精品解析： 湖北省黄冈市黄梅县部分学校2024-2025学年上学期九年级期中数学试题

2024年秋季期中考试九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据其定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整数方程”即可求解． 【详解】解：A、化简得，，不是一元二次方程，不符合题意； B、，当时，该方程不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，是整式方程，故一元二次方程，符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C ． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为，即． 故选：B 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理．根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：D． 5. 将一元二次方程配方成的形式，则b的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．对原方程移项，利用完全平方公式的特点对其配方． 【详解】解： ， 故选：A． 6. 如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点，在同一条直线上，，那么旋转角等于（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、利用邻补角的定义求角的度数，由三角形内角和定理计算出，再由邻补角的定义进行计算即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 旋转角等于， 故选：C． 7. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数值的大小关系，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； 故选B． 8. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案 【详解】解：设半径为 ，则 在 中，有 ，即 解得 故选：D 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件． 9. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 10. 如图，抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时，一定有y随x的增大而增大 C. 线段的长度不变，且等于2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数进行分析判断即可． 【详解】解：抛物线与x轴交于C、D两点， 有两个不相等的实数根，故，选项A错误； 抛物线开口向上，顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间， 当对称轴在轴右边，时，不是y随x的增大而增大，故选项B错误； 抛物线的对称轴为直线，点C在点D的左侧， ， ， 抛物线为， 当时，， 解得， ， ，故选项C正确； 当顶点为时，，故选项D错误； 故选C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 所以． 故答案为：． 12. 二次函数的顶点是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，直接根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．牢记的顶点为是解题关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故答案为：． 13. 如图，内接于，，过点分别作，，垂足分别是点D、E．则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了中位线定理．由知，同理得出，从而知，据此可得答案． 【详解】解：经过圆心，， ， 同理：， 是的中位线， ， ， ， 故答案为：5． 14. 某景区游客人数逐年攀升，成为“网红打卡地”．2022年接待游客25万人次，2024年预计达到36万人次，则游客人数年平增长率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设游客人数年平均增长率为x，根据2022年及2024年的游客人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设游客人数年平均增长率为x， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴游客人数年平增长率为； 故答案为：． 15. 如图，矩形中，平分交于点E，把绕点E逆时针旋转交于点F，过点C作于点G，连接，若，，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意易得，，，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； ∵ ， ， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理和矩形的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明和计算． 三、解答题（共9小题，满分75分） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据直接开平方法进行求解方程即可； （2）根据公式法可进行求解方程； （3）根据因式分解法可进行求解方程． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解： ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解： ∵， ∴或， 解得，． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并写出的坐标． 【答案】（1）图见解析，的坐标为 （2）图见解析，的坐标为 【解析】 【分析】（1）通过找点，描点，连线画出，再写出的坐标即可； （2）通过找点，描点，连线画出，再写出的坐标即可； 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 由图可知：； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 由图可知： 【点睛】本题考查旋转作图，掌握点的坐标变化规律，找准图形对应点，正确作图，是解题关键． 18. 如图，是的直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明，结合，可得垂直平分，可得，可得，证明，从而可得结论； （2）证明，可得，结合，可得结论． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴，即， ∵，则垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握基础图形的基本性质是解本题的关键． 19. 已知二次函数 y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法，设二次函数的表达式为，把代入即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据图象，所求结果是二次函数在直线以上的对应的的取值范围，据此解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 即； 【小问2详解】 解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，描点画图，函数图象如图： 【小问3详解】 解：当时，， 解得：，， 如图： 根据图象可得：当时，x的取值范围为：， 故答案为：． 20. 关于x的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若，是方程的两根，且，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握一元二次方程根的判别式，②正确掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据“有两个不相等的实数根”，结合一元二次方程根的判别式，得到关于a的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，结合，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：， 即a的取值范围为：； 【小问2详解】 解：根据题意得： ，， ∵， ∴， ∴， 整理，得． 解得，． ∵当时，结合（1）可得： 故a的值是． 21. 如图，为的直径，弦于，为圆上一点，平分，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由角平分线的定义可得，即得，由垂径定理可得，得到，即得到，即可求证； （）连接，由垂径定理得，设圆的半径为，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴ 设圆的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，圆周角定理，垂径定理，等角对等边，勾股定理，掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 22. 一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该加工品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是150元？若能，求出销售单价应y（件）为多少元；若不能，请说明理由． （3）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 【答案】（1）； （2）能，销售单价为15元/件； （3）每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元． 【解析】 【分析】对于（1），根据待定系数法求出解析式即可； 对于（2），令，得到一元二次方程，求出解； 对于（3），根据单件利润乘以销售量得出二次函数，再配方讨论最大值即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数表达式为，根据题意得 ， 解得， ∴与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是150元. 根据题意知，， 即， 化简得 解得或 ∵， ∴舍去， ∴； 答：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是150元，销售单价为15元/件； 【小问3详解】 根据题意知， ∵，当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为； ∴每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，一元二次方程的应用，二次函数求最大值，弄清题目中的等量关系是解题的关键． 23. 综合与实践 【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 【数学思考】（1）试判断与数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，如果，当时，求的度数； ②“善思小组”提出问题：如图3，如果，．当时，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）①；②6． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，再证明，从而可得结论； （2）①由全等三角形性质证明，，求解，再进一步求解即可；②利用勾股定理求解，证明，可得，可得．结合，可得，证明，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：．理由：如图1，连接AF， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图2，由旋转可得，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ②如图3，∵，，， ∴． 由旋转的性质知，，，，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握旋转的性质是解本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，与x轴的另一个交点为D，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）点M是抛物线上一点，且M在第二象限，使得，交y轴于点F，求点M的坐标； （3）当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，设． ①直接写出F关于m的函数解析式，并注明自变量的取值范围； ②当时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）①；②或． 【解析】 【分析】（1）把点、代入，利用待定系数法求解； （2）先证，求出点F的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程即可求出点M的坐标； （3）① 分，，，四种情况，分别求解；②分，，三种情况，令，解方程即可． 【小问1详解】 解：把点、代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，或3， ∴D点坐标为， ∴. 又∵，， ∴， ∴， ∴F点坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得，， 即， 解方程组，得或， 即M点坐标为． 【小问3详解】 解：由（1）知，， ∴点C为． P点坐标为． 过点B作轴交抛物线于点E，此时点E与点B关于对称轴对称， ∴E点坐标为（2，3），如图所示： ①（i）当点P在点B和点C之间时，即时，，，． （ii）②当点P在点C和点E之间时，即时，，，； （ⅲ）当点P在第一象限且在点E下方时，即时，，，． （iv）当点P在x轴及第四象限时，即时，，.． 综合得：． ②当时，，解得（舍去）；当时，都符合题意； 当时，，解得（舍去）或（舍去）； 当时，，解得（舍去）或． 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象交点问题，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，注意数形结合及分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季期中考试九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 将一元二次方程配方成的形式，则b的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 16 6. 如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点，在同一条直线上，，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 7. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 8. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（　　） A. B. C. D. 9. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 10. 如图，抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时，一定有y随x的增大而增大 C. 线段的长度不变，且等于2 D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则_______． 12. 二次函数的顶点是______． 13. 如图，内接于，，过点分别作，，垂足分别是点D、E．则的长为________． 14. 某景区游客人数逐年攀升，成为“网红打卡地”．2022年接待游客25万人次，2024年预计达到36万人次，则游客人数年平增长率为_______． 15. 如图，矩形中，平分交于点E，把绕点E逆时针旋转交于点F，过点C作于点G，连接，若，，则_______． 三、解答题（共9小题，满分75分） 16. 用适当方法解方程： （1）； （2）； （3）． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并写出的坐标． 18. 如图，是的直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数 19. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 20. 关于x的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若，是方程的两根，且，求a的值． 21. 如图，为的直径，弦于，为圆上一点，平分，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. 一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该加工品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是150元？若能，求出销售单价应y（件）为多少元；若不能，请说明理由． （3）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 23 综合与实践 【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 【数学思考】（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，如果，当时，求的度数； ②“善思小组”提出问题：如图3，如果，．当时，求线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为C，与x轴的另一个交点为D，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）点M是抛物线上一点，且M在第二象限，使得，交y轴于点F，求点M的坐标； （3）当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，设． ①直接写出F关于m的函数解析式，并注明自变量的取值范围； ②当时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$