提分练习17 勾股定理的证明-练习20 复习课-【课时提优计划作业本】2024-2025学年八年级数学上册（苏科版）

AP时，AP=BP=2tcm,CP=|2t-8|cm,AC= 6cm,在Rt△ACP中，由勾股定理得AP2=AC+ 面积S:=c2+2×2h=c2+ab.(2)由S=S:,得 a*+btab=c*+ab,..a*+b2=c. Cp,即(2)=6+(2：-8，解得1-综上所述， 3.(1)证明：S4E方期=(b-a)2=b2-2ab十a2, 当△ABP为等腹三角形时！的值为5或8或号。 SE为8=c-4X2ab=c-2ab,六b-2ab+a2= 3.(1)CE⊥BD且CE=BD.理由如下：c2-2ab.∴a+b=c,(2)由题意得.HG+GF= :∠BAC=∠DAE=90°，∴.∠BAD=90°- 年×24=6.设GF=x,则HG=6-x,OG=3+x.在 ∠DAC,∠CAE=90°-∠DAC,∴，∠BAD= Rt△HOG中，由勾股定理得OH2+OG2=GH2,即 (AB=AC. ∠CAE.在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAE, 3+(3+x)=(6-x).解得x=1.5=2×3× AD=AE. (3十1)×4=24.(3)6解析：设正方形EFGH的 ∴.△ABD≌△ACE(SAS),.∠ACE=∠B,CE 面积为x,每个直角三角形的面积为y,则S,=8y十 BD.∠ACB+∠B=180°-∠BAC=180°-90°= x,S:=4y+x,S=x.S1+Sg+S:=18,12y+ 90°，∴·∠ECB=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B= 3xr-18,.4y+x-=6,即S:=6. 90°，即CE⊥BD.(2)证明：如图，把△ACE绕点A 练习18勾股定理的逆定理 顺时针旋转90°得到△ABG,连接DG,则△ABG≌ 1.6解析：如图，延长AD至点E,使DE= △ACE,∴.AG=AE,BG=CE,∠ABG=∠ACE, AD,连接BE.,AD是边BC上的中线，，BD=CD. ∠BAG=∠CAE.:∠DAE=45,∴.∠BADH CD=BD, ∠CAE=45°，∴.∠BAD+∠BAG=45°，∴.∠DAG= 在△ACD和△EBD 中 ∠CDA=∠BDE. 45°，.∠DAG=∠DAE.在△ADG和△ADE中， AD=ED. (AG=AE. ∴.△ACD≌△EBD(SAS),∴.BE=CA=5, ∠DAG=∠DAE,∴.△ADG≌△ADE(SAS), .S△MD=S△EBD,.S△We=S△AE,在△ABE中， AD=AD. AB=3,AE=2AD=2X2=4,BE=5,.AB2+ .DG=DE.:∠GBD=∠ABG+∠ABC=∠ACE+ AE=BE,.△ABE是直角三角形，且∠BAE= ∠ABC=90°，.BD+BG=DG,即BD+CE= DE2. 90,Sam=Sam-号AB,AE-7×8X4=6 练习17勾股定理的证明 2.(1)3、4、56、8、10解析：当k=4时，这一 1.75解析：设正方形MNKT的面积为x,每 组勾股数是3、4、5：当k=6时，这一组勾股数是6、8、 个直角三角形的面积为y,则S1=8y+x,S:=4y十 10:当k=8时，这一组勾股数是8、15、17.以上三组 x,S3=x,∴.S1+S:十S3=12y+3.x=3(4y十x)= 勾股数写出两组即可.(2)当k是大于2的偶数时， 3S2.S:=52=25,∴.S1+S2+S1=3×25=75. 2.(1)根据题意，得图1中空白部分的面积S,= +[2)-]-[(位)'+证明：左边 a2+6+2×2b=a2+6+ah,图2中空白部分的k+(仔k-1)=+6k+1-名=后k 52》 2+1,有边=[(2)+]=（片+） 25m时，AC⊥BD,.CD=CB=15m,∴.BD= 2CD=30m,.△ABD的周长为AB+AD十BD= 十：十1…左边=有边等式成立。 25+25+30=80(m):②如图2，当BD=AB=25m 时，，BC=15m,∴.CD=BD-BC=25-15= 3.(1),△ACE≌△BCD,.AE=BD.又，AD+ DB=DE.∴.AD+AE=DE.∠EAD=90°， 10(m),∴.AD=√/AC+CD=√20+10=105(m), .△AED是直角三角形.(2)△ABC是等腰直角三 ∴.△ABD的周长为AB十BD+AD=25+25+ 角形.理由如下：，△ACE≌△BCD,∴.AC=BC, 10√5=(50+10√5)m:③如图3，当AB为底时，设 ∠EAC=∠B,AE=BD.:AD+DB=DE2,AD=BD=xm,则CD=(x-15)m,由勾股定理得 .AD+AE=DE∠EAD=90°，∠EAC+AD=AC2+CD2,即x2=20+(x-15),解得x ∠DAC=90°，∴.∠DAC+∠B=90°，∴.∠ACB= ,△ABD的周长为AD+BD十AB=25+ 6 90°，又：AC=BC,∴.△ABC是等腰直角三角形. 12 练习19勾股定理的简单应用 6 +25-2g(m:@如图4，当点D在AC的延长 1,101解析：如图，过点D作DE⊥AB于点线上时，CD=AC=20m,∴.AD=2AC=40m,此时 E,则OA=OB=AD=BC.根据题意可知，DE= BD=AB=25m,.△ADB的周长为AB十BD十 10寸.CD=2寸，0E=号CD=1寸.设0A= AD=25十25十40=90(m).综上所述，扩充后等腰三 OB=AD=BC=r寸，则AB=2r寸，AE=(r-1) 角形绿地的周长为80m或(50+105)m或m或 寸.在Rt△ADE中，由勾股定理得AE十DE= 90m, AD,即(r-1)+102=r2,解得r=50.5,∴.AB 2r=101寸. 2.小明能听到广播宣传理由如下：，小明家A 图1 图2 到公路MN的距离为600m<1000m,∴.小明能听 到广播宜传.如图，假设当广播车行驶到点P时小明 开始听到广播，行驶到点Q时小明恰好听不到广播， 则AP=AQ=1000m,AB=600m,由勾股定理得 BP=BQ=J/1000-600=800(m),∴.PQ=BP+ BQ=800+十800=1600(m),∴.小明听到广播宣传的 时间为1600÷250=6.4(min). 图3 图4 练习20复习课 3.由题意得，∠ACB=90°，AC=20m.BC=15m, 1.136解析：由题意得，BD⊥AC,∴.∠COB= 由勾股定理得AB=√AC+BCF=√20+15= ∠AOB=∠AOD=∠COD=90°.在Rt△COD和 25(m),分以下四种情况.①如图1，当AD=AB= Rt△AOB中，由勾股定理可得DO+CO=CD2= 《53 100,(OB+OA2=AB=36,∴.D02+C02+OA2+1勾股定理得82十(16-21)°=(20-21)2，解得1=5： OB=136.,AD=AO+DO2,BC=OC+OB,②当点P在线段BC的延长线上时，连接DP,如图 ∴.AD2+BC2=136. 2所示，同理①得△PDE≌△PDC(AAS),∴.ED= 2.(1)在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,CD=3,PE=PC=21-16,·AD=AC-CD=8 BC=6cm,∴.由勾股定理得AC=√/AB一BC= 3=5,.AE=4,.AP=AE十PE=4十21-16= 21-12.在Rt△APC中，由勾股定理得8+(2t /10-6=8(cm).由题意得，PA=PB=1cm,则 16)2=(2t-12)2,解得t=11.综上所述，在点P的运 PC=(8一t)em.在Rt△PCB中，由勾股定理得PC+ 动过程中，当t的值为5或11时，能使DE=CD. C=PB,即(8-)+6=户，解得1- 。(2)如 图，过点P作PE⊥AB于点E.由题意得，PB= (14-t)cm,PC=(t-8)cm.在△APC和△APE ∠PCA=∠PEA, 中，{∠PAC=∠PAE,∴.△APC≌△APE(AAS), 图1 AP=AP. .PE=PC=(t-8)cm,AE=AC=8 em,.BE= AB一AE=10一8=2(em).在Rt△BEP中，由勾股 定理得PE2十BE”=PB2,即(1-8)2十22=(14 识，解得1-号 图2 练习21平方根 1.D解析：根据题意，得3m一1=一2m一2或 3m-1+(一2m-2)=0,解得m=-号或m=3.当 3.(1)根据题意得，BP=21=2×3=6,PC= m=-号时8m-1=-.∴a=(）广-当 5 16-2t=16-2×3=10.在Rt△APC中，由勾股定理 m=3时，3m-1=8,∴.a=82=64. 得AP=√AC+PC=√8+10=2√41.(2)在 2.3或6或7解析：根据题意得，7一x≥0， Rt△ABC中，AC=8,BC=16.由勾股定理，得AB= ∴x≤7.x为正整数，x可能为1、2,3、4、5、6、7 √82+16=85.若BA=BP,则21=8√5，解得1= ,√7-x为整数，x=3或x=6或x=7. 45:若AB=AP,则BP=32,即21=32，解得1 3.,正数x的平方根分别是n和n十a,.(n十 16:若PA=PB,则(21)=(16-2t)+8,解得t=a)2=xn=x.:n2+(n+a)=8,x+x=8,∴x 5.综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为4，：a>0n十a>n,∴n=-2,n十a=2,∴n十a的 45或16或5.(3)①当点P在线段BC上时，连接 平方根是士√2， DP,如图1所示，则∠AED=∠PED=90°， 4.(1)一i1解析：=2·i=一i,i=· .∠PED=∠ACB=90°，.PD平分∠APC, ￥=-1×(-1)=1.(2)原式=3-4i+3i-4= ∴∠EPD=∠CPD.又PD=PD,∴△PDE≌ 3-i+4=7-i.(3)原式=(i-1-i+1)+…+(i一 1-i)=-1. APDC(AAS),..ED=CD=3,PE=PC=16-2t, .AD=AC-CD=8-3=5,.AE=4,.AP= 练习22算术平方根 AE+PE=4+16-21=20-2t.在Rt△APC中，由 1.1解析：，√a+I+b2一4b+4=0,即 540》八年级上 练习17 勾股定理的证明 考查范围:勾股定理的证明 1. 如图是由赵爽弦图变化得到的图形,它是由八个全等的直角三角形拼接而 成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为 S.、S、S.若正方形EFGH的边长为5,则S.+S十S= 2. 意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理,其中图1的空自部分是由两 个正方形和两个直角三角形组成,图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成,设 图1中空自部分的面积为S,图2中空白部分的面积为S。。 有边部分 上下翻转 图1 图2 (1)请用含a、、c的代数式分别表示S、S。 (2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理 3.用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的大正方形,中间也是一个正方形,其中四个直角 三角形的直角边长分别为a、(ab),斜边长为c. (1)结合图1,求证:a十b一c*. (2)如图2,将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起,得到图形 ABCDEFGH.若该图形的周长为24,OH=3,求该图形的面积 (3)如图3,将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN,记正方形PQMN、正方 形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S、S、S,若S+S。+S三18,则 图1 图2 图3 《17 提分练习 练习18 勾股定理的逆定理 考查范围:勾股定理的逆定理 1. 如图,在△ABC中,AC一5,AB=3,边BC上的中线AD=2,则△ABC的面积为 2. 清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理,提出推算勾股数的“罗士琳法则”,其中有一个法 则是“如果 是大于2的偶数,那么i、i的一半的平方减1、的一半的平方加1是一组勾 股数。” (1)按照这个法则,写出两组不同的勾股数: (最大数不超过18). (2)用等式表示这三个勾股数的数量关系并证明. 3. 如图,D为AB上一点,△ACE△BCD,AD*}+DB*-DE*, (1)试说明△AED是直角三角形 (2)试判断ABC的形状,并说明理由 18) 八年级上 练习19 勾股定理的简单应用 考查范围:勾股定理的实际应用 1.《九章算术》是古代东方数学的代表作,书中记载;“今有开门去阔(读kún,门槛的意思)一 尺,不合二寸,问门广几何?”题目大意是:如图1、图2(图2为图1的平面示意图),推开双 门,双门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),0为 AB的中点,则AB的长是 寸。 门& 圈1 图2 2. 为了积极宣传防疫政策,某区政府采用了移动车进行广播,如图,小明家在南大街这条笔直 公路MN的一侧点A处,小明家到公路MN的距离为600m,假设广播车P周围1000m 以内能听到广播宣传,广播车P以250m/min的速度在公路MN上沿PN方向行驶时,若 小明此时在家,则他是否能听到广播宣传?若能,请求出他听到广播宣传的时间;若不能 请说明理由. 3.如图,有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为20m、15m,现在将绿地扩充成等 腰三角形,且扩充部分是以20m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长 《1 提分练习 练习20 复习课 考查范围:第3章 1. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”.现有如图所示的“垂美四边形”ABCD,对角线 AC、BD交于点O,若AB=6.CD-10,则AD*+BC*= 2.如图,在△ABC中, ACB=90{,AB=10cm,BC=6cm,点P从点A出发,以1cm/s的 速度沿折线A一C一B一A运动,设运动时间为/s(/>0) (1)若点P在AC上,且满足PA一PB,求出此时/的值. (2)若点P恰好在BAC的平分线上(不与点A重合),求:的值 3.如图,在Rt△ABC中,ACB=90{}AC=8,BC=16,D是AC上的一点,CD=3,点P从 点B出发沿射线BC方向以2个单位长度/s的速度向右运动,设点P的运动时间为ts.连 接AP. (1)当/一3时,求AP的长度(结果保留根号) (2)当△ABP为等腰三角形时,求:的值 (3)过点D作DE IAP于点E.在点P的运动过程中,当t为何值时,能使DE=CD? 20)