河南省许昌市长葛市第三实验高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

CGSG2024——2025学年第一学期高二年级 数学学科期中考试试卷 一、单项选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分) 1．直线 x + y + 1 = 0的倾斜角为（ ） A. � 4 B. � 3 C. 3� 4 D. 2� 3 2．圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( ) A．(－2，3)，r＝4 B．(2，－3)，r＝4 C．(4，－6)，r＝16 D．(2，－3)，r＝16 3．如图，正方体 ABCD­A1B1C1D1的棱长为 a，AM→＝12 MC1→ ，点 N为 B1B的中点，则|MN→ | ＝( ) A． 21 6 a B． 6 6 a C． 15 6 a D． 15 3 a 4．已知 O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且 OA→＝2xBO→＋3yCO→＋4zDO→，则 4x＋6y＋8z＝（ ） A．2 B．­2 C．1 D．­1 5.在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 D到 AC1的距离为（ ） A. 6 B. 6 2 C. 6 3 D. 6 4 6．已知直线 l 过圆(x − 1)2＋(� − 1)2＝4 的圆心，且与直线 x＋2y ＋1＝0 垂直，则直线 l的方程是( ) A．2x＋y+1＝0 B．x－2y＋5＝0 C．x＋2y+5＝0 D．2x－y－1＝0 7.已知四边形 ABCD 的四个顶点为 A(0，0)，B(3，－2)，C(5，1)，D(2，3)，则四边形 ABCD 的形状是（ ）． A.平行四边形 B.正方形 C.菱形 D.矩形 8.经过点(3，2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A．x＋y-5=0 B．x+y=4 或 2x-3y=0 C．x+y-5=0 或 x＋y＝4 D．x+y-5=0 或 2x-3y=0 二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．全部选 对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9.下列说法正确的是( ) A．直线 y＝ax－2a(a∈R)必过点(2，0) B．直线 y＋1＝3x 在 y 轴上的截距为 1 C．直线 x＋ 3y＋1＝0 的倾斜角为 120° D．过点(－2，3)且垂直于直线 x－2y＋3＝0 的直线方程为 2x＋y＋1＝0 10．给出下列命题，其中是真命题的是( ) A.若直线 l的方向向量 a＝(0，1，－1)，平面α的法向量 n＝(1，－1，－1)，则 l⊥α B．若直线 l的方向向量 a＝(1，－1，2)，直线 m的方向向量 b＝(2,1,- 1 2 ），则 l与 m 垂直 C．若平面α，β的法向量分别为 n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α⊥β D．若平面α经过三点 A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量 n＝(1，u，t) 是平面α的法向量，则 u＋t＝1 11.已知圆 C1：x 2 ＋y 2 ＝9和圆 C2：x 2 ＋y 2 ＋6x－4y＋9＝0 交于 P,Q 两点，下列说法正确的 是（ ） A.圆 C1和圆 C2的圆心距为 14 B.两圆有两条公切线 C.直线 PQ 的方程为 3x-2y+9=0 D.线段 PQ 的长为 6 13 13 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12.已知 a=(-1,2,2),b=(1,0,1),则 cos<a,b>= . 13．已知直线 x + 3y +λ =0 与直线 2x + 6y + 1 = 0间的距离为 10 2 ，则λ= . 14.若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P处的切线方程为________. 四、解答题(本大题共 5大题，共 77分) 15.（13 分）已知一个动点 P在圆 x2＋y2＝36上移动，它与定点 Q(4，0)所连线段的中点 为M. (1)求点M的轨迹方程； (2)判断该轨迹与圆 N:�2 + �2 + 2� + 8� − 8 = 0的位置关系. 16.（15 分）如图，在直三棱柱 ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2， M，N分别为 A1B1，A1A的中点． (1)求 BN的长； (2)求 A1B与 B1C所成角的余弦值； (3)求证：BN⊥平面 C1MN. 17. （15 分） 已知直线 l1过点 A（3，-2）且过直线 x-2y+4=0 和直线 x+y-2=0 的交点， 直线 l2:(2m＋1)x＋(m＋1)y-7m-4=0 过一定点（a,b）. （1）求直线 l1的方程. （2）求 a,b 的值. （3）若 m=2,分别求点 B（3,2）到直线 l1和 l2的距离. 18.(17分)若方程为 x2＋y2­ 2(m­1)x+my+�2 − 2＝0表示圆M.点 A（1，­2），B（­1，4） 在圆 N上， （1）求实数 m的取值范围. （2）求出圆M的圆心坐标和半径，并求当 m=1时圆M的方程. （3）求过点 A,B且圆心在直线 2x­y­4=0上的圆 N的方程. 19.（17 分）如图，正四棱柱 ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝AD＝2，点 E在棱 C1C 上且 EC1＝3EC. （1）求证：A1C⊥DE； （2）求点 A1到平面 BED的距离． （3）求平面 A1DB和平面 DEB的夹角的余弦值