甘肃省天水市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年春季学期天水一中 高二期中考试数学试卷 考试时间：120分钟；试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．设随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．抛掷两枚质地均匀的骰子，两个点数都出现偶数的概率和已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率分别是（    ） A．都是 B．都是 C．和 D．和 6．在三棱锥中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点 B．0是函数的极小值点 C．函数的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 10．下列结论正确的是（    ） A．若向量，，，则共面 B．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．若向量，，则在上的投影向量为 D．已知平面，不重合，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则 11．若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．在点处的切线方程为： C．最小值为 D．对任意，，都有 第II卷（非选择题） 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分,共15分。 12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 13．某处有水龙头3个，调查表明每个水龙头被打开的可能性是，随机变量X表示同时被打开的水龙头的个数，则 （用数字作答）. 14．在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为 . 四、解答题:本大题共5小题,共77分。解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数在时取得极大值4. (1)求实数a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 16．（15分）如图，四棱锥中，底面是正方形，底面，且，，分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分）盒中有大小形状完全相同的8个红球和2个黑球． (1)现随机从中取出一球，观察颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个，再从盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率； (2)从中抽取3个球进行检测，随机变量表示取出黑球的个数，求的分布列及期望． 18．（17分）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，为中点．求： (1)与平面所成角的正弦值； (2)点到平面的距离． 19．（17分）已知函数，. (1)当时，求的值域； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 答案第1页，共2页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【解析】利用空间向量坐标运算法则直接求解． 【详解】解：， 故选： 【点睛】本题考查向量线性运算，考查空间向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 2．C 【分析】利用基本初等函数的导数即可得解. 【详解】对于A，因为(为常数),所以，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 3．C 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，， 则. 故选：C. 4．C 【分析】建立空间坐标系，利用向量求解异面直线所成角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 不妨设，则，， , 设异面直线与所成角为，. 故选：C    5．C 【分析】写出两个点数都出现偶数的基本事件，计算求解即可；利用条件概率计算公式求解即可. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件的总数为， 两个点数都出现偶数的基本事件为，，，，，，，，共个，所以概率为； 记第一枚骰子的点数是偶数为事件，第二枚骰子的点数是偶数为事件， 所以， 由两个点数都出现偶数的概率为，所以， 所以. 故选：. 6．A 【分析】根据空间向量基本定理求出答案. 【详解】由题意得为中点，所以， 又因为，所以， 所以，故A项正确. 故选：A.    7．C 【分析】结合题意可将问题转化为方程有两个不同正实数根、，解出方程组即可得. 【详解】， 由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点， 即当时，有两个不同正实数根， 令方程有两个不同正实数根为、， 则有，，则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：C. 8．A 【分析】分类讨论，利用导数研究函数单调性，求出最值解决恒成立问题. 【详解】函数， ①当，即时，满足； ②当，即时，若，则有， 令，则有， 若，易知在上单调递增，不一定都满足，∴，即， ，由，解得，由，解得，所以， 在上单调递增，在上单调递减，由，则有，解得， 所以时，满足； ③当，即时，若，则有，即， 易知，当且仅当时取等号，当时， 所以， 即，所以不满足恒成立； 综上，若，的取值范围是. 故选：A 9．BC 【分析】根据导函数的正负，即可判断原函数单调性和极值，得出正确选项. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误. 故选：BC 10．AD 【分析】利用空间向量的共面定理判断选项A；根据向量与平行的关系判断选项B；利用投影向量的定义求解选项C；利用法向量判断两平面的平行关系确定选项D. 【详解】对A观察可知，，所以共面，A正确； 对B，，所以或，B错误； 对C，因为，， 所以， 所以在上的投影向量为，C错误； 对D，因为，即共线，所以，D正确； 故选:AD. 11．ABD 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A，利用导数的几何意义即可判断B，由，即可判断C，利用作差法判断D. 【详解】因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为， 且，即为奇函数， 所以的图象关于中心对称，故A正确； ， ，所以在处的切线方程为，即 ，故B正确； ，故C错误； 设任意，则，，则， 又， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以对任意，都有，故D正确； 故选：ABD 12． 【分析】根据切点和斜率求得切线方程. 【详解】，， 切线斜率，故切线方程为， 即. 故答案为： 13． 【分析】根据二项分布概率计算公式计算出的值. 【详解】由于每个龙头被打开的概率为，根据二项分布概率计算公式有. 【点睛】本小题主要考查二项分布的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题. 14．/ 【分析】先证明平面，再求出平面的法向量和直线的方向向量，应用点到平面的距离公式求得结果. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 而平面，平面，故平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 又，， 设平面的法向量为， 故，即，取，则， 又， 故点到平面的距离为. 故答案为：. 15．(1)； (2)最大值为4，,最小值为0. 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【详解】（1），由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以. （2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为底面是正方形，底面，所以两两垂直， 以为原点，方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：    则，，，，，，； 平面的一个法向量是； 所以，所以， 因为平面，所以平面. （2）设平面与平面的夹角为，平面的法向量为， 又，则，取，则，平面的法向量为， 平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 17．(1) (2)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据超几何分布求解概率，进而可求分布列以及期望. 【详解】（1）记第二次取出黑球为事件A,第一次取出红球记为事件,第一次取出黑球记为事件，所以. （2）可能为0，1，2, . 的分布列为： 0 1 2 . 18．(1) (2) 【分析】（1）由题意可知两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解决即可； （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）由题意可知两两垂直， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为； （2）， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则点到平面的距离为． 19．(1) (2) 【分析】（1）求导得到函数的单调性，即可求解端点以及极值点处的函数值求解， （2）构造，求导，结合分类讨论，根据函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）当时，， 则， 令，由于，解得； 令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，故的值域为. （2）若对任意，不等式恒成立， 则，故， 当时，，显然不满足题意，舍去， 当时，记， 则， 由于，令，则； 令，则或； 故在上单调递增，在上单调递减， 由于， 当时，即，此时在上单调递增， 故满足题意， 当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减， 要使恒成立，则且， 解得， 综上可得 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 20．(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）对求导，得出的单调性，即可求出的极值； （2）将题意转化为对恒成立，令，求出，即可得出答案. 【详解】（1）因为，所以，. 令，得.当时，，单调递减； 时，单调递增. 故当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. （2）因为，所以等价于. 令，，则. 令，，则，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故， 从而，即的取值范围为. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$