精品解析：福建省三明第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

三明一中2024-2025学年上学期半期考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知不等式的解集是，则实数（ ） A. 1 B. 3 C. D. 5. “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 以下运算中正确的有（ ） A B. C. D. 10. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的单调递增区间为 C. 互为反函数的两个函数的图像关于直线对称 D. 若是函数在区间上的零点，则可用二分法求的近似值 11. 已知函数是定义域为的奇函数，且，则（ ） A. B. 一个周期是3 C. 的一个对称中心是 D. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 13. 设函数，则不等式的解集是__________. 14. 取名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”.若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求 （2）已知集合，且，求实数的取值范围. 16. 已知函数 （1）证明：函数在区间上是增函数； （2）当，求函数的值域. 17. 金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 829 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②；③. （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间； （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：） 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，若函数在上的最小值为11，求实数的值. 19. 已知函数.若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为， （1）证明：函数是上的“2级类周期函数”，周期为1； （2）若函数是上周期为2的“2级类周期函数”，且当时，，对任意，都有，求的取值范围； （3）若函数是上周期为1的“级类周期函数”，当时，，若在上单调递减，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三明一中2024-2025学年上学期半期考 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用并集概念计算即可. 【详解】，，则. 故选：A. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】待定系数法得到，得到答案. 【详解】设，将代入得，解得， 故，其定义域为，由幂函数的常见函数图象可知，C正确. 故选：C 4. 已知不等式的解集是，则实数（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的根的关系即可求解. 【详解】解：不等式的解集是， 是方程的两根， 由韦达定理得： ， 即， 故选：A. 5. “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用自变量，根据二次函数、指数函数、对数函数的单调性可得的取值范围，得出结论. 【详解】由二次函数性质可得当时，， 由指数函数性质可得， 由对数函数性质可得， 因此可得. 故选：C 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数值域，以及对数函数在区间上的值域，夹逼出一次函数在区间上的值域与的关系，列出关于的不等式求解即可. 【详解】当时，单调递增，又，故在上的值域为， 又在上的值域为，故是在上的值域的子集； 又当时，； 当时，显然不满足题意； 当时，在上单调递减，故在上的值域为不满足题意； 当时，在上单调递增，故在上的值域为， 若满足题意，则，即，故. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 8. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，，，变形代数式，利用基本不等式求其最小值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故，，， 又 因为，，， 由基本不等式就可得， 当且仅当，时等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 以下运算中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数运算判断A；根据根式性质以及指数运算判断B；指数和对数的运算判断C；对数的运算性质和换底公式判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确， 故选：ACD. 10. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的单调递增区间为 C. 互为反函数的两个函数的图像关于直线对称 D. 若是函数在区间上的零点，则可用二分法求的近似值 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，根据函数相同的定义即可判断；对B，根据复合函数的单调性即可判断；对C，根据反函数的定义即可判断；对D，根据二分法的定义即可判断． 【详解】解：对A，，， 对应关系不同，即与不是同一个函数，故A错； 对B，，令， 解得：， 令，则， 的对称轴为：， 即在上单调递增，上单调递减， 单调递增， 根据复合函数单调性同增异减，即的单调递增区间为，故B对； 对C，根据反函数的定义可得：互为反函数的两个函数的图像关于直线对称，故C对； 对D，只有在区间上的变号零点，才可以用二分法求的近似值，故D错． 故选：BC． 11. 已知函数是定义域为的奇函数，且，则（ ） A. B. 的一个周期是3 C. 的一个对称中心是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的周期性，奇偶性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由，可得， 所以有，所以是周期为的周期函数，选项B正确； 又是上的奇函数，知，可得， 无法确定，的值，选项A错误； 由，及，可得， 所以的图象关于点对称，选项C正确； 由的周期为3， 得，选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数真数大于0和指数函数的单调性即可求解. 【详解】要使函数有意义，则即， 因为为增函数，所以即. 所以函数定义域为. 故答案为：. 13. 设函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，两段求解即可. 【详解】由解析式可得：， 所以当时，即为：，解得：， 当时，即为：，解得：， 所以不等式的解集是， 故答案为： 14. 取名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”.若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的判别式恒正可得关于恒成立的不等式，结合可求的范围. 【详解】因为恒有两个不动点，即恒有两个不等实根， 整理为， 所以且恒成立. 即对于任意，恒成立. 令， 则，即， 故或，又， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求. （2）已知集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）先解不等式求得集合，再进行集合的交集、并集； （2）由集合的关系确定集合端点位置，建立关于的不等式关系，即可求出结论. 【小问1详解】 由，解得，所以， 所以， . 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为：. 16. 已知函数 （1）证明：函数在区间上是增函数； （2）当，求函数的值域. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明即得； （2）利用已证的函数单调性，即可求得函数在给定区间上的值域. 【小问1详解】 任取，且， 由， 因，故，，故， 即函数在区间上是增函数； 【小问2详解】 由（1）已证：函数在区间上是增函数，故在上也是增函数， 则，即，故函数的值域为. 17. 金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②；③. （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间； （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：） 【答案】（1）选模型②，且； （2）6.5min； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过表格数据，发现水温随着时间变化逐渐降低，且降低的速度逐渐变慢，所以是第②个函数模型，只需将具体数值代入，即可求得解析式； （2）最佳饮用口感温度为，代入解析式，利用对数式求得； （3）求出的最小值，即为答案. 【小问1详解】 由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，即，可得， 所以且. 【小问2详解】 令，则. 所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为6.5min. 【小问3详解】 由，即，所以进行实验时室温约为. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，若函数在上的最小值为11，求实数的值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数这一性质求解即可； （2）求出，令，令，根据二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义域为上的奇函数，所以 经检验当时，， 所以恒成立，满足是奇函数， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 令，则， 令，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，， 解得. 当，即时，， 解得，无解. 综上所述，当时，在上的最小值为11. 19. 已知函数.若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为， （1）证明：函数是上的“2级类周期函数”，周期为1； （2）若函数是上周期为2的“2级类周期函数”，且当时，，对任意，都有，求的取值范围； （3）若函数是上周期为1的“级类周期函数”，当时，，若在上单调递减，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据“级类周期函数”的定义即可求证； （2）根据题意可得，再结合当时，，即可求解； （3）由题意当时，，从而得到，进而可求解. 【小问1详解】 对于函数，因为， 所以对于任意恒成立， 所以函数是上的“2级类周期函数”，周期为1. 【小问2详解】 因为函数是R上周期为2的“2级类周期函数”， 所以， 因为当时，， 所以当时，，所以， 所以当时，， 故当时，恒成立， 当时，， 则， 此时，令， 解得或， 所以当时，， 综上所述，对任意，都有，则的取值范围为. 【小问3详解】 因为函数是上周期为1的“级类周期函数”， 所以， 因当时，， 所以， 所以当时， ， 而， 因为在上单调递减， 所以，解得， 若，与题意矛盾， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，此题很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$