精品解析：北京市第十一中学2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

初三年级数学11月月考 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，点，，在上，是等边三角形，则的大小为（ ） A. 60° B. 40° C. 30° D. 20° 4. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或1 5. 如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（　　） A. 50° B. 60° C. 80° D. 100° 6. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ） A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系 C. 一次函数关系， 二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 的半径为，若点到的距离为，则点在______（填“圆内”、“圆外”或“圆上”） 10. 二次函数，用配方法化为的形式为________． 11. 如图，、分别切⊙O于A、B，，⊙O半径为2，则的长为______． 12. 已知抛物线经过点，则___．（填“＞”，“＝”，“＜”） 13. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，则的长为______． 14. 如图，P是正方形内一点，将绕点C逆时针方向旋转后与重合，若，则________________． 15. 如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为米，面积为平方米．写出与的函数关系式______，自变量的取值范围是______． 16. 如图，在中，，D是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为______． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题6分，第27-28题，每小题7分） 17. 解方程：． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：⊙O及⊙O外一点P． 求作：⊙O的一条切线，使这条切线经过点P． 作法：①连接OP，作OP的垂直平分线l， 交OP于点A； ②以A为圆心，AO为半径作圆， 交⊙O于点M； ③作直线PM，则直线PM即为⊙O的切线． 根据小芸设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接OM， 由作图可知，A为OP中点， ∴OP为⊙A直径， ∴∠OMP＝　 　°，（　 　）（填推理的依据） 即OM⊥PM． 又∵点M在⊙O上， ∴PM是⊙O的切线．（　 　）（填推理的依据） 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求此函数的解析式； （2）结合图象，直接写出当时，函数的取值范围． 22. 如图，为的弦，于点，交于点．若的半径为，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为． （1）画出旋转后的图形，并写出点，的坐标； （2）求线段的长． 24. 已知：如图，在中，，D是BC的中点．以BD为直径作，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E． （1）求证：AD是的切线； （2）若PC是的切线，，求PC的长． 25. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． （1）拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 2 3 6 8 10 12 竖直高度 4 5.4 7.2 6.4 4 0 根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系． （2）一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，则__________填“”、“”或“”）． 26. 在平面直角坐标系中，点，，是抛物线上的点． （1）直接写出抛物线与轴的交点坐标； （2）当时，求的值； （3）当时，求的取值范围． 27. 在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧），点D是射线上一个动点（不与点C重合），点E在线段上，且． （1）如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段．若，则的长为 （用含a的式子表示）； （2）如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(，0)，B(0，)． （1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝ ，d(B，⊙O)＝ ． （2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围； （3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围． 29. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学11月月考 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数系数符号的确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴的位置及开口方向可判断的符号，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口向下知， 与轴的交点为在轴的正半轴上， ， 对称轴为， 、异号，即． 故选：B． 3. 如图，点，，在上，是等边三角形，则的大小为（ ） A. 60° B. 40° C. 30° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴=∠AOB =×60°=30°． 故选C． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 4. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有一个根是 ∴ 解得 ∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零． 5. 如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（　　） A. 50° B. 60° C. 80° D. 100° 【答案】D 【解析】 【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案． 【详解】圆上取一点A，连接AB，AD， ∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BOD=100°. 故选D． 【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 6. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查基本作图、三角形内心：三角形三条内角平分线的交点，根据内心的定义判断即可． 【详解】A、一条是内角平分线，一条是边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意； B、两条均为内角平分线，根据三角形内心是角平分线的交点，可以利用直尺成功找到三角形内心，选项符合题意； C、两条线均为边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意； D、一条是边的高线，一条是边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意； 故选：B． 7. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 8. 如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ） A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系 C. 一次函数关系， 二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，， 即，是一次函数； ⊙A的面积为，即，是二次函数 故选C 【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 的半径为，若点到的距离为，则点在______（填“圆内”、“圆外”或“圆上”） 【答案】圆内 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系进行判断，点与圆的位置关系有3种，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】的半径为，P到圆心O的距离为， 即， 点P在圆内． 故答案为：圆内． 10. 二次函数，用配方法化为的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用配方法表示出顶点式即可． 【详解】∵y=-x2+2x-3 =-（x2-2x）-3 =-（x-1）2-2． 故答案为y=-（x-1）2-2． 【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键． 11. 如图，、分别切⊙O于A、B，，⊙O半径为2，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解题关键是熟记切线长定理，得出，再利用勾股定理求解； 连接，，根据切线长定理得出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，， ∵、分别切⊙O于A、B，， ∴，， ∵⊙O半径为2， ∴， ， 故答案为：． 12. 已知抛物线经过点，则___．（填“＞”，“＝”，“＜”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】求出的值即可判断． 【详解】解：时，， 时，， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 13. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，解题关键是熟记弧长公式；根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：的长为， 故答案为： 14. 如图，P是正方形内一点，将绕点C逆时针方向旋转后与重合，若，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，根据正方形和旋转的性质，推出为等腰直角三角形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵绕点C逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 15. 如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为米，面积为平方米．写出与的函数关系式______，自变量的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、矩形的周长和面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先用x表示出矩形的长，再利用矩形的面积公式得出y与x的函数关系式，再结合矩形的性质与墙的长度列不等式组解题即可； 【详解】解：由题意，设矩形垂直于的一边为米，则矩形的长为米， 则矩形的面积， 即y与x的函数关系式为； ∴， 解得：； 故答案为：， 16. 如图，在中，，D是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了圆周角的性质和勾股定理逆定理，解题关键确定点D在以为直径的圆上； 先根据勾股定理逆定理得出，再确定点D在以为直径的圆上，当经过圆心时值最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴点D在以为直径的圆上， 取中点O，连接，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴长的最小值为1， 故答案为：1． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题6分，第27-28题，每小题7分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，重点考查配方法的运用．先通过移项将常数项移到等号右侧，再在方程两边添加一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后利用直接开平方法求解未知数． 【详解】解：移项得； 配方，得，即； 开平方，得， ∴或； ∴，． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式化简求值，由是方程 的一个根，可得，把化简变形再代入即可求得答案． 【详解】是方程 的一个根， ， ， ， ． 19. 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：⊙O及⊙O外一点P． 求作：⊙O的一条切线，使这条切线经过点P． 作法：①连接OP，作OP的垂直平分线l， 交OP于点A； ②以A为圆心，AO为半径作圆， 交⊙O于点M； ③作直线PM，则直线PM即为⊙O的切线． 根据小芸设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接OM， 由作图可知，A为OP中点， ∴OP为⊙A直径， ∴∠OMP＝　 　°，（　 　）（填推理的依据） 即OM⊥PM． 又∵点M在⊙O上， ∴PM是⊙O的切线．（　 　）（填推理的依据） 【答案】 （1）补全图形，如图所示： （2）90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【解析】 【分析】（1）按要求作图. （2）根据圆直径的性质、切线的判定定理进行证明即可. 【详解】解：（1）略 （2）证明：连接OM， 由作图可知，A为OP中点， ∴OP为⊙A直径， ∴∠OMP＝90°，（直径所对的圆周角是直角）， 即OM⊥PM． 又∵点M在⊙O上， ∴PM是⊙O的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）， 故答案为90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题主要考查的是绘图能力、圆直径的性质、切线的判定定理，熟练掌握方法是本题的解题关键. 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键． （1）根据题意，代入求解即可； （2）求出或，代入方程求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得 ； 【小问2详解】 解：为正整数， 或， 当时，方程为的根不是整数， 当时，方程为的根，都是整数， 故． 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求此函数的解析式； （2）结合图象，直接写出当时，函数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）先求出二次函数图象与x轴的交点横坐标，由，可知对称轴为直线，顶点坐标为，由，在图象与x轴的两交点之间，进而可得． 【小问1详解】 解：将，代入得，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：令，则， 解得，或， ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵，在图象与x轴的两交点之间， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键是求出函数解析式并数形结合． 22. 如图，为的弦，于点，交于点．若的半径为，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，连接，根据的半径为，，由勾股定理求出的长，再由垂径定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接． ， ，． 在中，，， ． ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为． （1）画出旋转后的图形，并写出点，的坐标； （2）求线段的长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， ，的坐标 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换以及勾股定理求长度． （1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转得到对应点，再与点O顺次连接即可，根据图形得出坐标； （2）根据勾股定理得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如图，． 24. 已知：如图，在中，，D是BC的中点．以BD为直径作，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E． （1）求证：AD是的切线； （2）若PC是的切线，，求PC的长． 【答案】 （1）证明：∵AB ＝ AC， D是BC的中点， ∴AD⊥BD． 又∵BD是⊙O直径， ∴AD是⊙O的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明∠BDA=90°即可； （2）连接OP，根据等腰三角形的性质求得DC的长，再求出OC的长，根据切线的性质求得，最后利用勾股定理求出PC的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接OP. ∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC， ∴BD ＝ DC＝4， OD＝OP ＝ 2． ∴OC ＝ 6. ∵PC是⊙O的切线，O为圆心， ∴． 在Rt△OPC中， 由勾股定理，得 OC2 ＝ OP2 + PC2 ∴PC2 ＝ OC2－OP2 ＝ 62－22 ∴． 【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键． 25. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． （1）拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 2 3 6 8 10 12 竖直高度 4 5.4 7.2 6.4 4 0 根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系． （2）一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，则__________填“”、“”或“”）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由表格得当时，，当时，，从而可求顶点坐标，即可求解； （2）由表格可以直接求出，由可求出，进行比较即可． 【小问1详解】 解：由表格得： ， 顶点坐标为， ， ， 解得：， ． 【小问2详解】 解：由表格得 当时，， 原拱门中：（）； 新拱门中： 当时， 解得：，， （）， ， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，点，，是抛物线上的点． （1）直接写出抛物线与轴的交点坐标； （2）当时，求的值； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元一次不等式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）令，代入抛物线求得值即可； （2）利用抛物线的对称性求得对称轴，再计算求值即可； （3）根据，，，将的值代入列出不等式组，再求不等式的解即可． 【小问1详解】 解：令，得： 抛物线与轴的交点坐标 故答案为：． 【小问2详解】 解：当时，由点，，可得抛物线对称轴为 【小问3详解】 解：由可得：，解得：， 由可得：，解得：， 由可得：，解得：， 当时，． 27. 在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧），点D是射线上一个动点（不与点C重合），点E在线段上，且． （1）如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段．若，则的长为 （用含a的式子表示）； （2）如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） ①证明：过点A作于点M、点N，如图2： 则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： 在上截取，连接，如图3： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据各角之间的关系得出，即可确定位置关系，画出；再由全等三角形的判定和性质得出，即可得出结果； （2）①过点A作于点点N，根据各角之间的关系及全等三角形的判定得出，再由其性质即可得出结果；②在上截取，连接，由各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可得出结果． 【小问1详解】 当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若，过点A作于点M，如图1： 则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，熟练运用全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． 28. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(，0)，B(0，)． （1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝ ，d(B，⊙O)＝ ． （2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围； （3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）0，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，即可求解； （2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得，再由d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解； （3）过点C作CN⊥AB于点N ，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解． 【详解】解：（1）∵⊙O的半径为2，A(，0)，B(0，)． ∴， ∴点A在⊙O上，点B在⊙O外， ∴d（A，⊙O）＝， ∴d（B，⊙O）＝； （2）过点O作OD⊥AB于点D， ∵点A(，0)，B(0，)． ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴， ∵d（⊙O，线段AB）=0， ∴当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大， ∴r的取值范围是， （3）如图，过点C作CN⊥AB于点N ， ∵点A(，0)，B(0，)． ∴ ， ∴ ， ∴∠OAB=60°， ∵C(m，0)， 当点C在点A的右侧时， ， ∴ ， ∴ ， ∵d（⊙C，线段AB）<1，⊙C的半径为1， ∴ ，解得： ， 当点C与点A重合时， ， 此时d（⊙C，线段AB）=0， 当点C在点A的左侧时， ， ∴ ， ∴ ，解得： ， ∴． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键． 29. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求解析式，角度问题是解题的关键． 先利用待定系数法求解析式，再根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则△是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； 【详解】解：将，代入， 得， 解得：， 抛物线解析式为； 对于，令，则 解得：， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， △是等腰直角三角形， ， 设，则， ，， ， 解得：（舍去）或， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $