提分练习13 等腰三角形的轴对称性(3)-练习16 勾股定理-【课时提优计划作业本】2024-2025学年八年级数学上册（苏科版）

八年级上《 练习13等腰三角形的轴对称性(3) 考查范围：等边三角形的性质与判定 1.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点 D,P是BA延长线上一点，O是线段AD上一点，OP=OC.现有下列 结论：①∠APO+∠DCO=30°：②∠APO=∠DCO:③△OPC是等边 D 三角形；④AB=AP十AO.其中正确的是 A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①②③④ 2.已知等边三角形ABC. (1)如图1，P、Q是边BC上的两点，AP=AQ,∠BAP=20°，求∠AQB的度数. (2)P、Q是边BC上的两个动点（不与点B、C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ,点 Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM. ①依题意将图2补全. ②求证：PA=PM. 图1 图2 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E. (1)如图1，连接EC,求证：△EBC是等边三角形. (2)M是线段CD上的一点（不与，点C、D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG 60°，MG交DE的延长线于点G.请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD、DG与 AD之间的数量关系 (3)如图3，N是线段AD上的一点（不与点A、D重合），以BN为一边，在BN的下方作 ∠BNG=60°，VG交DE的延长线于点G.试探究ND、DG与AD之间的数量关系，并 说明理由. 图1 图2 图3 《13 提分练习 练习14等腰三角形的轴对称性(4) 考查范围：直角三角形斜边中线的性质 1.如图，AB、CD相交于点E,AD=DE,BC=BE,F、G、H分别为AE、CE、BD的中点， ∠A=a,则∠FHG= (用含a的代数式表示). G 2.如图，在R1△ABC中，∠C=90,点E在AC上，AB=2DE,AD∥BC.求证：∠CBA= 3∠CBE. D 3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，F是BD的中点. (1)求证：EF⊥BD (2)过点D作DH⊥AC于点H,如果DB平分∠HDE,求证：BA=BC. 14》 八年级上《 练习15复习课 考查范围：第2章 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6,D是线段AB上的一个动点，以 BD为边在△ABC外作等边三角形BDE,若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE 的周长为 (第1题) (第2题) 2.如图，在以AB为斜边的Rt△ABD和Rt△ABC中，∠ACB=∠ADB=90°，CD=m, AB=2m,则∠AEB= 3.如图1，在△ABC中，∠ABC=∠BAC,D是BC延长线上一动点，连接AD,AE平分 ∠CAD交CD于点E,过点E作EH⊥AB,垂足为点H.直线EH与直线AC相交于点F. 设∠AEH=a,∠ADC=B. (1)求证：∠EFC=∠FEC. (2)①若∠B=30°，∠CAD=50°，则a= = ②试探究α与B的关系，并说明理由。 (3)若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其他条件不变，请在 图2中补全图形，写出《与3的关系，并说明理由. 图1 图2 《15 提分练习 练习16勾股定理 考查范围：勾股定理的探索与应用 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E、F分别是AB、 AC上的动点，∠EDF=90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、 MN,若AC=6,AB=5,则AM-MN的最大值为 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发沿射线BC以 2cms的速度运动，设运动的时间为ts. (1)求边BC的长. (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值. (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值. 3.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为边BC上一动点（与点B不重合），连接AD,以 AD为一边作∠DAE=a(0°<a<180°) (1)如图1，当a=90°，且AE=AD时，试说明CE和BD的位置关系和数量关系， (2)如图2，当a=45°，且点E在边BC上时，求证：BD2+CE2=DE2. 图1 图2 16》∠DAB,:∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B, (PA=PE, ∴∠B=号∠ADC=号×30=15：③如图3，AD ∠EPC,在△OPA和△CPE中，{∠APO=∠EPC, OP=CP. BD,AC=CD,.∠B=∠BAD,∠CAD= .△OPA≌△CPE(SAS),.AO=EC,.AB= ∠ADc-2180°-∠C)=7×(180°-309=75， AC=AE+EC-AP+AO,故④正确.综上所述，正 确的有①③④. 又·∠ADC=∠B+∠BAD,∴.∠B= 2∠ADC= ×75=37.5,综上所述，∠B的度数为60或15或 1 B D 37.5°. 图1 图2 2.(1)△ABC为等边三角形，∴.∠B=60°， ,∴.∠APC=∠BAP+∠B=20°+60°=80°.又 AP=AQ,∴∠AQB=∠APC=80.(2)①补全 图2 图形如图所示。 图3 B C 练习13等腰三角形的轴对称性(3) ②证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H.:△ABC 1,A解析：如图1，连接OB,AB=AC,AD⊥ 为等边三角形，.∠BAC=∠B=∠C=60°.，AP= BCBD=CD,∠BAD=∠CAD-2∠BAC-X AQ,.∠APQ=∠AQP,.∠APQ-∠B= ∠AQP-∠C,即∠PAB=∠QAC.,点Q、M关于 120°=60°，∴.OB=OC,∠ABD=90°-∠BAD= 直线AC对称，.∠MAC=∠QAC,AM=AQ, 90°-60°=30°.OP=OC,∴.OB=OC=OP, ∴.∠PAB=∠MAC,AP=AM,∴.∠PAM= .∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,∴.∠APO+ ∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=∠BAC= ∠DCO=∠ABO十∠DBO=∠ABD=30°，故①正60.：AP=AM,∴.△APM为等边三角形， 确：由①知，∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO, ∴.PA=PM. O是线段AD上一点，.∠ABO与∠DBO不一定 3.(1)证明：：∠ACB=90°，∠A=30°， 相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确： ∠ABC=60,BC=号AB.:BD平分∠ABC. :∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴.∠APC+ ∠DCP=150°，∠APO+∠DCO=30°， ∴∠DBA-=∠ABC=30,:∠DBA=∠A, .∠OPC+∠OCP=120°，.∠POC=180°- (∠OPC+∠OCP)=60°.，OP=OC,.△OPC是 DA=DB,又：DE⊥AB,AE=BE= 2AB. 等边三角形，故③正确：如图2，在AC上截取AE=∴.BC=BE.又：∠EBC=60°，∴，△EBC是等边三 PA,连接PE,,∠PAE=180°-∠BAC=180°- 角形.(2)补全图形如图1所示，AD=DG+MD.理 120°=60°，∴.△APE是等边三角形，∴.∠PEA=由如下：如图1，延长ED至点W,使得DW=MD, ∠APE=60°，PE=PA,∴.∠APO+∠OPE=60°，连接MW.由题意得，∠ADE=∠BDE=60°，AD= 又：∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，.∠APO=BD.:MD=DW,∠MDW=∠ADE=60°， 《49 :△MDw是等边三角形，·MW=MD,∠W= ∠DMW=60°，又：∠BMG=60°，.∠DMW= 的中点，AF=DF=号DE,4∠D=∠DAF, ∠BMG,∴.∠DMW+∠DMG=∠BMG+∠DMG, ∴.∠AFB=∠D+∠DAF=2∠D=2∠CBE.,AB= 即∠WMG=∠DMB.:∠MDB=180°-∠ADE- DE.AF DE.AB AF.ABF- ∠BDE=180°-60°-60°=60°，∴.∠W=∠MDB.在 ∠AFB=2∠CBE,∴.∠CBA=∠ABF+∠CBE= 「∠W=∠MDB, 3∠CBE. △WGM和△DBM中， MW=DM. ∠WMG=∠DMB, ∴.△WGM≌△DBM(ASA),.BD=GW=DG+ DW=DG+MD.又AD=BD,∴.AD=DG+MD. 3.(1)证明：：∠ABC=∠ADC=90°.E是AC 的中点，DE=号AC,BE=号AC,DE=BE. ,F是BD的中点，∴EF⊥BD.(2)证明：，BE= DE,∴∠BDE=∠DBE.:DB平分∠HDE, 图1 图2 ∴.∠BDE=∠BDH,∴.∠BDH=∠DBE,.BE∥ (3)AD=DG-ND.理由如下：如图2，延长BD至点 DH.DH⊥AC,.BE⊥AC.,E是AC的中点， H,使得DH=ND,连接HN.同(2)可得△DNG≌ ∴.BE垂直平分AC,.BA=BC. △HNB(ASA),∴.DG=HB=DH+BD=ND+ 练习15复习课 AD...AD=DG-ND. 1,18解析：如图，连接BF,过点C作CH⊥ 练习14等腰三角形的轴对称性(4) BF,交BF的延长线于点H.:'△BDE是等边三角 1,180°一2a解析：如图，连接DF,BG.:F,G形，F是DE的中点，∠ABF=30°，∴点F在射线 分别是AE、CE的中点，∴.AF=EF,EG=CG,又BF上运动，当点F与点H重合时，CF最小 :AD=DE,BC=BE,.DF⊥AE,BG⊥EC,:∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=60°，AB .∠DFB=∠DGB=90°.：H是BD的中点，2AC=2X6=12.:∠ABF=30°，∴.∠BD'H ∴.DH=BH,.FH=DH=BH=GH,∴.∠HFB= ∠AD'C=60°，∴.△ACD'是等边三角形，.AD'= ∠HBF,∠HDG=∠HGD.:DA=DE,∴∠DEA=AC=6,∴.BD'=AB-AD'=12-6=6,.△BDE ∠A=a.∠DEA=∠EDB+∠EBD,∴.∠EDB+ 的周长为6×3=18. ∠EBD=a,.∠FHG=180°-∠FHD-∠GHB= 180°-2∠EBD-2∠EDB=180°-2（∠EDB+ ∠EBD)=180°-2a. 2.120°解析：如图，取AB的中点F,连接CF、 2.证明：如图，取DE的中点F,连接AF.:AD∥ BC,∴∠D=∠CBE,∠DAE=∠C=90°，：F是DE DF.'∠ACB=∠ADB=9O°，CF=BF= 2AB. 50》 DF=AF=2AB.六CF=DF,又CD=m,AB= ∠EAH=90°a+28=90°.2a+月=180°. 2mCD=号AB,∴CF=DF=CD,△CDF是 等边三角形，.∠CFD=60°.∠AFC十∠BFD= 120°.：CF=BF,AF=DF..∠AFC=2∠ABE, ∠BFD=2∠BAE,即∠ABE=号∠AFPC,∠BAE 合∠BFD,·∠ABE+∠BAE=号∠BFD+ 练习16勾股定理 25 ∠APC=2∠BFD+∠ANC)=7×120=0. 1. 解析：如图1，连接DM,DN.由图1可以 得到点M的轨迹是一条线段(AD的垂直平分线的 .∠AEB=180°-（∠ABE+∠BAE)=180° 一部分)，且当点M在AN上时，AM一MN的值最 60°=120. 大（此时AM最大，MN最小）.当点M在AN上时， 如图2，设AM=x,则MN=3-x,DM=AM=x, DN=多在R△DMN中，由勾殷定理得DM= DN+MN,即x=(2 61 +(3-x),解得x=24 3.(1)证明：EH⊥AB,∴.∠AHF ∠EHB=90°，∴.∠ABC+∠BEH=90°，∠BAC+ .3-x= 2 ,此时AM-MN 8费得综上所 ∠AFH=90°，∴.∠BEH=∠AFH.又：∠AFH= 述，AM-MN的最大值为2 5 ∠EFC,∴.∠EFC=∠BEH,即∠EFC=∠FEC. (2)①35°70°解析：：∠ABC=∠BAC=30°， (E) .∠ACD=∠ABC+∠CAB=60°.，∠CAD=50°， ∴.3=∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°- 50°-60°=70°.，AE平分∠CAD,.∠EAC= ∠DAC=专×50=25，∠EAH=∠EAC+ 1 图1 图2 2.(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得BC= ∠BAC=25°+30°=55°.∠AHE=90°，.&= √AB一AC=√10-6=8(cm).(2)根据题意， ∠AEH=90°-∠EAH=90°-55°=35°.②B=2a. 可知，BP=2tcm.①当∠APB=90°时，点P与点C 理由如下：设∠DAE=∠CAE=x,∠ABC= 重合，BP=BC=8cm,.t=4.②当∠BAP=90°时， ∠BAC=y,∴.B=∠ADC=180°-2(x+y).BP=21cm,CP=(21-8)cm,AC=6cm.在 :∠AHE=90°，∴.a=∠AEH=90°-(.x+y), Rt△ACP中，由勾股定理得AP2=AC+CP:= ∴.B=2a.(3)补全图形如图所示.结论：2a十B= 6+(21-8)2:在R1△BAP中，由勾股定理得 180°.理由如下：设∠ABC=∠BAC=x,∠EAH= AB2+AP2-BP2,即102+[62+(21-8)2]=(21)2. y.'AE平分∠CAD,.∠CAE=∠DAE=x-y, ∠BAD=x-y-y=x-2y.:∠ABC= 解得：-孕综上所述，放当△ABP为直角三角形时， ∠ADC+∠BAD,r=P+x-2,y-R.1的值为4政界(3)①当AB=BP时4=5：©当 :EH⊥AB,.∠AHE=90°，.∠AEH+AB=AP时，BP=2BC=16cm,t=8:③当BP= 《51 AP时，AP=BP=2tcm,CP=|2t-8|cm,AC= 6cm,在Rt△ACP中，由勾股定理得AP2=AC+ 面积S:=c2+2×2h=c2+ab.(2)由S=S:,得 a*+btab=c*+ab,..a*+b2=c. Cp,即(2)=6+(2：-8，解得1-综上所述， 3.(1)证明：S4E方期=(b-a)2=b2-2ab十a2, 当△ABP为等腹三角形时！的值为5或8或号。 SE为8=c-4X2ab=c-2ab,六b-2ab+a2= 3.(1)CE⊥BD且CE=BD.理由如下：c2-2ab.∴a+b=c,(2)由题意得.HG+GF= :∠BAC=∠DAE=90°，∴.∠BAD=90°- 年×24=6.设GF=x,则HG=6-x,OG=3+x.在 ∠DAC,∠CAE=90°-∠DAC,∴，∠BAD= Rt△HOG中，由勾股定理得OH2+OG2=GH2,即 (AB=AC. ∠CAE.在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAE, 3+(3+x)=(6-x).解得x=1.5=2×3× AD=AE. (3十1)×4=24.(3)6解析：设正方形EFGH的 ∴.△ABD≌△ACE(SAS),.∠ACE=∠B,CE 面积为x,每个直角三角形的面积为y,则S,=8y十 BD.∠ACB+∠B=180°-∠BAC=180°-90°= x,S:=4y+x,S=x.S1+Sg+S:=18,12y+ 90°，∴·∠ECB=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B= 3xr-18,.4y+x-=6,即S:=6. 90°，即CE⊥BD.(2)证明：如图，把△ACE绕点A 练习18勾股定理的逆定理 顺时针旋转90°得到△ABG,连接DG,则△ABG≌ 1.6解析：如图，延长AD至点E,使DE= △ACE,∴.AG=AE,BG=CE,∠ABG=∠ACE, AD,连接BE.,AD是边BC上的中线，，BD=CD. ∠BAG=∠CAE.:∠DAE=45,∴.∠BADH CD=BD, ∠CAE=45°，∴.∠BAD+∠BAG=45°，∴.∠DAG= 在△ACD和△EBD 中 ∠CDA=∠BDE. 45°，.∠DAG=∠DAE.在△ADG和△ADE中， AD=ED. (AG=AE. ∴.△ACD≌△EBD(SAS),∴.BE=CA=5, ∠DAG=∠DAE,∴.△ADG≌△ADE(SAS), .S△MD=S△EBD,.S△We=S△AE,在△ABE中， AD=AD. AB=3,AE=2AD=2X2=4,BE=5,.AB2+ .DG=DE.:∠GBD=∠ABG+∠ABC=∠ACE+ AE=BE,.△ABE是直角三角形，且∠BAE= ∠ABC=90°，.BD+BG=DG,即BD+CE= DE2. 90,Sam=Sam-号AB,AE-7×8X4=6 练习17勾股定理的证明 2.(1)3、4、56、8、10解析：当k=4时，这一 1.75解析：设正方形MNKT的面积为x,每 组勾股数是3、4、5：当k=6时，这一组勾股数是6、8、 个直角三角形的面积为y,则S1=8y+x,S:=4y十 10:当k=8时，这一组勾股数是8、15、17.以上三组 x,S3=x,∴.S1+S:十S3=12y+3.x=3(4y十x)= 勾股数写出两组即可.(2)当k是大于2的偶数时， 3S2.S:=52=25,∴.S1+S2+S1=3×25=75. 2.(1)根据题意，得图1中空白部分的面积S,= +[2)-]-[(位)'+证明：左边 a2+6+2×2b=a2+6+ah,图2中空白部分的k+(仔k-1)=+6k+1-名=后k 52》