2024-2025学年新人教版七年级数学上册点拨训练第五章第13讲 一元一次方程小结与复习（解析版）

新人教版七年级数学上 点拨*训练 第五章 第13讲 一元一次方程小结与复习 知识点一：方程 1、含有未知数的等式叫做方程. 【注意】判断方程的条件：1、有未知数；2、是等式. 【例1】．下列各式是方程的有( ) （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【变式1-1】下列各式中，属于方程的是( ) A. B. C. D. 【变式1-2】在下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是方程的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 知识点二：方程的解 1、使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 如是的解. 2、解方程就是求出方程的解的过程. 所谓“解方程”就是求出方程的解“”的形式. 【归纳】检验一个数值是不是方程的解的步骤： （1）将数值代入方程左边进行计算； （2）将数值代入方程右边进行计算； （3）比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的解；反之，则不是. 【例2】．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式1-1】．已知a，b为定值，关于x的方程无论k为何值，它的解总是1，则______. 【变式1-2】若关于x的一元一次方程的解为，则的值为______. 知识点三：一元一次方程 1、在一个方程中，只含有一个未知数（元），且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程. 2、一元一次方程的标准形式是：（其中是未知数，、是常数，且） 【归纳】判断一个方程是否为一元一次方程 （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1； （3）整式方程； （4）看化简后的方程 注：未知数的系数不能是0. 【例3】．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值为_______. 【变式1-1】下列各式是一元一次方程的是( ) A. B. C. D. 【变式1-2】下列等式中,是一元一次方程的有( ) ①；②；③；④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点四：等式的基本性质 等式的基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立. 即 如果，那么. 等式的基本性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立. 即 如果，那么； 如果，那么. 【注意】等式的基本性质注意事项： （1）等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算. 　　　 （2）等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子. （3）等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母. 【要点诠释】 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变. 即： (其中) 如，解方程. 先利用分式的基本性质，将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，可以将上述方程化为 . 【例4】．下列各式进行的变形中，不正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【变式4-1】已知，利用等式性质可求得的值是_______________. 【变式4-2】利用等式的性质解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）. 知识点五：解一元一次方程 1、把等式一边的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项. 2、解方程时，移项的作用是：把同类项移到等式的某一边，以进行合并. 一般地，把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边. 【注意】 （1）去括号法则：去括号，看符号：是“”号，不变号；是“”号，全变号. （2）去括号时应将括号前面的符号连同括号一起去掉； （3）去括号时不要漏项. 【例5-1】解方程 【归纳】去分母时的注意事项： （1）方程两边的每一项，都要乘以各分母的最小公倍数； （2）去分母的依据是等式的基本性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项； （3）如果分子是多项式，去分母后，应将该分子添上括号（分数线起到括号的作用）.【例5-2】解方程 【归纳】解一元一次方程的一般步骤： 步骤 具体做法 依据 去分母 乘所有的分母的最小公倍数. 等式的基本性质2. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 去括号法则 移项 把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边. “过桥变号”. 等式的基本性质1 合并同 类项 将未知数的系数相加，常数项相加. 合并同类项法则 系数化 为1 在方程的两边同时除以未知数的系数. 等式的基本性质2 【温馨提醒】求出方程的解后，养成检验的习惯. 【变式5-1】1．解方程：. 【变式5-2】解方程：. 【变式5-3】解方程：. 知识点六：列一元一次方程解应用题的一般步骤 1、实际问题，通过建立数学模型，借助一元一次方程解决. 关键是找等量关系，设未知数，把等量关系用一元一次方程表示出来. 【注意】列方程解应用题，必须根据实际意义检验解的合理性. 【归纳】列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题，分析题目中已知什么，未知什么，寻找等量关系； （2）设未知数，一般是求什么设什么为未知数，但有时也可以间接设未知数； （3）列方程，借助等量关系，列出方程； （4）解方程 （5）检验，看方程的解是否符合题意； （6）答，写出结果. 【例6】制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿.现有木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ 【变式6-1】大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金.当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金. （1）这台M型平板电脑价值多少元？ （2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？ 【变式6-2】中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，则可列方程为( ) A. B. C. D. 知识点七：常见列一元一次方程解应用题的类型 1、日历问题 日历中每一竖列相邻两个数字之间相差7； 日历中每一横行相邻两个数字之间相差1. 日历中，一般设中间数字为，可得下图 1．如图所示的是某月的日历表,在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如:8,14,15,16,17,24).如果圈出的6个数中,最大数x与最小数的积为225,那么根据题意可列方程为( ) A. B. C. D. 2 .如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数(如3，9，10，11，17).按此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为___________. 2、数字问题 （1）如果个位数字是，十位数字是，百位数字是 则，两位数表示为；三位数表示为. （2）一般情况下， 三个连续的自然数表示为 ，，； 三个连续的偶数表示为 ，，； 三个连续的奇数表示为，，. 3．一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的两位数比原来的两位数大27，求原来的两位数. 4 .一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小4，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原来的两位数的2倍小12，求原来的两位数. 3、和、差、倍、分问题 增长量原有量增长率 现有量原有量增长量原有量增长率 5 .某班学生分组,若每组7人,则有2人分不到组里；若每组8人,则最后一组差4人,若设计划分x组,则可列方程为( ) A. B. C. D. 6 .某书架第一层书的数量是第二层的2倍，现从第一层抽8本放到第二层，这时第一层书的数量恰比第二层的一半多3本，则第二层原有图书多少本？ 4、等积变形问题 “等积变形”即形状发生改变而体积不变. 常用的等量关系是（1）形状变了，周长没变；（2）原料体积=成品体积. 常见体积公式（1）圆柱体体积 底面积高 (2)长方体体积 长宽高. 7 .如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( ) A. B. C. D. 8 .根据图中给出的信息，回答下列问题. （1）若在左边水桶中放入一个小球和一个大球，则水桶中的水位高度是_______. （2）若在左边水桶中放入10个球，水桶中的水位升高到，则放入大球的个数是_______. 5、利润率问题 进价：购进商品时的价格，也称成本价 售价：在销售商品时的售出价 标价：在销售商品时标出的价格，也称原价 利润：在销售商品过程中的纯收入. 利润率：利润占成本的百分比. 利润=售价-成本 利润率= 销售总额=售价销量 售价=(1+利润率)成本 售价=原价折扣率 (折扣率：商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，) 9 .某文具店一支铅笔的售价为1.2元,一支圆珠笔的售价为2元.该店在儿童节举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元.若设铅笔卖出x支,则依题意可列得的一元一次方程为( ) A. B. C. D. 10 .某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同. (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获礼20元.若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？ (3)在(2)的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则B商品按标价售出多少件？ 6、银行储蓄问题 【知识点】 本息和本金利息 利息本金利率期数 本息和本金 11．某开发商按照分期付款的形式售房.张明家购买了一套现价为12万元的新房,购房时需首付(第一年)款3万元,从第二年起,以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款的利息之和,已知剩余欠款的年利率为,第( )年张明家需要交房款5200元. 12．小明的爸爸于2021年1月1号在银行存入了2年期的定期储蓄1万元，2022年年底到期后，按如图所示的程序，小明爸爸取出的本息和（本金与利息的和）为1.05万元，则该银行2年期定期储蓄的年利率是________.（结果用百分数表示） 7、行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 (1)相遇问题（相向而行）两人的路程之和等于总路程； (2)追及问题（同向而行）两人的路程差等于追及的路程； (3)环形跑道的相遇和追及问题： ①同地反向而行：两人的路程之和等于一圈的路程； ②同地同向而行：两人所走的路程之差等于一圈的路程. (4)航行问题： ③顺水速度船在静水中的速度水流的速度； ④逆水速度船在静水中的速度水流的速度 (5)飞行问题： ⑤顺风速度无风速度风速； ⑥逆风速度无风速度风速 13 .一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是. （1）设火车长，用含x的代数式表示：从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程和这段时间内火车的速度. （2）设火车长，用含x的代数式表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程和这段时间内火车的速度. （3）求这列火车的长度. 14．A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，乙车行驶5小时到达A地，并原地休息.甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的倍. (1)甲车的行驶速度是________千米/时，乙车的行驶速度是________千米/时； (2)求乙车出发后几小时两车相遇；(列方程解答此问). 8、工程问题 工作总量工作时间工作效率 合作的效率各单独做的效率之和 当题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1. 15 ．某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件.若设该车间要完成的零件任务为x个，则可列方程( ) A. B. C. D. 9、劳动调配问题 【常见类型】 （1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变. 17．服装厂要生产一批某型号的学生服，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，共能生产________套. 18．某工厂一车间有名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务.每个工人每天能加工甲种零件个，或加工乙种零件个. (1)若一辆轿车只需要甲零件1个和乙零件1个使每天能配套生产轿车，问应安排多少工人加工甲种零件？ (2)若一辆轿车需要甲零件7个和乙零件2个使每天能配套生产轿车，若加工一件甲种零件加工费为10元，加工一件乙种零件加工费为元，若名工人正好使得每天加工零件能配套生产轿车，求一天这名工人所得加工费一共多少元？ 10、鸡兔同笼类问题 19．《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设鸡有x只，可列方程为( ) A. B. C. D. 11、年龄问题 问题关键：两人年龄差始终不变. 21 .父亲和女儿现在的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的.求女儿现在的年龄. 22 .已知今年桐桐爸爸的年龄是37岁,桐桐的年龄是12岁,那么再过 年,桐桐爸爸的年龄是桐桐年龄的2倍. 12、分段收费问题 问题关键：确定被求解的量，处于哪一个范围内. 23 .某市为提倡节约用水，采取分段收费.若每户每月用水不超过20，每立方米收费2元；若用水超过20，超过部分每立方米加收1元.孔明家5月份交水费64元，求孔明家5月份用水多少立方米. 24．为了鼓励市民节约用水，某市水费实行分段计费制，每户每月用水量不超过8吨按2元/吨收费，超过8吨的部分按a元/吨收费.根据下表小明家4个月的用水量和缴纳水费的情况，解答下列问题： 月份 1 2 3 4 用水量/吨 6 7 10 12 水费/元 12 14 22 28 （1）__________. （2）若小明家11月份用水20吨，则应缴纳水费多少元？ （3）若小明家10月份应缴纳水费49元，则10月份他家的用水量是多少吨？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新人教版七年级数学上 点拨*训练 第五章 第13讲 一元一次方程小结与复习（解析版） 知识点一：方程 1、含有未知数的等式叫做方程. 【注意】判断方程的条件：1、有未知数；2、是等式. 【例1】．下列各式是方程的有( ) （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案：C 解析：含有未知数的表示量相等的等式称为方程.强调两点：1.含有未知数；2.是等式.（2）不含未知数，（4）（5）不是等式.符合条件的是（1）（3）. 【变式1-1】下列各式中，属于方程的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：A、不是等式，故不是方程，不符合题意； B、是方程，符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、不含有未知数，故不是方程，不符合题意. 故选：B. 【变式1-2】在下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是方程的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案：B 解析：根据方程的定义可知①②⑤⑦是方程共4个， 故选B. 知识点二：方程的解 1、使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 如是的解. 2、解方程就是求出方程的解的过程. 所谓“解方程”就是求出方程的解“”的形式. 【归纳】检验一个数值是不是方程的解的步骤： （1）将数值代入方程左边进行计算； （2）将数值代入方程右边进行计算； （3）比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的解；反之，则不是. 【例2】．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）. 答案：是方程的解， 是方程的解， 是方程的解， ，，都不是方程的解 解析：把，，分别代入方程，，，的左边和右边，能使方程的左边和右边相等的，便是方程的解. 是方程的解， 是方程的解， 是方程的解， ，，都不是方程的解 【变式1-1】．已知a，b为定值，关于x的方程无论k为何值，它的解总是1，则______. 答案：0 解析：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论k为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：0. 【变式1-2】若关于x的一元一次方程的解为，则的值为______. 答案：5 知识点三：一元一次方程 1、在一个方程中，只含有一个未知数（元），且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程. 2、一元一次方程的标准形式是：（其中是未知数，、是常数，且） 【归纳】判断一个方程是否为一元一次方程 （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1； （3）整式方程； （4）看化简后的方程 注：未知数的系数不能是0. 【例3】．已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值为_______. 答案：/ 解析：由题意，得， ∴. 故答案为：. 【变式1-1】下列各式是一元一次方程的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：A、是一元一次方程、故正确； B、含两个未知数，故错误． C、不是整式方程，故错误； D、含两个未知数，故错误． 故选A． 【变式1-2】下列等式中,是一元一次方程的有( ) ①；②；③；④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B 解析：是一元一次方程的有①②共2个 故选:B. 知识点四：等式的基本性质 等式的基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立. 即 如果，那么. 等式的基本性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立. 即 如果，那么； 如果，那么. 【注意】等式的基本性质注意事项： （1）等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算. 　　　 （2）等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子. （3）等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母. 【要点诠释】 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变. 即： (其中) 如，解方程. 先利用分式的基本性质，将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，可以将上述方程化为 . 【例4】．下列各式进行的变形中，不正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 答案：B 解析：A.， ，故本选项不符合题意； B.， ，故本选项符合题意； C.， ，故本选项不符合题意； D.， （等式两边都除以6），故本选项不符合题意； 故选：B. 【变式4-1】已知，利用等式性质可求得的值是_______________. 答案：2 解析： 故答案为:2. 【变式4-2】利用等式的性质解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）. 答案：（1） （2） （3） （4） 解析：（1）两边加4，得.所以. （2）两边减2，得. 化简，得. 两边乘2，得. （3）两边减1，得. 化简，得. 两边除以3，得. （4）两边加2，得. 化简，得. 两边除以4，得. 知识点五：解一元一次方程 1、把等式一边的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项. 2、解方程时，移项的作用是：把同类项移到等式的某一边，以进行合并. 一般地，把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边. 【注意】 （1）去括号法则：去括号，看符号：是“”号，不变号；是“”号，全变号. （2）去括号时应将括号前面的符号连同括号一起去掉； （3）去括号时不要漏项. 【例5-1】解方程 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 【归纳】去分母时的注意事项： （1）方程两边的每一项，都要乘以各分母的最小公倍数； （2）去分母的依据是等式的基本性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项； （3）如果分子是多项式，去分母后，应将该分子添上括号（分数线起到括号的作用）. 【例5-2】解方程等号左边的分数，分子、分母均含有小数，为了简化运算，根据分数的基本性质，分子、分母同时扩大10倍，把它们化成了整数，这种变形是单一分数的变形，与右边无关. 解：原方程可变形为 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 【归纳】解一元一次方程的一般步骤： 步骤 具体做法 依据 去分母 乘所有的分母的最小公倍数. 等式的基本性质2. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 去括号法则 移项 把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边. “过桥变号”. 等式的基本性质1 合并同 类项 将未知数的系数相加，常数项相加. 合并同类项法则 系数化 为1 在方程的两边同时除以未知数的系数. 等式的基本性质2 【温馨提醒】求出方程的解后，养成检验的习惯. 【变式5-1】1．解方程：. 答案：1.5 解析：方程整理得. 去分母，得. 去括号，得. 移项、合并同类项，得. 方程两边同除以2，得. 【变式5-2】解方程：. 答案： 解析：移项，得. 两边分别通分，得. 去分母，得. 去括号，得. 移项，得. 合并同类项，得. 方程两边同除以-20，得. 【变式5-3】解方程：. 答案： 解析：方程可化为.整理，得.方程两边都乘5，得.方程两边都乘3，得，解得. 知识点六：列一元一次方程解应用题的一般步骤 1、实际问题，通过建立数学模型，借助一元一次方程解决. 关键是找等量关系，设未知数，把等量关系用一元一次方程表示出来. 【注意】列方程解应用题，必须根据实际意义检验解的合理性. 【归纳】列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题，分析题目中已知什么，未知什么，寻找等量关系； （2）设未知数，一般是求什么设什么为未知数，但有时也可以间接设未知数； （3）列方程，借助等量关系，列出方程； （4）解方程 （5）检验，看方程的解是否符合题意； （6）答，写出结果. 【例6】制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿.现有木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ 答案：计划用的木材制作桌面，的木材制作桌腿 解析：设计划用的木材制作桌面，的木材制作桌腿才能制作尽可能多的桌子. 根据题意，得. 解得，. 答：计划用的木材制作桌面，的木材制作桌腿才能制作尽可能多的桌子. 【变式6-1】大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金.当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金. （1）这台M型平板电脑价值多少元？ （2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？ 答案：（1）2100元 （2）元 解析：（1）设这台M型平板电脑价值x元.根据题意，得，解得，所以这台M型平板电脑价值2100元. （2）由（1）知，一台M型平板电脑价值2100元，所以工作一个月，她应获得的报酬为（元），所以若工作m天，她应获得的报酬为（元）. 【变式6-2】中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，则可列方程为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：有x辆车，则可列方程为. 故选：A. 知识点七：常见列一元一次方程解应用题的类型 1、日历问题 日历中每一竖列相邻两个数字之间相差7； 日历中每一横行相邻两个数字之间相差1. 日历中，一般设中间数字为，可得下图 1．如图所示的是某月的日历表,在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如:8,14,15,16,17,24).如果圈出的6个数中,最大数x与最小数的积为225,那么根据题意可列方程为( ) A. B. C. D. 答案：C 2 .如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数(如3，9，10，11，17).按此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为___________. 答案：27 解析：设这5个数中的最大数为x，则最小数为， 根据题意，可得， 解得. 故答案为：27. 2、数字问题 （1）如果个位数字是，十位数字是，百位数字是 则，两位数表示为；三位数表示为. （2）一般情况下， 三个连续的自然数表示为 ，，； 三个连续的偶数表示为 ，，； 三个连续的奇数表示为，，. 3．一个两位数，个位上的数字是十位上数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的两位数比原来的两位数大27，求原来的两位数. 答案：设原来两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为2x， 由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以. 答：原来的两位数为36. 4 .一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小4，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原来的两位数的2倍小12，求原来的两位数. 答案：设原来的两位数的十位上的数字为x，则原来的两位数的个位上的数字为. 依题意得，解得， 则. 答：原来的两位数是48. 3、和、差、倍、分问题 增长量原有量增长率 现有量原有量增长量原有量增长率 5 .某班学生分组,若每组7人,则有2人分不到组里；若每组8人,则最后一组差4人,若设计划分x组,则可列方程为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：若每组有7人,实际人数为人； 若每组有8人,实际人数为人, 故可列方程为. 故选：A. 6 .某书架第一层书的数量是第二层的2倍，现从第一层抽8本放到第二层，这时第一层书的数量恰比第二层的一半多3本，则第二层原有图书多少本？ 答案：10 解析：设第二层原有图书x本，则第一层原有图书本，由题意，得，解得. 答：第二层原有图书10本. 4、等积变形问题 “等积变形”即形状发生改变而体积不变. 常用的等量关系是（1）形状变了，周长没变；（2）原料体积=成品体积. 常见体积公式（1）圆柱体体积 底面积高 (2)长方体体积 长宽高. 7 .如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( ) A. B. C. D. 答案：B 8 .根据图中给出的信息，回答下列问题. （1）若在左边水桶中放入一个小球和一个大球，则水桶中的水位高度是_______. （2）若在左边水桶中放入10个球，水桶中的水位升高到，则放入大球的个数是_______. 答案：（1） （2）4 解析：（1）由题图得，在左边水桶中放入一个小球，水桶中的水位高度上升；放入一个大球，水桶中的水位高度上升，所以在左边水桶中放入一个小球和一个大球，水桶中的水位高度是. （2）设放入大球x个，则放入小球个.根据题意得，解得.故放入大球的个数是4. 5、利润率问题 进价：购进商品时的价格，也称成本价 售价：在销售商品时的售出价 标价：在销售商品时标出的价格，也称原价 利润：在销售商品过程中的纯收入. 利润率：利润占成本的百分比. 利润=售价-成本 利润率= 销售总额=售价销量 售价=(1+利润率)成本 售价=原价折扣率 (折扣率：商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，) 9 .某文具店一支铅笔的售价为1.2元,一支圆珠笔的售价为2元.该店在儿童节举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元.若设铅笔卖出x支,则依题意可列得的一元一次方程为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：x支铅笔的售价支圆珠笔的售价,据此列出方程： . 故选B. 10 .某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同. (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获礼20元.若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？ (3)在(2)的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则B商品按标价售出多少件？ 答案：(1)A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元 (2)全部售完共可获利1300元 (3)B商品按标价售出10件 解析：(1)设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元， 由题意得， 解得：， (元). 答：A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元； (2)设购买A种商品a件，则购买B商品件， 由题意得， 解得，. (元). 答：全部售完共可获利1300元； (3)设B商品按标价售出m件， 由题意得：， 解得 答：B商品按标价售出10件. 6、银行储蓄问题 【知识点】 本息和本金利息 利息本金利率期数 本息和本金 11．某开发商按照分期付款的形式售房.张明家购买了一套现价为12万元的新房,购房时需首付(第一年)款3万元,从第二年起,以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款的利息之和,已知剩余欠款的年利率为,第( )年张明家需要交房款5200元. 答案：10 解析：设第x年,张明家需交房款5200元,由题意得： 解得： 故：第10年张明家需要交房款5200元. 故答案为：10. 12．小明的爸爸于2021年1月1号在银行存入了2年期的定期储蓄1万元，2022年年底到期后，按如图所示的程序，小明爸爸取出的本息和（本金与利息的和）为1.05万元，则该银行2年期定期储蓄的年利率是________.（结果用百分数表示） 答案： 解析：设银行2年期定期储蓄的年利率是x.根据题意得，解得，所以银行2年期定期储蓄的年利率是.故答案为. 7、行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 (1)相遇问题（相向而行）两人的路程之和等于总路程； (2)追及问题（同向而行）两人的路程差等于追及的路程； (3)环形跑道的相遇和追及问题： ①同地反向而行：两人的路程之和等于一圈的路程； ②同地同向而行：两人所走的路程之差等于一圈的路程. (4)航行问题： ③顺水速度船在静水中的速度水流的速度； ④逆水速度船在静水中的速度水流的速度 (5)飞行问题： ⑤顺风速度无风速度风速； ⑥逆风速度无风速度风速 13 .一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是. （1）设火车长，用含x的代数式表示：从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程和这段时间内火车的速度. （2）设火车长，用含x的代数式表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程和这段时间内火车的速度. （3）求这列火车的长度. 答案：（1）路程为，速度为 （2）路程为，速度为 （3） 解析：（1）从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为. 这段时间内火车的速度为. （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为， 这段时间内火车的速度为. （3）根据题意，得. 解得. 答：这列火车的长度是. 14．A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，乙车行驶5小时到达A地，并原地休息.甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的倍. (1)甲车的行驶速度是________千米/时，乙车的行驶速度是________千米/时； (2)求乙车出发后几小时两车相遇；(列方程解答此问). 答案：(1)80，60 (2)小时 解析：(1)乙车的行驶速度是千米/时， 甲车的行驶速度是千米/时， 故答案为：80，60； (2)设乙车出发后x小时两车相遇， ， 解得， 答：乙车出发后小时两车相遇. 8、工程问题 工作总量工作时间工作效率 合作的效率各单独做的效率之和 当题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1. 15 ．某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件.若设该车间要完成的零件任务为x个，则可列方程( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：根据题意得.故选A. 16 .某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若先由乙独作10天，剩下的由甲、乙合作完成.设甲、乙合作x天正好完成任务，则根据题意可得方程_____. 答案： 解析：根据题意得，总的工作量为单位“1”， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 先由乙独作10天，剩下的由甲、乙合作完成， 设甲、乙合作x天正好完成任务， 根据题意得， 故答案为：. 9、劳动调配问题 【常见类型】 （1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变. 17．服装厂要生产一批某型号的学生服，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，共能生产________套. 答案：240 解析：设用x米长的布料生产上衣，那么用米长的布料生产裤子，使之恰好配套.根据题意，得，解得（套），故共能生产240套. 18．某工厂一车间有名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务.每个工人每天能加工甲种零件个，或加工乙种零件个. (1)若一辆轿车只需要甲零件1个和乙零件1个使每天能配套生产轿车，问应安排多少工人加工甲种零件？ (2)若一辆轿车需要甲零件7个和乙零件2个使每天能配套生产轿车，若加工一件甲种零件加工费为10元，加工一件乙种零件加工费为元，若名工人正好使得每天加工零件能配套生产轿车，求一天这名工人所得加工费一共多少元？ 答案：(1)应安排个工人加工甲种零件 (2)一天这名工人所得加工费一共是元 解析：(1)设有x个工人加工甲种零件，则有个人加工乙种零件，由题意可得， ， 解得：， 答：应安排个工人加工甲种零件； (2)，设有y个工人加工甲种零件，则有个人加工乙种零件，由题意可得， ， 解得：， ∴， ∴总费用为：， 答：一天这名工人所得加工费一共是元. 10、鸡兔同笼类问题 19．《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设鸡有x只，可列方程为( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为上有三十五头，且鸡有x只，所以兔有只.依题意得. 20．鸡兔同笼,共有25个头,70只脚,鸡有( )只,兔有( )只. 答案：15；10 解析：设鸡有x只,则免有只,由题意 , 解得,,. 故答案为：15,10. 11、年龄问题 问题关键：两人年龄差始终不变. 21 .父亲和女儿现在的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的.求女儿现在的年龄. 答案：28岁 解析：设女儿现在的年龄为x岁，则父亲现在的年龄为岁. 根据题意，得， 解得. 答：女儿现在的年龄是28岁. 22 .已知今年桐桐爸爸的年龄是37岁,桐桐的年龄是12岁,那么再过 年,桐桐爸爸的年龄是桐桐年龄的2倍. 答案：13 解析：设再过x年,桐桐爸爸的年龄是桐桐年龄的2倍,根据题意,有.解得. 12、分段收费问题 问题关键：确定被求解的量，处于哪一个范围内. 23 .某市为提倡节约用水，采取分段收费.若每户每月用水不超过20，每立方米收费2元；若用水超过20，超过部分每立方米加收1元.孔明家5月份交水费64元，求孔明家5月份用水多少立方米. 答案：解：设孔明家5月份用水x， 当用水量为20时，应交水费为（元）. 因为，所以. 根据题意，得，解得. 答：孔明家5月份用水28. 24．为了鼓励市民节约用水，某市水费实行分段计费制，每户每月用水量不超过8吨按2元/吨收费，超过8吨的部分按a元/吨收费.根据下表小明家4个月的用水量和缴纳水费的情况，解答下列问题： 月份 1 2 3 4 用水量/吨 6 7 10 12 水费/元 12 14 22 28 （1）__________. （2）若小明家11月份用水20吨，则应缴纳水费多少元？ （3）若小明家10月份应缴纳水费49元，则10月份他家的用水量是多少吨？ 答案：（1） （2）应缴纳水费52元 （3）10月份他家的用水量是19吨 解析：（1）根据题意，得， 解得. （2）（元）. 答：应缴纳水费52元. （3）， 月份他家的用水量超过8吨. 设10月份他家的用水量是x吨. 根据题意，得， 解得. 答：10月份他家的用水量是19吨. 学科网（北京）股份有限公司 $$