点为，连接，，，利用勾股定理得到，即当最小时，有最小值，设，利用两点的距离公式表示出，即可求出的最小值，从而求出的坐标，即可求出的方程． 【详解】解：依题意，因为，所以向量与向量共线， 所以与轴平行，故即为点到直线的距离， 又因为在线段的垂直平分线上，所以， 所以点在以为焦点，以为准线的抛物线上，设圆的圆心为，过点作圆的切线，切点为，连接，，， 则为直角三角形，且， 所以， 所以， 当最小时，有最小值， 设，则，所以当时，所以，解得，所以或，当时，此时为； 当时，此时为； 故选：D 3．B 【分析】由题可得，然后利用二倍角公式结合条件可得，然后根据离心率公式即得. 【详解】因为，为的中点， 所以，， 所以，又， ， 所以， 所以. 故选：B. 4．D 【分析】利用抛物线定义，将距离转化为，由余弦定理得到，，之间的关系，化简整理代入不等式，再分离参数求最值即可. 【详解】抛物线，方程可化为，则焦点，准线， 由点为弦的中点，如图过作， 由抛物线定义可知，， 点到直线的距离， 在中，，由余弦定理得， 由不等式得，设 则由得， ， 当且仅当，即时，等号成立，即取最小值. 故要使不等式恒成立，则，则的取值范围为. 故选：D. 5．B 【分析】求出两双曲线的顶点坐标、渐近线方程、焦点坐标以及离心率，可出结论. 【详解】对于双曲线，顶点坐标为，渐近线方程为，焦点坐标为， 离心率为， 对于双曲线，顶点坐标为，渐近线方程为，焦点坐标为， 离心率为， 因此，这两个双曲线有相同的渐近线， 故选：B. 6．B 【分析】设到直线AB的距离为，到直线AB的距离为，根据题意得到，列出方程求得，结合，即可求解. 【详解】依题意，双曲线C：的左、右焦点分别为，， 设到直线AB的距离为，到直线AB的距离为， 则，， 因为的面积是面积的3倍，所以， 即，解得或， 联立方程组，整理得， 则，解得，所以． 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将面积比转化为距离的比，从而得解. 7．ACD 【分析】通过求得，从而求得双曲线的渐近线方程，由此判断A选项的正确性；结合三角形的面积以及双曲线的定义求得，由此判断B选项的正确性；通过圆心距和两个圆半径间的关系判断C选项的正确性；结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性. 【详解】对于A选项，设点，则， 因为、，所以， 由，得，故双曲线的渐近线方程为，A对； 对于B选项，因为，所以， 根据双曲线的定义可得， 又因为，所以，整理得. 由，可得， 即，解得，B错； 对于C，设的中点为，为原点.因为、分别为、的中点， 所以，    则可知以线段、为直径的两个圆内切，C对； 对于D，当点在第一象限时，设点，则，. 因为渐近线方程为， 所以，. 当时，即当轴时，则， 所以，，可得，所以，， 此时，为等腰直角三角形，则，满足； 当时，，， 所以 ， 因为，所以； 当点在第四象限时，同理可得， 综上可知，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 8．AB 【分析】由椭圆的性质直接分析即可. 【详解】对A，因为椭圆C：， 的周长为，故A正确； 对B，因为，面积最大时高最大，为， 所以面积的最大值为，故B正确； 对C，椭圆C的焦距为，故C错误； 对D，椭圆C的离心率为，故D错误； 故选：AB 9．/ 【分析】利用双曲线的定义求出 ，，，利用余弦定理得出结果即可. 【详解】由题意可得，由双曲线的定义得， 而，解得，， 由余弦定理得 ，所以． 故答案为： 10． 【分析】根据抛物线方程求得准线方程，利用以及抛物线的焦半径公式求得点的横坐标. 【详解】抛物线，，所以准线方程为，焦点， 设，则， 由于轴，平分，所以， 所以，即，， 所以的横坐标为. 故答案为：； 11．/ 【分析】根据给定条件探求出椭圆长轴长与其焦距的关系即可计算作答. 【详解】设椭圆长轴长为，焦距为，即， 依题意，，而直线是圆的切线，即，则有， 又点在椭圆上，即，因此，，从而有， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 12．2 【分析】设，由切线长公式求得切线长后，结合二次函数知识得最小值． 【详解】由已知，圆半径为2， 设，， 所以时，， 故答案为：2. 13．(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，从而可表示出，从而可求出离心率， （2）利用余弦定理可得的关系，进而可求出离心率的范围 【详解】（1）因为为直角， 所以为等到腰直角三角形， 所以， 所以， 所以离心率为 （2）因为为钝角， 所以, 所以， 所以, 所以 得，， 所以，即， 因为 所以离心率的范围为 14．(1) (2) 【分析】（1）设曲线上任一点，根据题意列出关系式，即可求出曲线的方程； （2）当轴时，根据椭圆的对称性易求出；当不垂直轴时，设直线方程为，，将其与椭圆方程联立，化简整理，根据韦达定理，求出点的坐标，根据弦长公式求出，再求出设到直线的距离为，即可求出，再根据基本不等式即可求出的最大值，进而求出结果. 【详解】（1）解：设曲线上任一点，则， 化简得的方程为. （2）解：当轴时，位于轴上，且， 由，可得，此时， 当不垂直轴时，设直线方程为，与椭圆交于， 由，得， ∴，，从而， 由在圆上，可得 ∵ 设到直线的距离为，则， 故，当且仅当，即取等号， 所以的面积最大值为. 15．(1) (2)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）利用双曲线的性质直接求解即可； （2）①利用点法式设出直线的方程与双曲线联立，消去，设，，利用韦达定理令和均大于0即可； ②为锐角即,即，解出的范围判断即可. 【详解】（1）因为双曲线的一个焦点是，且离心率为2， 由解得， 所以双曲线的方程为. （2）①根据题意设直线， 由得， 由得，恒成立， 设，，则，， 直线与双曲线的右支相交于不同的两点即 所以解得. ②设存在实数，使为锐角，所以即， 因为， 所以， 由①得即解得， 与矛盾，故不存在. 16．(1)； (2)点是定点，坐标为. 【分析】（1）设切线方程，联立抛物线方程进而可得切点，即得； （2）由题可设：与抛物线方程联立，利用韦达定理法，结合条件可表示出直线的方程，进而即得. 【详解】（1）设经过点的直线为：， 由消去y，得， ， 当直线与抛物线相切时，， ∵， ∴， 所以，解得， ∴切点为，又∵两切点间的距离为4， ∴，即， ∴抛物线的标准方程为； （2）设点，，：，则，， 联立，消去得， 则，， ∵直线，关于轴对称， ∴直线 也关于 轴对称， ∴交点在 轴上， ∴直线的方程为， 令，得， ∴， ∴， ∴点的坐标为定点． 学科网（北京）股份有限公司 $$