3.2双曲线章节检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2双曲线章节检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 题号 一 二 三 四 总分 得分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．双曲线的焦距为（   ） A．3 B．6 C． D． 2．已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．已知M是双曲线左支上的一个点，，是双曲线的焦点，，的面积为8，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左右支于A、B两点，点在轴上，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 5．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点.若到直线的距离大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于，两点，则下列结论正确的有（   ） A．左焦点到渐近线距离为 B．若，则或1 C．若，则，两点位于的两支 D．点不可能是线段的中点 10．已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（   ） A．椭圆的方程为 B． C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点， 11．已知曲线，则（   ） A．在第一象限为双曲线的一部分 B．关于直线对称 C．与直线无交点 D．过点且与有两个交点的直线有2条 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线与双曲线没有公共点，那么双曲线的离心率的一个值是 ． 13．如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为 . 14．已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 16.（本小题15分） 在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过作直线与交于两点，若，求直线的斜率. 17.（本小题15分） 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称. (i)求m的取值范围； (ii)求证：直线过定点. 18.（本小题17分） 已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 19.（本小题17分） 已知为双曲线的一条渐近线方程，过右焦点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且. (1)求双曲线的方程； (2)设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，且满足.求直线的斜率； (3)过圆上任意一点作切线，分别交双曲线于，两个不同点，中点为，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2双曲线章节检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．双曲线的焦距为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】双曲线,则则则.则焦距为. 故选：B. 2．已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的半焦距为，则， 根据对称性，可知的上焦点到其渐近线的距离为， 所以，所以的渐近线的斜率为. 故选：A. 3．已知M是双曲线左支上的一个点，，是双曲线的焦点，，的面积为8，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    因为∶∶∶1∶，所以∶∶∶∶， 设，由可得，因为，解得， 所以，解得， 所以离心率， 故选：C． 4．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左右支于A、B两点，点在轴上，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，所以△， 设，则，设，则，， 因为平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以， 由双曲线定义知，即，，① 又由得， 所以，即是等边三角形， 所以， 在中，由余弦定理知， 即，化简得， 把①代入上式得，所以离心率为． 故选：A． 5．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆，则左右顶点分别为与， 由，则左右焦点分别为与， 设双曲线方程为，则，，解得， 所以可得. 故选：B. 6．设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点.若到直线的距离大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，，， 由双曲线的对称性知在轴上，设， 则由，得， ， 到直线的距离为， ，进而 故选：B．    7．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点， 则，而，因此，， 则，令与的半焦距为， 由，得，于是，解得，则， ，所以的渐近线方程为. 故选：B 8．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上， 因为、比处同时晚收到信号，所以有， 从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则， 如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，， 所以，双曲线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即点， 从而，所以，直线的倾斜角为， 则在处测得的方向角为北偏东， 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于，两点，则下列结论正确的有（   ） A．左焦点到渐近线距离为 B．若，则或1 C．若，则，两点位于的两支 D．点不可能是线段的中点 【答案】ACD 【详解】对于选项A，由双曲线，得渐近线为，即. 左焦点，左焦点到渐近线距离，所以选项A正确. 对于选项B，根据双曲线定义，又，则， 当时，；当时，. 但是，所以舍去，，选项B错误. 对于选项C，当时，直线的方程为. 联立，消去得， 展开并整理得，即. ， 所以方程有两个不同的实根，设两根为，，，即两根异号， 所以直线与双曲线相交于两支上，选项C正确. 对于选项D，由，得到. 展开. 整理得. ，. 设，，若是中点，则，则， 所以，代入与前面矛盾. 所以点不可能是线段的中点，选项D正确. 故选：ACD. 10．已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（   ） A．椭圆的方程为 B． C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点， 【答案】ABC 【详解】 由双曲线：的方程可知，双曲线的焦点，， 离心率为， 所以椭圆的焦点为，，离心率为， 所以椭圆中，， 所以椭圆的方程为，A正确； 因为点是与的一个公共点， 所以点在双曲线上， 所以根据双曲线的定义可知， ，且， 所以，B正确； 根据对称性，不妨设，则， 又根据椭圆的定义可知，， 所以联立，解得 ，所以，所以为等腰三角形，C正确； 设，则，， 所以， 解得，此时， 所以存在点的坐标为或或或， 使得，D错误； 故选：ABC. 11．已知曲线，则（   ） A．在第一象限为双曲线的一部分 B．关于直线对称 C．与直线无交点 D．过点且与有两个交点的直线有2条 【答案】ACD 【详解】当时，曲线，为焦点在轴上的双曲线的一部分， 渐近线方程为， 当时，曲线，为焦点在轴的椭圆的一部分； 当时，曲线，为焦点在轴上的双曲线的一部分， 渐近线方程为， 当时，曲线没有图象. 所以曲线图象，如图所示， 由图象可知，A正确，B错误，结合曲线的渐近线可知C正确， 对于D，显然过点且与渐近线平行的直线符合题意，下面证明直线与第三象限的双曲线相切，此时直线与曲线有2个交点， 设过点的直线方程为（显然斜率存在，且）， 联立消元得，， 令，解得，由于双曲线在第三象限，故， 此时解得，，即切点为，满足题意，即过点且与有两个交点的直线有2条，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线与双曲线没有公共点，那么双曲线的离心率的一个值是 ． 【答案】(答案不唯一) 【详解】由双曲线方程，可得其渐近线方程为， 若双曲线与直线没有公共点，则须满足 所以离心率， 所以离心率可以取一个值. 故答案为： (答案不唯一) 13．如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【详解】设直线与圆相切于点，连接，作作，垂足为， 由于圆的半径为，则， 且为的中位线，可得， 又，所以，即有， 在直角三角形中，因为，所以， 则，可得，所以， 由双曲线的定义可得，即，所以， 由，则，所以双曲线C的离心率为. 故答案为：． 14．已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】    因为、分别为双曲线的左右焦点， 过的直线与双曲线左支交于A，B两点， 且，以为圆心，为半径的圆经过点B，得, 设，则， 在中，由勾股定理得，解得， 则， 在中，由勾股定理得，化简得，， 所以的离心率. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为， 而点在双曲线上，因此，方程为， 所以双曲线的标准方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 由线段的中点为，得，解得， 此时方程为，，因此， 所以直线的方程为，即. 16.（本小题15分） 在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过作直线与交于两点，若，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为. （2）由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设， 联立， 则，且即， ， 又，所以，所以， 所以由得，解得，故， 故直线的斜率为或. 17.（本小题15分） 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称. (i)求m的取值范围； (ii)求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)(i)；(ii)证明见解析 【详解】（1）由已知得解得，，所以双曲线的方程为； （2）(i)设，，则，联立， 消去得， 则，，， 可得. 所以的取值范围为：； (ii)由(i)得，， 由对称性可知BD过的定点在轴上，设定点的坐标为， 由，， 所以 ， 可得， 所以直线BD过定点. 18.（本小题17分） 已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知双曲线过点，一条渐近线方程为， 则，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）点为双曲线右支上一点，设，， 则 ， 当，即时，最小值为， 当，即时，最小值为； （3）当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时不妨取,则； 当当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 不妨令，    联立，得， 由于直线过双曲线的右焦点，必有， 直线与双曲线的右支交于，两点，需满足或， 则， 则 ， 综合以上可知为定值. 19.（本小题17分） 已知为双曲线的一条渐近线方程，过右焦点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且. (1)求双曲线的方程； (2)设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，且满足.求直线的斜率； (3)过圆上任意一点作切线，分别交双曲线于，两个不同点，中点为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由渐近线为，则，即， 则双曲线方程为，， 令，则， 又在轴上方，则，，， 所以双曲线方程为； （2） 由（1）得， 设直线，， 联立直线与双曲线，则， ，即， 且，， 又，， 且， 则， 化简可得， 即或， 当，直线， 直线过点，不成立， 综上所述，； （3） 当直线斜率存在时，设直线，，， 易知直线与圆相切， 则，即， 联立直线与双曲线，得， ，即， 且，， 则，， 即 ， 即； 当直线斜率不存在时，直线或， 当方程为时，，， 此时，， 同理当方程为时，； 综上所述恒成立， 即为直角三角形，且为中点， 则. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$