安徽省阜阳市红旗中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

2023-2024学年安徽省阜阳市红旗中学高一（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则(    ) A. B. C. D. 2.(    ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是(    ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则(    ) A. B. C. D. 5.已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 6.函数在上的大致图象为(    ) A. B. C. D. 7.《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦AB的长，“矢”是指所在圆O的半径与圆心O到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O的直径.若扇形的弦，扇形的圆心角为，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为(    ) A. B. C. D. 8.定义在R上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 10.已知集合，，则(    ) A. 集合 B. C. 集合可能是 D. 可能是B的子集 11.函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则(    ) A. B. 的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递减区间是， 12.已知函数，则下列结论中正确的是(    ) A. 若函数在上单调递减，则且 B. 若函数有2个零点，则且 C. 若函数有1个零点，则且 D. 若函数在的最大值为1，则且 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为______；不等式的解集为______. 14.若，，，，则______. 15.已知函数，若，，且，则的最小值为______. 16.已知直线与函数的图象所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点为，则函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题10分 计算： ； 18.本小题12分 已知 求的值； 若，求的值. 19.本小题12分 已知函数的定义域为，对，总有成立.若时， 判断并证明函数的单调性； 若求解关于x的不等式的解集. 20.本小题12分 已知函数 若关于的不等式的解集为，求a，b的值； 已知当时，恒成立，求实数a的取值范围. 21.本小题12分 某学校校园内有一个扇形空地，该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. 求扇形空地AOB的半径和圆心角； 取CD的中点M，记 ⅰ写出运动场馆CDEF的面积S与角的函数关系式； ⅱ求当角为何值时，运动场馆CDEF的面积最大？并求出最大面积. 22.本小题12分 已知函数是定义在上的奇函数. 求和实数b的值； 若满足，求实数t的取值范围； 若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？ 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：集合，则，，， 故选： 根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断． 本题考查元素与集合关系的判断，属于基础题． 2.【答案】B  【解析】解：原式 故选： 由已知结合对数及指数幂的运算性质即可求解． 本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：的定义域为，y的定义域为R，故A错误； 的定义域为，的定义域为或，故B错误； ，，定义域、值域、映射关系均相同，故C正确； 的定义域为R，的定义域为，故D错误． 故选： 根据已知条件，结合同一函数的定义，即可求解． 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题． 4.【答案】C  【解析】解：因为角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上， 所以，， 可得，， 则 故选： 利用任意角的三角函数的定义可求，的值，利用二倍角公式可求得，的值，进而利用两角和的正弦公式即可求解． 本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 5.【答案】B  【解析】解：根据题意，“，”为真命题， 即方程，其中有解， 设， 易得， 若方程有解，必有 故选： 根据题意，分析可得方程，其中有解，设，求出的最小值，进而分析可得答案． 本题考查命题真假的判断，涉及二次函数的性质，属于基础题． 6.【答案】D  【解析】解：根据题意，函数， 有，排除A、C， 又由，排除 故选： 根据题意，由函数的解析式计算、的值，分析选项即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数值的计算，属于基础题． 7.【答案】B  【解析】解：如图所示，因为扇形的弦，扇形的圆心角为， 所以，， 所以，， 所以矢，径， 所以该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为 故选： 由题意解三角形可得OA，OD的值，可求矢，径的值，进而利用扇形的弧长公式即可求解． 本题考查了扇形的弧长公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题． 8.【答案】A  【解析】解：定义在R上的偶函数在上单调递减，且， 所以在上单调递增且， 由不等式可得，或， 解得或 故选： 由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，属于中档题． 9.【答案】BCD  【解析】解：因为在R上单调递增， 由可得，A正确； 当，时，B显然错误； 当时，C显然错误； 当，，时，D显然错误． 故选： 结合幂函数单调性检验选项A，结合举出反例检验选项B，C，结合不等式性质检验选项 本题主要考查不等式的性质的应用，属于基础题． 10.【答案】ABD  【解析】解：对于A，，，故A正确； 对于B，集合， ，，故B正确； 对于C，，， 而集合，不可能是，故C错误； 对于D，若，满足， 此时是B的子集，故D正确． 故选： 利用集合的基本运算，以及集合间的包含关系判断即可． 本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题． 11.【答案】ABD  【解析】解：依题意，由图象可知，，则，故A正确； 因为，所以，则，所以， 因为的图象过点，所以， 则，即， 又，则，所以， 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象， 纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，向左平移个单位长度，得到函数的图象，故B正确； 因为，故C错误； 令，解得， 所以的单调递减区间是，，故D正确． 故选： 先利用三角函数的图象求得的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解． 本题考查的知识要点：函数的关系式的求法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 12.【答案】AB  【解析】解：对于A，若函数在上单调递减，则函数的大致图象如图所示， 此时函数在上一定单调通减，且，所以且，故A项正确； 对于B，若函数有2个零点，则函数的大致图象如图所示， 可知且，所以且，故B项正确； 对于C，若函数有1个零点，则函数的大数图象如图、的两种情况． 如图，可得且，所以且；如图，可得且，所以且 综上所述，且或且，可知C项错误； 对于D，若函数在的最大值为1，则函数的大致图象如图所示， 根据图，都可得出且，解得且，故D项错误． 故选： 根据题意作出可能的图象，利用二次函数的性质对各项中的结论依次加以验证，找出符合题意的选项，从而可得答案． 本题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的单调性与最值等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于中档题． 13.【答案】  或  【解析】解：设幂函数为， 幂函数的图象经过点， 则，解得， 故， 在上单调递减， ，即， 则，解得或， 故不等式的解集为或 故答案为：；或 先设出幂函数，将点代入幂函数，即可求解，再结合函数的单调性，列出不等式，即可求解． 本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：因为，，故，， 由，可得， 由，可得， 所以， 则 则 故答案为： 判断角的范围，根据同角的三角函数关系求出，，进而可求，，根据两角差的余弦公式即可求得答案． 本题主要考查两角和与差的三角函数，属于中档题． 15.【答案】36  【解析】解：函数数中，，，则函数的定义域为R， 又因为， 所以函数是奇函数， 显然函数，在上都单调递减， 则函数在上单调递减， 而函数在上单调递增， 则函数在上单调递减， 于是函数在上单调递减， 因此函数在R上单调递减，， 由，得， 则，即， 于是， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为 故答案为： 根据给定条件，探讨函数的奇偶性及单调性，由此求出m，n的关系式，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得． 本题考查了对数函数的性质、奇函数的性质及基本不等式的应用，属于中档题． 16.【答案】6  【解析】解：由已知得的最小正周期为2，即，所以，则， 因为其中一个交点为，所以，则， 解得，又因为，所以，所以， 又，所以的图象关于中心对称， 作出的图象如图所示： 可知两函数图象共有4个交点，且关于点中心对称，故这4个交点的横坐标之和为 故答案为： 先确定函数，再根据对称性即可求值． 本题考查三角函数性质，属于中档题． 17.【答案】解： ；   【解析】结合指数幂的运算性质进行化简即可求解； 结合对数的运算性质即可求解． 本题主要考查了指数幂及对数的运算性质的应用，属于基础题． 18.【答案】解：因为， 所以， 则； 若，则， 因为， 所以， ，   【解析】结合两角差的正切公式先求出，然后结合同角商的关系进行化简即可求解； 结合同角基本关系，二倍角公式进行化简即可求解． 本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题． 19.【答案】解：在上单调通减，证明如下： 因为对，总有成立， 令，则， 任取，则 ， 所以， 即， 所以在上单调递减； 令，，则， 所以， 不等式可化为， 整理可得，，解得或， 因为， 所以不等式的解集为  【解析】利用赋值法求出，然后任取，利用单调性定义即可证明； 结合函数的单调性及赋值法即可求解不等式． 本题主要考查了函数单调性定义在单调性判断中的应用，还考查了函数单调性在不等式求解中应用，属于中档题． 20.【答案】解：因为且的解集为， 所以b和2是方程的两个不等实根，且， 由韦达定理得，解得，， 因为， 所以， 则可化为， 整理可得，， 令，则， 则上式可化为在上恒成立， 即恒成立， 由对勾函数的性质可知上单调递减，在上单调递增，  时，， 当时，，即， 所以， 所以， 所认实数a的取值范围为  【解析】根据已知结合三个二次之间的关系，列出关于a，b的方程组，解之即可得解； 利用换元法将问题转化为在上恒成立，再利用对勾函数的性质求得的最小值，从而得解． 本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题． 21.【答案】解：设扇形的半径为r，圆心角为， 则扇形的周长为， 面积为， 解得，； 所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为； ⅰ由题可知，， 在中，，， 所以， 在中，， 所以， 所以矩形CDEF的面积为 ， 因为，所以， 所以当，即时，S取得最大值为， 所以时，矩形CDEF的面积最大，最大值为  【解析】根据扇形的周长与面积列方程组，即可求出半径和圆心角； ⅰ由题意求出OM，MD和ON，MN，计算矩形CDEF的面积 根据三角恒等变换以及三角函数的图象与性质，即可求出S的最大值以及对应的值． 本题考查了函数的实际应用问题，也考查了转化能力，是中档题． 22.【答案】解：依题意，， 又是上的奇函数，则， 即， 即， 即， 整理得，于是，而，所以； 由知，， 显然函数在上单调递减， 由奇函数性质及，得， 当时，函数在上单调递减，则在上单调递增， 不等式化为，解得， 当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 由奇函数性质及，得， 不等式化为，解得， 所以当时，； 当时，； 假定存在实数m，对定义域内的一切t，都有恒成立， 即恒成立， 当时，由知函数在上单调递增， 不等式化为，整理得， 于是有对任意恒成立，则， 当时，， 因此， 有对任意恒成立， 设， 当时，函数的图象开口向上，对称轴， 当，即时，必有， 则， 当，即时，在上恒成立，则， 当，即时，在上恒成立， 则， ②当时，，不沸足在上恒成立， 综上得，， 所以存在，使得对定义域内的一切t，都有成立．  【解析】根据给定条件，结合奇函数的定义求解即得； 对，分类，利用单调性解不等式即得； 利用奇函数及单调性转化为恒成立的不等式组，再借助二次函数分类求解． 本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$