专题5.7 一元一次方程（4大知识点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题5.7 一元一次方程（4大知识点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 【要点提示】判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 【知识点2】等式的性质 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 【知识点3】一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并同类项：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【知识点4】用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 知识点与题型目录 【考点一】一元一次方程的概念 【题型1】方程及方程的解.....................................................3 【题型2】利用等式基本性质进行判断...........................................4 【题型3】利用等式基本性质求天平中砝码的质量与个数...........................6 【考点二】解一元一次方程 【题型4】一元一次方程的同解原理.............................................8 【题型5】一元一次方程中的错解问题...........................................9 【题型6】一元一次方程中的遮挡问题..........................................11 【题型7】一元一次方程中分子与分母含小数问题................................13 【题型8】一元一次方程中有解、无解、无数解问题..............................14 【题型9】一元一次方程中的整数解问题........................................16 【题型10】解含绝对值的一元一次方程.........................................17 【题型11】用整体思想解一元一次方程.........................................20 【题型12】一元一次方程中大数据问题.........................................22 【题型13】一元一次方程中规律问题...........................................24 【题型14】含参一元一次方程的解总是一个常数问题.............................26 【考点三】实际问题与一元一次方程 【题型15】列一元一次方程解决分数问题.......................................27 【题型16】列一元一次方程解决利润问题.......................................30 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】方程及方程的解 【例1】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)已知：是该一元一次方程的解，求n的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元一次方程的定义，方程的解． （1）根据一元一次方程的定义可得，，求解即可； （2）把代入方程，求解即可． 解：（1）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且 ∴； （2）由（1）得，该一元一次方程为， ∵是该方程的解， ∴， ∴． 【变式1】（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化类，先根据已知条件中的方程，找出规律，求出第个方程和方程的解，列出关于的方程，求出，从而求出即可．解题关键是根据已知条件找出规律． 解：观察已知条件中的方程可知：第n个方程为：， 方程的解为：， ∵第n个方程的解为， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）若a是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解，熟练掌握整体思想的运用是解题的关键． 先利用一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，得到，再把变形，然后利用整体代入的方法计算． 解：∵a是方程的解， ∴即， ∴ ， 故答案为：2023． 【题型2】利用等式基本性质进行判断 【例2】（23-24七年级上·安徽池州·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键． 根据等式的性质，逐项判断即可． 解：A、等式两边同时加上n得， ，变形正确，故选项不符合题意； B、等式两边同时乘n得， ，变形正确，故选项不符合题意； C、等式两边同时除以n，当时，两边都除以n无意义，变形错误，故选项符合题意； D、无论n取何值，等式两边同时除以得，，变形正确，故选项不符合题意； 故选： C． 【变式1】（24-25七年级上·北京·期中）下列各等式中变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质判断即可．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 解：A．如果，那么两边同时加得，故本选项不符合题意； B．如果，那么两边同时乘得，故本选项不符合题意； C．如果，那么两边同时乘得，故本选项不符合题意； D．如果，那么两边同时减得，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各变形中： ①由，可得到后； ②由，可得到； ③由，可得到； ④由，可得到．其中一定正确的有 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 解：由，只有当时，等式的两边才能同时除以a得出，故①错误； 由的两边都减去3，得出，故②正确； 的两边都乘a得，故③正确； 由可得，故④错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③ 【题型3】利用等式基本性质求天平中砝码的质量与个数 【例3】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键． 设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可． 解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g． 由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得， 将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得， 〇g，□g． 故答案为：，． 【变式1】（2023七年级上·全国·专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．据此解答即可． 解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+ 〇+〇＝〇+〇+〇． 答：“？”处应放〇的个数是3个． 故选：C． 【点拨】找出各图形之间的数量关系，是解题关键． 【变式2】（22-23七年级下·河北沧州·期末）嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质量的物体、，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码的质量如图所示，的质量可能为（     ）    A．25 B．21 C．20 D．19 【答案】D 【分析】 根据题意可知3个比2个加1个20砝码轻，易得1个比20砝码轻，即可获得答案． 解：根据题意，可知3个比1个加1个50砝码轻，1个加1个50砝码比2个加1个20砝码轻， 所以，3个比2个加1个20砝码轻， 即1个比20砝码轻， 所以的质量可能为19． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 【题型4】一元一次方程的同解原理 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是同解方程，理解同解方程的概念是解题的关键． 先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可． 解：解方程得：， 将代入得：， 解得： ， ∴． 【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先求出方程的解，再求出方程的解，两者差额为，即可解答． 解： 根据题意可知： 【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）当 时，关于的方程和方程的解相同． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，熟知一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法是解决问题的关键．解方程可得，把代入方程可得方程，解方程求得a的值即可. 解： ， 关于的方程和方程的解相同， ， ， 故答案为：4. 【题型5】一元一次方程中的错解问题 【例5】（23-24七年级下·四川眉山·期中）关于x的一元一次方程，王小明在去分母时，方程右边的的项没有乘以6，因而求得的解是．试求a的值，并求出原方程的正确解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把代入，求出a的值，然后再得出原方程为，解方程即可． 解：把代入得：， ∴原方程为， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 【变式1】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知方程，小王正确解得．小李由于粗心，把b看作6，解得．试求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了含参数的一元一次方程，解题关键是掌握解一元一次方程的基本步骤．将，，代入可得a的值，再将代入可得b的值． 解：将代入得， ， 当时，， ， 解得：， 将代入可得， ． 故，． 【变式2】（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）小马虎在解关于的方程去分母时，方程右边的“”没有乘以6，最后他求得方程的解为3．则方程正确的解为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，将错就错，求出的值，再解方程即可． 解：按照小马虎的方法去分母，得：， 此时方程的解为3， ∴， 解得：， ∴原方程化为：， 解得：； 故选B． 【题型6】一元一次方程中的遮挡问题 【例6】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）整式，其中整式的系数■被污染． （1）若■是，则化简的结果是 ． （2）若时，的值为19，则原式中■的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、解一元一次方程等知识点，由题意构建关于x的参数方程是解题的关键． （1）由题意列代数式，然后去括号、合并同类项即可解答； （2）设，然后列代数式代简，然后得到得出关于m参数的方程求解即可． 解：（1）当■是时，则； 故答案为． （2）设， ∵的值为19， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）方程中被阴影盖住的部分是一个常数，且此方程的解是，求这个常数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和解一元一次方程，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程中，即可求出被阴影盖住的常数． 解：设阴影部分表示的常数为a． 将代入，得， 即， 两边同时加上，得， 两边同时加上a，得． 【变式2】（22-23七年级上·河北张家口·期末）嘉嘉在解关于的一元一次方程时，发现常数“”被污染了． （1）若嘉嘉猜“”是，则原方程的解为 ， （2）老师说：“此方程的解是正整数且常数为正整数”，则被污染的常数“”是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了解一元一次方程，整数的性质等知识，准确解一元一次方程是关键． （1）依次去分母、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （2）设被污染的常数“”是，进而解方程得到，再根据此方程的解是正整数且常数为正整数，得到，分别代入方程的解，得到满足条件的值，即可得到答案． 解：（1）， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 故答案为：； （2）设被污染的常数“”是，则方程为 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 方程的解是正整数，且常数为正整数 ，， ， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上可知，的值为或，即被污染的常数“”是或， 故答案为：或． 【题型7】一元一次方程中分子与分母含小数问题 【例7】（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 【答案】最早出现错误的步骤是，正确的解法见解析． 【分析】此题主要考查了解一元一次方程，第1步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键． 解：最早出现错误的步骤是，正确的解法如下： 对于方程， 将系数化为整数，得， 合并同类项，得， 系数化，得． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可解决． 解：， 原方程化为：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得． 【变式2】（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将分母去掉，然后再把括号去掉，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值； （2）先整理，然后去分母，去括号，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值； 解：（1） 去分母得：， 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：； （2）． 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 【题型8】一元一次方程中有解、无解、无数解问题 【例8】（23-24六年级下·上海·期中）解关于的方程：． 【答案】当时，；当时，x一切实数． 【分析】本题考查了解一元一次方程，将原方程化为，分两种情况：当时；当时，分别求解即可得出答案． 解：， 当时，， 当时，一切实数． 【变式1】（19-20七年级上·四川绵阳·期中）若关于x的方程有无数解，则3m+n的值为 ； 【答案】0 【分析】根据方程有无数解，求出m、n的值，代入3m+n计算即可． 解：， 移项得：mx+x=-1， 合并同类项得：(m+1)x=-1， ∵该方程有无数解， ∴m+1=0，-1=0， 解得 m=-1，n=3， ∴3m+n =-3+3=0， 故答案为：0． 【点拨】本题考查了一元一次方程解的情况，一元一次方程（形如ax=b）的解的情况：①当a≠0时，方程有唯一解x=，②当a=0，b≠0时，方程无解，③当a=0，b=0时，方程有无数个解． 【变式2】（20-21六年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的方程2a （x+5）＝3x+1无解，则a＝ ． 【答案】 【分析】先把原方程变为，再由方程无解即可得到，由此求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵关于的方程无解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一元一次方程无解的问题，熟知一元一次方程无解的条件是解题的关键． 【题型9】一元一次方程中的整数解问题 【例9】（23-24七年级下·河南新乡·期中）在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程步骤是解题关键． （1）把代入原方程，根据解一元一次方程步骤求出x； （2）先求出方程的解，再根据然后根据x是正整数，m是正整数，求出m. 解：（1）当时，原方程为， 解得； （2）解方程， 得， 方程有正整数解，是正整数， ． 【变式1】（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）已知关于的方程有整数解，则正整数的值为（   ） A． B．或 C．或或 D．或或或 【答案】A 【分析】先解关于x的方程得到，然后根据整数的整除性求解． 解：整理得， ∴， ∵x为整数，m为正整数， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查了一元一次方程的解及解法，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 【题型10】解含绝对值的一元一次方程 【例10】（2022七年级上·全国·专题练习）我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”，利用这个知识可以解含有绝对值的方程，如：解方程． 解：当时，，方程化为，解得（符合题意）； 当时，，方程化为，解得（符合题意）． 方程的解为或． （1）方程的解为 ； （2）方程的解为 ． 【答案】 / 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，然后解一元一次方程即可． 解：（1）当时，即时， 方程化为， 解得， ∵， ∴不合题意； 当时，即时， 方程化为， 解得， ∵， ∴符合题意； ∴方程的解为． （2）当时，原方程化为： ， 解得， ∵， ∴不符合题意； 当时，原方程化为： ， 解得， ∵， ∴符合题意； 当时，原方程化为： ， 解得， ∵， ∴不符合题意； 故方程的解为． 【点拨】本题主要考查了绝对值方程的内容，关键是利用绝对值的意义，去掉绝对值符号，尤其第（2）题，要分类讨论． 【变式1】（20-21七年级·全国·假期作业）方程|2x﹣1|＝4x+5的解是（　　） A．x＝﹣3或x＝﹣ B．x＝3或x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣3 【答案】C 【分析】根据2x-1的符号分情况去绝对值号，列出方程求解即可． 解：①当2x﹣1≥0，即x≥时，原式可化为：2x﹣1＝4x+5，解得，x＝﹣3，舍去； ②当2x﹣1＜0，即x＜时，原式可化为：1﹣2x＝4x+5，解得，x＝，符合题意． 故此方程的解为x＝． 故选：C． 【点拨】此题考查取绝对值的方法和解一元一次方程的方法，取绝对值后列方程求解方程即可． 【变式2】（22-23七年级上·全国·单元测试）当时，关于x的方程的解的情况是（　　） A．方程只有1个解 B．方程有2个解 C．方程有无数个解 D．方程无解 【答案】B 【分析】分三种情况：当、当和当时，分别化简绝对值，求解方程即可判断． 解：①当时，原方程为：， 解得； ②当时， 原方程为：， 此时，不符合题意，舍去； ③当时， 原方程为：， 解得． 综上：当时，关于x的方程有两个解． 故选：B． 【点拨】本题考查了绝对值方程、一元一次方程的求解以及分类的思想，熟练掌握相关知识、全面分类是解题的关键． 【题型11】用整体思想解一元一次方程 【例11】（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程可以有多种不同的解法，观察此方程，设． (1)原方程可变形为，解方程得： ，从而可得 ． (2)上述解法所用到的数学思想是 ． (3)利用上述方法解方程： 【答案】(1)，； (2)换元思想（整体思想）； (3) 【分析】本题通过代换法的应用以及解一元一次方程，掌握换元思想是解题关键． （1）解出方程得到的值，进而得到的值即可； （2）解题方法用到了换元思想； （3）设，将原方程换成的方程，解出方程得到的值，进而得到的值即可． 解：（1）， ， ， ， ∴，解得， 故答案为：，． （2）上述解法用到的数学思想为换元思想或者整体思想． 故答案为：换元思想（整体思想）． （3）设，原方程变形为：， ， ， ， ， ∴， ∴． 【变式1】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程． 【分析】本题考查解一元一次方程．按照两人的方法，逐一进行求解即可．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算． 解：小亮：原方程可化为 ； 小颖：原方程可化为 ． 【变式2】（21-22七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体． 令，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： 【答案】x= 【分析】把x+2看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可． 解：令a=x+2，则2a=2x+4， 原方程得：， 去括号，得：4a-20=1， 移项，得：4a=21， 系数化为1，得：a=． 故x+2=， 解得x=． 【点拨】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键． 【题型12】一元一次方程中大数据问题 【例12】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，求关于的一元一次方程的解． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，将关于的一元一次方程两边各项乘得到，进而得到的解为，进一步求解即可． 解：因为关于的一元一次方程的解为， 所以关于的一元一次方程两边各项乘得到：②， 方程①和方程②同解，所以，解得：． 故答案为：． 【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）关于的一元一次方程的解（    ）． A．是一个大于小于的数 B．是一个大于的数 C．是一个大于小于的数 D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，利用分数的性质先对方程化简，再移项，转化为，得到，解之即可求解，把方程转化为是解题的关键． 解：原方程变形为， 即， ∵， ∴， ∴， ∴方程的解是一个大于小于的数， 故选：． 【变式2】（21-22七年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　） A．2013 B． C．2023 D． 【答案】C 【分析】首先由方程可得，，由方程可得，，设n=y-5，可得，再由方程的解为，可得方程的解为n=2018，据此即可解得． 解：由方程，得， 由方程可得，， 得， 设n=y-5，则可得， 方程的解为， 方程的解为n=2018， ， 解得y=2023， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解和利用换元法解一元一次方程，正确掌握和利用换元法的转化思想是解题的关键． 【题型13】一元一次方程中规律问题 【例13】（21-22七年级上·北京·期中）我们知道，，，，……因此关于的方程的解是 ；关于的方程的解是 （用含的式子表示）． 【答案】 （或） 【分析】（1）根据题意将方程的左边变形，进而即可求解； （2）同（1）的方法解一元一次方程即可 解：（1） 可化为： 即 解得 （2） 即 解得（或） 【点拨】本题考查了解一元一次方程，仿照例题解决问题是解题的关键． 【变式1】（21-22八年级上·山东潍坊·期中）方程的解是x=（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，，可以得到，然后把方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解． 解：∵，，， ∴， 方程变形得： 即， 去分母得：， 解得： 故选C． 【点拨】此题考查解一元一次方程和数字类的变化规律，解题关键在于利用拆项法将原式变形． 【变式2】（20-21七年级上·山东德州·阶段练习）方程++……+=2018的解是 ． 【答案】x=2019 【分析】将等式左边变形为，利用拆项法得到，合并同类项进行计算即可得到答案． 解：++……+=2018 =2018 =2018 x=2019， 故答案为：x=2019． 【点拨】此题考查解一元一次方程，乘法分配律的逆运算，利用拆项法将等式左边变形为是解题的关键． 【题型14】含参一元一次方程的解总是一个常数问题 【例14】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可； 解：不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到，再由关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，得到当时，关于k的方程有无数解，则，据此求出m、n的值，再代值计算即可． 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得： ∵关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的的特殊解法，掌握整体代换的思想是解题的关键．根据关于的一元一次方程的解，可以得到的值，把的值代入关于的方程式中，可以得到的解． 解：变形得， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴中， 解得：． 故答案为：． 【题型15】列一元一次方程解决分数问题 【例15】（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）人数2024版初中数学七年级上册7页，可以写成分数形式的数称为有理数．例如：，，我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．无限循环小数为例进行探究： 设…﹐ 两边同乘以10得：，即，解得 ∴，因此，是有理数． (1)无限循环小数写成分数为__________． (2)试说明无限循环小数是一个有理数 (3)大小比较：____．（选填“”“”或“”） (4)无限循环小数写成分数．（直接写出答案） 【答案】(1)； (2)见解析； (3)=；(4)（或） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题干转化思想是解题关键． （1）仿照题干，设，两边同乘以10，得到，求出的值即可； （2）设，两边同乘以10，得到，求出的值，即可说明结论； （3）设，两边同乘以10，得到，求出，即可得到答案； （4）设，两边同乘以100得到，解得：，再根据，即可得到答案． 解：（1）设， 两边同乘以10得：，即， 解得：， 即无限循环小数写成分数为， 故答案为：； （2）设， 两边同乘以10得：，即， 解得：，即无限循环小数写成分数为， 所以，无限循环小数是一个有理数； （3）设， 两边同乘以10得：，即， 解得：，即无限循环小数写成， 即， 故答案为：； （4）设， 两边同乘以100得，，即， 解得：，即无限循环小数写成分数为 则． 【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读下面“将无限循环小数化为分数”材料，并解决相应问题： 我们知道分数写为小数形式即为0.3，反之，无限循环小数0.3写成分数形式即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗?如果可以，应怎样写呢? 【发现】以无限循环小数为例进行讨论． 设，由…可知，…，即．解得．于是 【解决问题】请你把无限小数写成分数形式，即（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化成整数形式．设，由可知的值，进而求出即可． 解：设，由可知， 即． 解得 于是，得． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·福建福州·期中）仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数成无限循环小数”，反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数，”那么怎么化为？ 解、不妨设……，则…… ， 解得即 根据以上材料，回答下列问题 (1)将“分数化为小数”，______，______； (2)将“小数和小数化为分数”，需要写出推理过程． 【答案】(1)， (2)；，推理过程见解析 【分析】（1）利用除法进行求解即可； （2）根据题目提供的方法分别得到方程和，解方程即可得到答案； 读懂题意，正确列出方程和解方程是解题的关键． 解：（1），， 故答案为：， （2）设x＝， 则10x＝， 那么， 解得：， 即； 设， 则， 那么， 解得：， 即． 【题型16】列一元一次方程解决利润问题 【例16】（2024七年级上·全国·专题练习）小明今年4月份两次同时购进了A、B两种不同单价的坚果，第一次购买A种坚果的数量比B坚果的数量多50%，第二次购买A坚果的数量比第一次购买A坚果的数量少60%，结果第二次购买坚果的总数比第一次购买坚果的总数量多20%，若第二次购买坚果的总费用比第一次购买坚果的总费用少（两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的比值． 【答案】 【分析】本题考查了一次方程的应用，在缺少确切数值的情况下，可先假设等量关系中的关键量为未知数，再列方程化简求值． 根据坚果数量的等量关系，可设第一次购买B种坚果数量为x个，用x分别表示第一次购买A种坚果的数量和第二次购买两种坚果的数量．再分别设两种坚果的单价为a元和b元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方程中x是可以约去的，化简即得到a与b的数量关系． 解：设第一次购买B种坚果数量为x， ∴第一次购买A种坚果的数量为： ∴第二次购买A种坚果数量为： ∴第二次购买坚果的总数量为：， ∴第二次购买B种坚果个数量为： 设A种坚果单价为a元，B种坚果单价为b元，依题意得： 化简得： ∴ ∴B坚果的单价与A坚果的单价的比值是， 故答案为：． 【变式1】（22-23七年级上·重庆巴南·开学考试）某公园淡季的门票价是60元，比旺季门票便宜20%．这个公园旺季时门票票价多少元？下面四位同学想法，其中错误的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查列方程解应用题，百分数的应用，关键是根据题意找出基本数量关系． 根据题意，把公园旺季门票价钱看作单位“1”，有关系式：淡季门票=旺季门票旺季门票．关系式也可变形为：淡季门票=旺季门票或淡季门票旺季门票=旺季门票．设旺季门票为x元，列方程为：或或者是．由此判断． 解：把公园旺季门票价钱看作单位“1”，有关系式： 淡季门票=旺季门票-旺季门票， 或者：淡季门票=旺季门票， 或：淡季门票旺季门票=旺季门票． 设旺季门票为x元，列方程为： 或或者是． 所以A、C、D都是正确的，错误的是B． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）“五一”期间，利民商场开展特价优惠活动，某品牌护眼灯的原价为320元/台，现价为240元/台，按现价出售后仍可获利，则该品牌护眼灯的进价为多少？设该品牌护眼灯的进价为元/台，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的数量关系列出等式是解题的关键．根据利润利润率进价，列出方程即可． 解：现价出售后利润为元， 根据题意可得：，即； 故选：C． 解得： 故答案为： 【变式2】（21-22七年级上·广东广州·开学考试）足球友谊比赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的票比之前增加了三分之一，而票房收入比之前增加了四分之一，那么每张票售价降了 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设每张票售价降了x元，按原价售出a张票，则降价后售出张票，利用总价单价数量，结合降价后票房收入比降价前增加了四分之一，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：设每张票售价降了x元，按原价售出a张票，则降价后售出张票， 根据题意得：， 即， 解得：， ∴每张票售价降了元． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.7 一元一次方程（4大知识点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 【要点提示】判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 【知识点2】等式的性质 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 【知识点3】一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并同类项：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【知识点4】用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 知识点与题型目录 【考点一】一元一次方程的概念 【题型1】方程及方程的解.....................................................3 【题型2】利用等式基本性质进行判断...........................................3 【题型3】利用等式基本性质求天平中砝码的质量与个数...........................4 【考点二】解一元一次方程 【题型4】一元一次方程的同解原理.............................................4 【题型5】一元一次方程中的错解问题...........................................5 【题型6】一元一次方程中的遮挡问题...........................................5 【题型7】一元一次方程中分子与分母含小数问题.................................5 【题型8】一元一次方程中有解、无解、无数解问题...............................6 【题型9】一元一次方程中的整数解问题.........................................6 【题型10】解含绝对值的一元一次方程..........................................6 【题型11】用整体思想解一元一次方程..........................................7 【题型12】一元一次方程中大数据问题..........................................8 【题型13】一元一次方程中规律问题............................................8 【题型14】含参一元一次方程的解总是一个常数问题..............................8 【考点三】实际问题与一元一次方程 【题型15】列一元一次方程解决分数问题........................................9 【题型16】列一元一次方程解决利润问题.......................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】方程及方程的解 【例1】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)已知：是该一元一次方程的解，求n的值． 【变式1】（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）若a是方程的解，则代数式的值为 ． 【题型2】利用等式基本性质进行判断 【例2】（23-24七年级上·安徽池州·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25七年级上·北京·期中）下列各等式中变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各变形中： ①由，可得到后； ②由，可得到； ③由，可得到； ④由，可得到．其中一定正确的有 （填序号）． 【题型3】利用等式基本性质求天平中砝码的质量与个数 【例3】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【变式1】（2023七年级上·全国·专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（22-23七年级下·河北沧州·期末）嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质量的物体、，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码的质量如图所示，的质量可能为（     ）    A．25 B．21 C．20 D．19 【题型4】一元一次方程的同解原理 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 【变式1】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 【变式2】（23-24六年级下·上海·期中）当 时，关于的方程和方程的解相同． 【题型5】一元一次方程中的错解问题 【例5】（23-24七年级下·四川眉山·期中）关于x的一元一次方程，王小明在去分母时，方程右边的的项没有乘以6，因而求得的解是．试求a的值，并求出原方程的正确解． 【变式1】（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知方程，小王正确解得．小李由于粗心，把b看作6，解得．试求的值． 【变式2】（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）小马虎在解关于的方程去分母时，方程右边的“”没有乘以6，最后他求得方程的解为3．则方程正确的解为（  ） A． B． C． D． 【题型6】一元一次方程中的遮挡问题 【例6】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）整式，其中整式的系数■被污染． （1）若■是，则化简的结果是 ． （2）若时，的值为19，则原式中■的值是 ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）方程中被阴影盖住的部分是一个常数，且此方程的解是，求这个常数． 【变式2】（22-23七年级上·河北张家口·期末）嘉嘉在解关于的一元一次方程时，发现常数“”被污染了． （1）若嘉嘉猜“”是，则原方程的解为 ， （2）老师说：“此方程的解是正整数且常数为正整数”，则被污染的常数“”是 ． 【题型7】一元一次方程中分子与分母含小数问题 【例7】（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： 【变式2】（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）解方程： (1) (2) 【题型8】一元一次方程中有解、无解、无数解问题 【例8】（23-24六年级下·上海·期中）解关于的方程：． 【变式1】（19-20七年级上·四川绵阳·期中）若关于x的方程有无数解，则3m+n的值为 ； 【变式2】（20-21六年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的方程2a （x+5）＝3x+1无解，则a＝ ． 【题型9】一元一次方程中的整数解问题 【例9】（23-24七年级下·河南新乡·期中）在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 【变式1】（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）已知关于的方程有整数解，则正整数的值为（   ） A． B．或 C．或或 D．或或或 【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【题型10】解含绝对值的一元一次方程 【例10】（2022七年级上·全国·专题练习）我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”，利用这个知识可以解含有绝对值的方程，如：解方程． 解：当时，，方程化为，解得（符合题意）； 当时，，方程化为，解得（符合题意）． 方程的解为或． （1）方程的解为 ； （2）方程的解为 ． 【变式1】（20-21七年级·全国·假期作业）方程|2x﹣1|＝4x+5的解是（　　） A．x＝﹣3或x＝﹣ B．x＝3或x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣3 【变式2】（22-23七年级上·全国·单元测试）当时，关于x的方程的解的情况是（　　） A．方程只有1个解 B．方程有2个解 C．方程有无数个解 D．方程无解 【题型11】用整体思想解一元一次方程 【例11】（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程可以有多种不同的解法，观察此方程，设． (1)原方程可变形为，解方程得： ，从而可得 ． (2)上述解法所用到的数学思想是 ． (3)利用上述方法解方程： 【变式1】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程． 【变式2】（21-22七年级上·云南昆明·期中）在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体． 令，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： 【题型12】一元一次方程中大数据问题 【例12】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，求关于的一元一次方程的解． 【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）关于的一元一次方程的解（    ）． A．是一个大于小于的数 B．是一个大于的数 C．是一个大于小于的数 D．不存在 【变式2】（21-22七年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　） A．2013 B． C．2023 D． 【题型13】一元一次方程中规律问题 【例13】（21-22七年级上·北京·期中）我们知道，，，，……因此关于的方程的解是 ；关于的方程的解是 （用含的式子表示）． 【变式1】（21-22八年级上·山东潍坊·期中）方程的解是x=（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（20-21七年级上·山东德州·阶段练习）方程++……+=2018的解是 ． 【题型14】含参一元一次方程的解总是一个常数问题 【例14】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，则 ． 【变式2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【题型15】列一元一次方程解决分数问题 【例15】（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）人数2024版初中数学七年级上册7页，可以写成分数形式的数称为有理数．例如：，，我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．无限循环小数为例进行探究： 设…﹐ 两边同乘以10得：，即，解得 ∴，因此，是有理数． (1)无限循环小数写成分数为__________． (2)试说明无限循环小数是一个有理数 (3)大小比较：____．（选填“”“”或“”） (4)无限循环小数写成分数．（直接写出答案） 【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）阅读下面“将无限循环小数化为分数”材料，并解决相应问题： 我们知道分数写为小数形式即为0.3，反之，无限循环小数0.3写成分数形式即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗?如果可以，应怎样写呢? 【发现】以无限循环小数为例进行讨论． 设，由…可知，…，即．解得．于是 【解决问题】请你把无限小数写成分数形式，即（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·福建福州·期中）仔细阅读下列材料． “分数均可化为有限小数成无限循环小数”，反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数，”那么怎么化为？ 解、不妨设……，则…… ， 解得即 根据以上材料，回答下列问题 (1)将“分数化为小数”，______，______； (2)将“小数和小数化为分数”，需要写出推理过程． 【题型16】列一元一次方程解决利润问题 【例16】（2024七年级上·全国·专题练习）小明今年4月份两次同时购进了A、B两种不同单价的坚果，第一次购买A种坚果的数量比B坚果的数量多50%，第二次购买A坚果的数量比第一次购买A坚果的数量少60%，结果第二次购买坚果的总数比第一次购买坚果的总数量多20%，若第二次购买坚果的总费用比第一次购买坚果的总费用少（两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的比值． 【变式1】（22-23七年级上·重庆巴南·开学考试）某公园淡季的门票价是60元，比旺季门票便宜20%．这个公园旺季时门票票价多少元？下面四位同学想法，其中错误的是（ ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）“五一”期间，利民商场开展特价优惠活动，某品牌护眼灯的原价为320元/台，现价为240元/台，按现价出售后仍可获利，则该品牌护眼灯的进价为多少？设该品牌护眼灯的进价为元/台，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（21-22七年级上·广东广州·开学考试）足球友谊比赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的票比之前增加了三分之一，而票房收入比之前增加了四分之一，那么每张票售价降了 元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$