提分练习9 线段与角的轴对称性(2)-练习12 等腰三角形的轴对称性(2)-【课时提优计划作业本】2024-2025学年八年级数学上册（苏科版）

八年级上 练习9 线段与角的轴对称性(2) 考查范围:角平分线的性质与判定 1. 如图,ABC、ACE的平分线BP、CP交于点P,PFBD,PG1BE 垂足分别为F、G.现有下列结论:①SAsr:Sncp=AB:BC; ② APB十 ACP-90*;③ ABC+2 APC=180*,其中正确的有 ( ) A.0个 B.1个 CGE C.2个 D.3个 2. 如图,射线OP在 AOB内部,已知 PAO十 PBO=180*,PA=PB,问:OP是 AOB 的平分线吗?如果是,请证明:如果不是,请说明理由 3. 如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,AOB=COD=36*}连接 AC、BD交于点M,连接OM (1)求证,AC-BD (2)求证,MO平分AMD. 《9 提分练习 练习10 线段与角的轴对称性(3) 考查范围:三角形的内角平分线的性质 1.已知八ABC是三边都不相等的三角形,P是三个内角平分线的交点:C 是三边垂直平分线的交点,当P.O同时在不等边三角形ABC的内部 时,那么BOC和BPC的数量关系是;BOC= 2. 如图,在△ABC中,BAC一120{*},AD、BE均为△ABC的角平分线,连接DE.求证:点E 到DA、DC的距离相等. 3.如图,在△ABC中,ABC的平分线与△ABC的外角ACN的平分线相交于点P,连 接AP. (1)求证:AP平分△ABC的外角CAM. (2)过点C作CE1AP,垂足为E,并延长CE交BM于点D.求证:CE一ED ) 八年级上 练习11 等腰三角形的轴对称性(1) 考查范围:等腰三角形的性质 1. 如图,设 BAC一0(0{}<0<90}).现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在 射线AB、AC上.从点A.开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中AA。为第一根小棒,且 AA-AA. (1)小棒能无限摆下去吗?答: (填“能”或“不能”). (2)若已经摆放了3根小棒,则0三 (用含9的式子表示,后两空同),0。一 (3)若只能摆放4根小棒,求0的取值范围 2. 如图,在△ABC中,ABC的平分线交边AC于点D,AE1BC于点E,ABC=60* C-45*,求证:AB-BD 3.在△ABC中,D、E是边BC上的两点,且BA=BD,CA=CE,连接AD、AE (1)如图1,若 B-40。,C-60*,求 DAE的度数 (3)若 DAE-45*,则 BAC二 图1 图2 《11 提分练习 练习12 等腰三角形的轴对称性(2) 考查范围:等腰三角形的性质与判定 1. 如图,在四边形ABDC中,AC=DC=3,BD垂直 BAC的平分线于点D,E为AC的中 ,_ 点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ) A. 3 B.3 2 D.9 D (第1题) (第2题) 2. 如图,在△ABC中,CAB=CBA=48{*},O为△ABC内一点,{OAB=12^*,OBC= 18{,则ACO十 AOB一 ) B.195 C.200* A.190 D.210* 3. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形,那么这种分割叫作等腰分割,这条线 段称为这个三角形的等腰分割线.如图1,当△ABD和△ACD为等腰三角形时,AD为 △ABC的等腰分割线 (1)如图2,△ABC中,B-2C,线段AC的垂直平分线ED交AC于点D,交BC于点 E.求证:AE是△ABC的一条等腰分割线 (2)在△ABC中,AD为△ABC的等腰分割线,AD=BD,C三30{},请你画出所有可能的 图形并求出B的度数 图1 图2 12AE=10.(2)点O在边BC的垂直平分线上.理由 (2BC·PG)=AB:BC,故①正确：如图，过点P作 如下：如图，连接OA,OB、OC.l1,l2分别是AB AC的垂直平分线，∴.OA=OB,(OC=OA,∴.OB= PH⊥AC于点H,:CP平分∠ACE,.PH=PG, OC,∴点O在边BC的垂直平分线上， ∴.PF=PH,∴AP平分∠CAF.:BP平分∠ABC, ∴.∠CAF=∠ABC+∠ACB=2∠PAF,∠PAF= 2∠ABC+∠APB,∴.∠ACB=2∠APB.'∠ACB+ ∠ACE=180,2∠ACB+号∠ACE=∠APB+ ∠ACP=90°，故②正确：：PF⊥AB,PG⊥BC, 3.(1)AB=PB解析：如图1，连接BQ.:BC ∴.∠ABC+90°+∠FPG+90°=360°，.∠ABC+ 垂直平分OQ,.BO=BQ,.∠BOQ=∠BQO ∠FPG=180°.在Rt△PAF和Rt△PAH中， :OF平分∠MON,.∠AOB=∠BOQ=∠BQO. ,OA=PQ,∴.△AOB≌△PQB(SAS),∴.AB=PB. PF=PH,R△PAF≌R:△PAH（HL PA=PA. (2)存在.证明如下：如图2，连接BQ.,BC垂直平分 ∴∠APF=∠APH,同理，Rt△PCH≌Rt△PCG OQ,∴.BQ=BO,∴.∠BOQ=∠BQO.:OF平分(HL),∴.∠CPH=∠CPG,∴.∠FPG=∠APF+ ∠MON,∠BOQ=∠FON,.∠AOF=∠FON= ∠APH+∠CPH+∠CPG=2∠APH+2∠CPH= ∠BOQ=∠BQC,.180°-∠BQO=180°-∠AOF, 2∠APC,.∠ABC+2∠APC=180°，故③正确.综上 即∠BQP=∠BOA.又OA=PQ,∴.△AOB≌ 所述，正确的有3个 △PQB(SAS),.AB=PB. M F B CGE ■ 2.OP是∠AOB的平分线.证明如下：如图，过 P C O N 点P分别作PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,则 图1 ∠PCA=∠PDB=90°..∠PAO+∠PBO=180°， 少 ∠PAO+∠PAC=180°，.∠PBO=∠PAC,即 A ∠PBD-∠PAC.在△PCA和△PDB中， ∠PCA=∠PDB, O ∠PAC=∠PBD,.△PCA≌△PDB(AAS), PA=PB. ∴.PC=PD.PC⊥OA,PD⊥OB,∴.OP是∠AOB 图2 的平分线。 练习9线段与角的轴对称性(2) 1.D解析：，BP平分∠ABC,PF⊥BD,PG⊥ BEPF=PG,SAm:Sam=(分AB·PF): DB 46》 3.证明：(1)∠AOB=∠COD,.∠AOB+ 2.证明：如图，过点E分别作EH⊥BA交BA ∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在 的延长线于点H,EF⊥BC于点F,EG⊥AD于点 OA=OB, G.,AD平分∠BAC,∠BAC=120°，.∠BAD= △OAC和△OBD中，{∠AOC=∠BOD,∴.△OAC≌ OC=OD. ∠CAD=号∠BAC=号×120=60，∠CAH- △OBD(SAS),∴.AC=BD.(2)如图，过点O分别 180°-∠BAC=180°-120°=60°，.∠CAH= 作OE⊥AC于点E,OF⊥BD于点F,则∠AEO ∠CAD,即AE平分∠HAD.:EH⊥AH,EG⊥ ∠BFO=90°.由(1)得，△OAC≌△OBD,∴.∠OAC= AG,∴.EH=EG.,BE平分∠ABC,EH⊥AB, [∠AEO=∠BFO, EF⊥BC,∴EH=EF,∴EF=EG,点E到DA、 ∠OBD.在△OAE和△OBF中，{∠OAC=∠OBD, DC的距离相等。 OA=OB, ∴.△OAE≌△OBF(AAS),.OE=OF.又：OE⊥ MA,OFMD,.MO平分∠AMD 3.证明：(1)如图，过点P分别作PT⊥BC于点 T,PS⊥AC于点S,PQ⊥BA于点Q.:∠ABC的 平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线相交于点 练习10线段与角的轴对称性(3) P,.PQ=PT,PS=PT,.PQ=PS,.AP平分 L.4∠BPC-360°解析：，BP平分∠ABC, ∠DAC,即AP平分△ABC的外角∠CAM. 1 CP平分∠ACB,·∠PBC=2∠ABC,∠PCB 2∠ACB,·∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)= 180-(3∠ABC+2∠ACB）=18O-(∠ABC+ ∠ACB)=180-180°-∠BAC)=90+7∠BAC. (2),AP平分∠CAM,.∠DAE=∠CAE.,CE⊥ 即∠BAC=2∠BPC-180°.如图，连接AO.,O是这 AP,∴.∠AED=∠AEC=90°，在△AED和△AEC 个三角形三边垂直平分线的交点，.OA=OB=OC, 「∠DAE=∠CAE, .∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∠OBC= 中，AE=AE, .△AED≌△AEC(ASA), ∠OCB,.∠AOB=180°-2∠OAB,∠AOC= ∠AED=∠AEC, 180°-2∠OAC,∴.∠BOC=360°-（∠AOB+ ∴.CE=ED ∠AOC)=360°-(180°-2∠OAB+180° 2∠OAC)=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC= 练习11等腰三角形的轴对称性(1) 2(2∠BPC-180)=4∠BPC-360°. 1.(1)不能(2)293040解析：：小木棒 长度都相等，∴.∠BAC=∠AA:A1,∠A:A1A:= ∠A,A1A1,∠A1A:A,=∠AA,A2.由三角形外角 的性质得，01=20,02=39.0=40.(3)，只能摆放 140<90°， 4根小木棒， 解得18°≤0<22.5°. 150≥90°， 《47 2.证明：BD平分∠ABC,∠ABC=60°， 大，最大值为2×3×3= 2 ∠DBC=2∠ABC=2×60=30.又：∠C 45°，∴.∠ADB=∠DBC+∠C=30°+45°=75. :∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-60°-45°= 75°，.∠BAC=∠ADB,∴.AB=BD 3.(1):BA=BD,∠B=40°，∴.∠BAD= 2.D解析：如图，过点C作CD⊥AB,垂足为 ∠BDA=180-∠B)=×180-40)=70. D,延长BO交CD于点P,连接AP.,∠OBC= 18°，∠CBA=48°，∴.∠PBA=∠CBA-∠OBC= CA=CE,∠C=60°，∴.△AEC是等边三角形， 48°-18°=30°..∠CAB=∠CBA=48°，∴.CA=CB. ∴.∠AEC=∠EAC=60°.，∠AEC=∠B+ CD⊥AB,∴CD是AB的垂直平分线，∴PA=PB, ∠BAE,∴∠BAE=∠AEC-∠B=60°-40°=20°， ∴.∠PAB=∠PBA=30°，.∠CAP=∠CAB ∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=70°-20°=50°. ∠PAB=48-30°=18.，∠AOP是△AOB的一个外 (2)证明：：BA=BD,CA=CE,.∠BAD= 角，∴.∠AOP=∠OAB+∠OBA=12°+30°=42. ∠BDA=号(18O-∠B),∠AEC=∠EAC= ∠CDA=90°，.∠ACD=90°-∠CAD=90°-48°= 42°，∴.∠AOP=∠ACD.∠PAB=30°，∠OAB 2I8O-∠C.:∠BAD+∠EAC-∠BAC+ 12°，.∠OAP=∠PAB-∠OAB=30°-12°=18° ∠DAE,∴.∠DAE=∠BAD+∠EAC-∠BAC= ∴.∠CAP=∠OAP.AP=AP,.△ACP≌ 180-2(∠B+∠C)-∠BAC=180 2(180° △AOP(AAS),∴.AC=AO.∠CAO=∠CAP+ ∠OAP=36°，∴.∠ACO=∠AOC=72°.∠AOB= ∠BAC)-∠BAC=90-号∠BAC=90° 1 2, 180°-∠OAB-∠OBA=138°，.∠ACO+ ∠AOB=210°. （3)90°解析：由(2)可知，∠DAE=90°-2∠BAC, ∴.∠BAC=180°-2∠DAE=180°-2×45°=90°. 练习12等腰三角形的轴对称性(2) B 1.C解析：如图，延长BD交AC的延长线于点 3.(1)证明：，DE是线段AC的垂直平分线， H,设AD交BE于点O.:AD⊥BH,∴.∠ADB= ∴.EA=EC,即△EAC是等腰三角形，.∠EAC= ∠ADH=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+ ∠C,.∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C.又，∠B= ∠HAD=90°.AD平分∠BAC,.∠BAD= 2∠C,∴∠AEB=∠B.∴.AB=AE,即△EAB是等 ∠HAD,.∠ABD=∠H,∴AB=AH,∴BD= 腰三角形，∴AE是△ABC是一条等腰分割线 DH.DC=AC,.∠CDA=∠CAD.:∠CAD+ (2),线段AD为△ABC的等腰分割线，∴△ABD ∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，.∠CDH= 和△ACD都是等腰三角形.①如图1，AD=CD= ∠H,.CH=CD=AC,:E为AC的中点，∴AE= BD,.∠CAD=∠C=30°，.∠ADB=∠C+ EC.mSm ∠CAD=30°+30°=60°，又，AD=BD,.∠B= .SaBD-S△ME=S△ADB-S△ABE=S△AoH ∠BAD=2180-∠ADB)=号×(180-60) SamH=S△D.:AC=DC=3,.当DC⊥AC时，60°：②如图2，AD=BD=AC,:AD=AC, △ACD的面积最大，即两个阴影部分的面积之差最∴.∠ADC=∠C=30°，又：AD=BD,.∠B= 48》 ∠DAB,:∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B, (PA=PE, ∴∠B=号∠ADC=号×30=15：③如图3，AD ∠EPC,在△OPA和△CPE中，{∠APO=∠EPC, OP=CP. BD,AC=CD,.∠B=∠BAD,∠CAD= .△OPA≌△CPE(SAS),.AO=EC,.AB= ∠ADc-2180°-∠C)=7×(180°-309=75， AC=AE+EC-AP+AO,故④正确.综上所述，正 确的有①③④. 又·∠ADC=∠B+∠BAD,∴.∠B= 2∠ADC= ×75=37.5,综上所述，∠B的度数为60或15或 1 B D 37.5°. 图1 图2 2.(1)△ABC为等边三角形，∴.∠B=60°， ,∴.∠APC=∠BAP+∠B=20°+60°=80°.又 AP=AQ,∴∠AQB=∠APC=80.(2)①补全 图2 图形如图所示。 图3 B C 练习13等腰三角形的轴对称性(3) ②证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H.:△ABC 1,A解析：如图1，连接OB,AB=AC,AD⊥ 为等边三角形，.∠BAC=∠B=∠C=60°.，AP= BCBD=CD,∠BAD=∠CAD-2∠BAC-X AQ,.∠APQ=∠AQP,.∠APQ-∠B= ∠AQP-∠C,即∠PAB=∠QAC.,点Q、M关于 120°=60°，∴.OB=OC,∠ABD=90°-∠BAD= 直线AC对称，.∠MAC=∠QAC,AM=AQ, 90°-60°=30°.OP=OC,∴.OB=OC=OP, ∴.∠PAB=∠MAC,AP=AM,∴.∠PAM= .∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,∴.∠APO+ ∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=∠BAC= ∠DCO=∠ABO十∠DBO=∠ABD=30°，故①正60.：AP=AM,∴.△APM为等边三角形， 确：由①知，∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO, ∴.PA=PM. O是线段AD上一点，.∠ABO与∠DBO不一定 3.(1)证明：：∠ACB=90°，∠A=30°， 相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确： ∠ABC=60,BC=号AB.:BD平分∠ABC. :∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴.∠APC+ ∠DCP=150°，∠APO+∠DCO=30°， ∴∠DBA-=∠ABC=30,:∠DBA=∠A, .∠OPC+∠OCP=120°，.∠POC=180°- (∠OPC+∠OCP)=60°.，OP=OC,.△OPC是 DA=DB,又：DE⊥AB,AE=BE= 2AB. 等边三角形，故③正确：如图2，在AC上截取AE=∴.BC=BE.又：∠EBC=60°，∴，△EBC是等边三 PA,连接PE,,∠PAE=180°-∠BAC=180°- 角形.(2)补全图形如图1所示，AD=DG+MD.理 120°=60°，∴.△APE是等边三角形，∴.∠PEA=由如下：如图1，延长ED至点W,使得DW=MD, ∠APE=60°，PE=PA,∴.∠APO+∠OPE=60°，连接MW.由题意得，∠ADE=∠BDE=60°，AD= 又：∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，.∠APO=BD.:MD=DW,∠MDW=∠ADE=60°， 《49