安徽省新明教育2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷

第 1 页,共 4 页 第 2 页,共 4 页 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 学 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ … … … … … … 装 … … … … … … … … 订 … … … … … … … … 线 … … … … … … … … 内 … … … … … … … … 不 … … … … … … … … 要 … … … … … … … … 答 … … … … … … … 题 … … … … … … … … … … 绝密 启用前 新明教育 2024-2025 学年度高一年级第一学期期中检测(数学)试卷 (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 注意事项: 1.本试卷分第 卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在 答题卡上。 2.回答第 卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 5.考试范围 必修第一册第一章、第二章、第三章。 第 卷(选择题) 一、单项选择题:本题共 8 小题,每题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求. 1.已知集合 M={ x | x2-1=0},则( ) A.1 /∈M B.-1⊆M C.{-1,1}∈M D.{-1,1}⊆M 2.已知函数 f (x)= 3-x+ 3+x-3,其定义域为( ) A.(-3,3) B.[-3,+∞) C.[-3,3] D.(-∞,3] 3.“x=1”是“x2=x”的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列说法中,正确的是( ) A.若 a>b 且 c>d,则 ac>bd B.若 a<0,则 a+ 1 a 的最小值为-2 C.对任意的实数 a 和 b,总有 a+b 2 ≥ ab,当且仅当 a=b时等号成立 D.对任意的实数 a和 b,总有 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时等号成立 5.设 x∈R,定义符号函数 sgn x= -1,x<0 0 ,x=0 1 ,x>0 ,则函数 f(x)=|x| sgn x 的图象大致是( ) 6.若对任意实数 x, x x2+x+1 ≤a 恒成立,则实数 a的取值范围是( ) A.(-∞, 1 3 ] B.[ 1 3 ,+∞) C.(-∞,0] D.[0,+∞) 7.已知 a>b>0,c<d<0,e<0,则下列不等关系成立的是( ) A. 1 a > 1 b B. e a-c > e b-d C.ad<bc D. ce< de 8.已知函数 f (x)满足 f (x)=f (2-x),且 f (x+1)关于(-1,0)对称,任意 x1,x2∈[0,1] (x1≠x2),x1 f (x1)+x2 f (x2) >x1 f (x2)+x2 f (x1)恒成立,设 a=f (1),b=-f (- 4 3 ),c=f (- 1 2 ),则 a,b,c 的大小关系为( ) A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.a<b<c 二、多项选择题:本题共 3 小题,每题 6 分,共 18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题 目要求,全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分. 9.已知集合 A={ x | y= 1 2-x },B={ y | y=x2+1},则( ) A.A∪B=R B.A∩B=[1,2) C.A∩B= D.(CRB)∪A=(-∞,2) 10.下列说法正确的是( ) A.f (x)= |x| x 与 g(x)= 1 ,x>0 -1,x<0 是同一个函数 B.有理数集可以表示为 Q={ x | x= q p ,p,q∈N,p≠0} C.函数 y=x+ 1 x 的图象与 y=x 的图象存在关于原点对称的交点 D.“所有能被 3 整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数” 11.设函数 f (x)的定义域为 A,若对于 A 内任意两个值 x1,x2,都有 f ( x1+x2 2 )≥ f (x1)+f (x2) 2 ,则称 y=f (x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是( ) A.f (x)=1-3x B.f (x)= 1 x C.f (x)=-x2 D.f (x)=|x+1| 第 卷(非选择题) 三、填空题:本大题共 3 题,每小题 5 分,共 15 分. 12.已知幂函数 y=f (x)的图象经过点(2, 2),则幂函数的解析式为 . 13.已知定义域为 R的偶函数 f (x)满足:f ( x)=x+4 x,则函数 f (x)的解析式为 . 14.已知 0<b<a+1,(a2-1)x2+2bx-b2<0 的解集中的整数恰有 4 个,则实数 a的取值范围为 . O x y A. O x y B. O x y C. O x y D. 第 3 页,共 4 页 第 4 页,共 4 页 … … … … … … … … 装 … … … … … … … … 订 … … … … … … … … 线 … … … … … … … … 内 … … … … … … … … 不 … … … … … … … … 要 … … … … … … … … 答 … … … … … … … 题 … … … … … … … … 四、解答题:本大题共 5 小题,满分 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知集合 A={ x |-3≤x≤5},集合 B={ x | m+1≤x≤3m-1}. (1)当 m=2 时,求集合 A∩B,A∪B; (2)若 B⊆A,求实数 m的取值范围. 16.(本小题满分 15 分) 已知正实数 a、b 满足 a+2b=4. (1)求 1 a + 2 b 的最小值; (2)求 a2+4b2+5ab 的最大值. 17.(本小题满分 15 分) 若函数 f (x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过原点且关于直线 x=1 对称,f (x)最小值为-1. (1)求函数的 f (x)的解析式; (2)若存在 x∈[3,4],使得 f (x)>2x+m+1 成立,求实数 m 的取值范围. 18.(本小题满分 17 分) 我们知道,函数 y=f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y=f (x)为奇函数,有同学发现 可以将其推广为:函数 y=f (x)的图象关于点 P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数 y=f (x+a)-b 为奇函数. 已知函数 f (x)=(x-1)3+3x-2. (1)证明:函数 g (x)=f (x+1)-1 是奇函数,并写出函数 f (x)的对称中心; (2)判断(1)中函数 g (x)的单调性(不用证明),解关于 x的不等式 f (-x2)+f (5-2x)>2. 19.(本小题满分 17 分) 当两个三角形有一个公共顶点且相似时,这样的两个三角形称为“孪生”三角形,它是平面几何中的常见图形.如 图,矩形 ABCD 中,AB=4 km,BC=2 km,O 为对角线 AC 的中点,点 P、Q 分别从 A 和 B 两点同时出发,在 边 AB 和 BC 上运动,连接 PO、QO 并延长分别与 CD、DA 交于点 M、N.形成“孪生”三角形,如图阴影部分 所示. (1)当 P、Q 两点匀速运动,并且同时到达终点 B、C 时,在整个运动过程中,请猜想图中“孪生”三角形面积 的大小变化情况 .(从“①一直增大、②一直减小、③先增大后减小、④先减小后增大”中选一个作答, 不要求证明); (2)当 P、Q 两点以相同速度 v=2 km/h 匀速运动时,并且 Q 点到达 C 点后,立即从 C 点向 B 点折返运动,直至 与 P 点第一次相遇.设运动时间为 t小时,求出阴影部分面积 S 关于 t的函数解析式. (3)在函数 y=f (x)中,如果存在? 个互不相等的值 x1,x2,…,xn满足 f (x1)=f (x2)=…=f (xn),则称 x1,x2,…, xn是函数 y=f (x)的 n 重等值根.试判断(2)中函数是否存在 3 重等值根 t1,t2,t3,如果存在,求出 t1+t2+t3的取值 范围. O C B A D M N P Q新明教育 2024-2025 学年度高一年级第一学期期中检测(数学)试卷 【答案详解】 1.答案 D 【详解】集合𝑀 = {𝑥|𝑥2 − 1 = 0} = {−1,1}， 1 M ，A选项错误； 1 M−  ，元素与集合不能用符号，B选项错误； 根据子集的定义，有  1,1 M−  ，D 选项正确； 集合  1,1− 不是集合M 中的元素，不能用符号，C 选项错误. 故选 D 2. 答案 C 【详解】 { 3－x ≥ 0 3＋x ≥ 0 ，则－3≤𝑥≤3， 故选 C 3.答案 B 【详解】由 2 ( 1) 0x x x x− = − = ，可得 0x = 或 1x = ， 所以 1x = 是 2 0x x− = 的充分不必要条件. 故选：B 4. 答案 D 【详解】只有 D 中的不等式是恒成立的。A、C 缺少条件，B 选项应是最大值， 故选 D. 5.答案 D 【详解】函数𝑓(𝑥) = |𝑥|𝑠𝑔𝑛𝑥 = { −1, 𝑥 < 0 0, 𝑥 = 0 1, 𝑥 > 0 故函数𝑓(𝑥) = |𝑥|𝑠𝑔𝑛𝑥的图象为𝑦 = 𝑥所在的直线， 故答案为 D． 6. 答案 B. 【详解】当𝑥=0时，ɑ≥0； 当𝑥>0时， 𝑥 𝑥2+𝑥+1 = 1 𝑥+ 1 𝑥 +1 ≤ 1 3 , 故 ɑ≥ 1 3 ； 当𝑥<0时，0> 𝑥 𝑥2+𝑥+1 = 1 𝑥+ 1 𝑥 +1 ≥－1，故 ɑ≥0； 综上：ɑ≥ 1 3 ，故选 B 7.答案 B 【详解】：A应该是 1 𝑎 < 1 𝑏 ，所以 A错误；B中因为𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑑 > 0，所以0 < 1 𝑎−𝑐 < 1 𝑏−𝑑 ， 又因为 e<0，所以 𝑒 𝑎−𝑐 > 𝑒 𝑏−𝑑 ，所以 B正确；C中不能确定大小； D中应该是√𝑐𝑒 > √𝑑𝑒， 故选 B. 8.答案 A 【详解】：不妨设1 > 𝑥1 > 𝑥2 > 0，𝑥1𝑓(𝑥1) + 𝑥2𝑓(𝑥2) > 𝑥1𝑓(𝑥2) + 𝑥2𝑓(𝑥1)经变形化简可得 ( ) ( )1 2 1 2 0 f x f x x x −  − ，可得函数𝑓(𝑥)是［0,1］上的单调增函数；又因为𝑓(𝑥) = 𝑓(2 − 𝑥)，可 得𝑓(𝑥)关于𝑥 = 1轴对称，所以𝑐 = 𝑓 (− 1 2 ) = 𝑓( 5 2 )；又因为𝑓(𝑥 + 1)关于(-1，0)对称，所 以𝑓(𝑥)是奇函数，故 𝑏 = −𝑓(− 4 3 ) = 𝑓( 4 3 )，由函数单调性𝑐 < 𝑏 < 𝑎,所以 A正确. 9.答案 ABD 【详解】 由𝑦 = 1 √2−𝑥 有意义，可得2 − 𝑥 > 0即𝑥 < 0，故A = (−∞，2) 由∀𝑥 ∈ R, 𝑦 = 𝑥2 + 1可得：B = [1, +∞). 因A ∩ B = [1,2)，故 C项错误，B项正确；因A ∪ B = R，故 A项正确； ∁RB=(−∞，1)，得∁RB ∪ A = （ − ∞，2).故 D项正确. 10.答案 AD 【详解】A 中两个函数的定义域与对应关系都相同，可知是同一个函数，所以 A 正确；B中 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑍，所以 B错误；C中直线𝑦 = 𝑥是对勾函数𝑦 = 𝑥 + 1 𝑥 的一条渐近线，所以两者不相交， 所以 C 错误；D由全称命题的否定可知 D正确，选 AD 11. 答案 AC 【详解】由题意，T性质满足 f( 𝑥1+𝑥2 2 )≥ 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 ，则函数为上凸或者直线类的函数，A为 直线满足，B、D均为下凹函数不满足，C为上凸函数满足。故选 AC 12.答案 ( ) 1 2f x x= 【详解】设 ( )f x 的解析式为 ( )f x x= ，则 2 2 = ，解得 1 2  = ，因此 ( ) 1 2f x x= ． 13.答案 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 + 4𝑥, (𝑥 ≥ 0) 𝑥2－4𝑥, (𝑥 < 0) 或者 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 + 4𝑥, (𝑥 > 0) 𝑥2－4𝑥, (𝑥 ≤ 0) 【详解】设 t=√𝑥，则 t≥0，f(t)=𝑡2+4t; 即当𝑥≥0 时，f(𝑥)=𝑥2+4𝑥; 当𝑥<0时，－𝑥>0,f(－𝑥)=𝑥2－4𝑥,又 f(𝑥)为偶函数，即 f(𝑥)=𝑥2－4𝑥； 故 f(𝑥)={ 𝑥2 + 4𝑥, (𝑥 ≥ 0) 𝑥2－4𝑥, (𝑥 < 0) .或者𝑓(𝑥) = { 𝑥2 + 4𝑥, (𝑥 > 0) 𝑥2－4𝑥, (𝑥 ≤ 0) 14.答案(1，2) 【详解】：∵(𝑎2 − 1)𝑥2 + 2𝑏𝑥 − 𝑏2 < 0∴[(𝑎 − 1)𝑥 + 𝑏][(𝑎 + 1)𝑥 − 𝑏] < 0，当𝑎=1时，𝑥 < 𝑏 𝑎+1 ，有无数个解，舍；当𝑎 <1时，开口向下，有无数个解，舍；当𝑎 >1时，− 𝑏 𝑎−1 < 𝑥 < 𝑏 𝑎+1 ， ∵0 < 𝑏 < 𝑎 + 1，∴0< 𝑏 𝑎+1 < 1，所以要使整数解有 4个，则满足−4 ≤ − 𝑏 𝑎−1 < −3， 解得3(𝑎 − 1) < 𝑏 < 4(𝑎 − 1)，又∵0 < 𝑏 < 𝑎 + 1，∴3(𝑎 − 1) < 𝑎 + 1，解得1 < 𝑎 < 2 15.答案（1）A∩B={𝑥│3 ≤ 𝑥 ≤ 5}，A∪B={𝑥│－3 ≤ 𝑥 ≤ 5}（2）（－∞，2］ 【详解】 因为 A={𝑥│－3 ≤ 𝑥 ≤ 5}，当 m=2 时，B={𝑥│3 ≤ 𝑥 ≤ 5}． 所以 A∩B={𝑥│3 ≤ 𝑥 ≤ 5}, A∪B={𝑥│－3 ≤ 𝑥 ≤ 5} （2）当B =时， 1 3 1m m+  − ，解得 1m  ，满足B A ， 当B 时，若B A ，则{ 𝑚 + 1 ≤ 3𝑚 − 1 𝑚 + 1 ≥ −3 3𝑚 − 1 ≤ 5 ，解得1 2m  ， 实数 m 的取值范围为（－∞，2］． 16.答案（1） 9 4 （2）18 【详解】 （1） 1 𝑎 + 2 𝑏 = 1 4 (𝑎 + 2𝑏) ( 1 𝑎 + 2 𝑏 ) = 1 4 (5 + 2𝑏 𝑎 + 2𝑎 𝑏 ) 𝑎 > 0，𝑏 > 0， 1 4 (5 + 2𝑏 𝑎 + 2𝑎 𝑏 ) ≥ 1 4 (5 + 2√ 2𝑏 𝑎 ∙ 2𝑎 𝑏 ) = 9 4 ， 当且仅当 2𝑏 𝑎 = 2𝑎 𝑏 ，即𝑎 = 𝑏 = 4 3 时，等号成立. 1 𝑎 + 2 𝑏 的最小值为 9 4 （2）𝑎2 + 4𝑏2 + 5𝑎𝑏 = (𝑎 + 2𝑏)2 + 𝑎𝑏 = 16 + 𝑎𝑏， 又∵𝑎 + 2𝑏 = 4 ≥ 2√2𝑎𝑏， ∴𝑎𝑏 ≤ 2 ∴𝑎2 + 4𝑏2 + 5𝑎𝑏 = (𝑎 + 2𝑏)2 + 𝑎𝑏 = 16 + 𝑎𝑏 ≤ 16 + 2 = 18 当且仅当𝑎 = 2𝑏时，即𝑎 = 2，𝑏 = 1时，等号成立. ∴𝑎2 + 4𝑏2 + 5𝑎𝑏的最大值为 18. 17. 答案（1）𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥（2）(−∞， − 1). 【详解】（1）由𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)过原点( )0,0 ，故𝑐 = 0， 又关于𝑥 = 1对称，且最小值为−1，所以 2 1 2 4 1 4 0 b a ac b a a  − =  − = −     ，解得 1, 2a b= = − ， 所以𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 （2）不等式𝑓(𝑥) > 2𝑥 + 𝑚 + 1在3 ≤ 𝑥 ≤ 4上能成立，即𝑥2 − 2𝑥 > 2𝑥 + 𝑚 + 1在3 ≤ 𝑥 ≤ 4上能成立， 进而可得 2 4 1m x x − − 在3 4x  上能成立， 令 ( ) 2 4 1f x x x= − − ，故 ( )f x 为开口向上，且对称轴为 2x = 的二次函数， 当3 4x  时， ( )f x 单调递增，所以𝑓(4) = −1， 故m < −1，即m ∈ (−∞， − 1). 18. 答案（1）见详解（2）（－3,1） 【详解】由题意 f(𝑥)=(𝑥 − 1)3+3𝑥－2，则 g(x)=f(x+1)－1=𝑥3+3x， 显然函数 g(x)的定义域为全体实数，它关于原点对称， 且 g(x)+g(－x)=𝑥3+3x+(−𝑥)3－3x=0，所以函数 g(x)是奇函数， 由题干中充要条件可知：函数 f(x)的图象关于点(1,1)对称. （2）由函数单调性可知 g(x)=𝑥3+3𝑥在 R上单调递增， 关于𝑥的不等式𝑓(－𝑥2)+𝑓(5－2𝑥)>2， 即𝑓(－𝑥2)－1>1－𝑓(5－2𝑥)， 即 g(－𝑥2－1)>－g(4－2𝑥)， 又 g(x)是奇函数，所以 g(－𝑥2－1)>g(2𝑥－4) 又 g(x)在 R上单调递增，故－𝑥2－1>2𝑥－4， 所以𝑥2 + 2𝑥－3<0 所以－3<𝑥<1 所以实数𝑥的取值范围为（－3,1） 19.答案（1）④（2）𝑦 = { 4𝑡2 − 6𝑡 + 4，0 ≤ 𝑡 ≤ 1, −4𝑡2 + 10𝑡 − 4，1 < 𝑡 < 2. 或𝑦 = { 4𝑡2 − 6𝑡 + 4，0 ≤ 𝑡 < 1, −4𝑡2 + 10𝑡 − 4，1 ≤ 𝑡 < 2. （3）存在， 13−√2 4 < 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 < 11+√2 4 【详解】解：（1）如图所示， 连接 OB，∵O 是 AC的中点，∴S△ABO=S△BOC= 1 2 S△ABC，开始时，S△OBP=S△AOB= 1 2 S△ABC，点 P 到达 AB的中点时，点 Q到达 BC的中点时，S△OPQ= 1 4 S△ABC， 结束时，S△OPQ=S△BOC= 1 2 S△ABC，所以，图中阴影部分面积的大小变化情况是：先减小 后增大． （2）当0 ≤ 𝑡 ≤ 1时，S=2[4- 1 2 2𝑡 × 1 − 1 2 (4 − 2𝑡) × 2𝑡 − 1 2 (2 − 2𝑡) × 2]=4𝑡2 − 6𝑡 + 4 当1 < 𝑡 < 2时，S=2[4- 1 2 2𝑡 × 1 − 1 2 (4 − 2𝑡)2 − 1 2 (2𝑡 − 2) × 2]=−4𝑡2 + 10𝑡 − 4 所以𝑆(𝑡) = { 4𝑡2 − 6𝑡 + 4,0 ≤ 𝑡 ≤ 1, −4𝑡2 + 10𝑡 − 4,1 < 𝑡 < 2. （3）存在 3重等值根𝑡1、𝑡2、𝑡3，设𝑡1 < 𝑡2 < 𝑡3，不妨令𝑆(𝑡1) = 𝑆(𝑡2) = 𝑆(𝑡3) = 𝑚,则 7 4 < 𝑚 < 9 4 时，函数𝑆(𝑡)有 3重等值根，当 7 4 < 𝑚 ≤ 2时，𝑡1 + 𝑡2 = 2 × 3 4 = 3 2 ，且𝑚 = 7 4 时，令 −4𝑡2 + 10𝑡 − 4 = 7 4 ，解得𝑡3 = 5+√2 4 ，𝑚 = 2时，𝑡3 = 3 2 ，所以3 ≤ 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 < 11+√2 4 ；当 2 < 𝑚 < 9 4 时，𝑡2 + 𝑡3 = 2 × 5 4 = 5 2 ，𝑚 = 2时，𝑡1 = 1 2 ，𝑚 = 9 4 时，令4𝑡2 − 6𝑡 + 4 = 9 4 ，解得 𝑡1 = 3−√2 4 ，所以 13−√2 4 < 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 ≤ 3，综上， 13−√2 4 < 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 < 11+√2 4