3.3 勾股定理的简单应用-【课时提优计划作业本】2024-2025学年八年级数学上册（苏科版）

第3章勾股定理 3.3勾股定理的简单应用 课堂演练 1.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离 旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计） () A.10m B.6 m C.15m D.17m 2m 坐 (第1题) (第2题) (第3题》 2.如图，有两棵树，一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一 棵树的树梢，小鸟至少需飞行 () A.8 m B.10m C.12m D.14m 3.如图，有一个透明的圆柱状的玻璃杯，测得其内径CD=6cm,高BC=8cm,现有一支长 12cm的吸管随意放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最小 为 cm,最大为 cm. 4.如图，长7.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端4.5m. (1)求梯子的顶端到地面的距离. (2)由于地面有水，梯子底部向右滑动1.5m,则梯子顶端向下滑动多少米？ -4.5 5.如图，点A处的居民楼与马路相距14m,当居民楼与马路上行驶的汽车距离小于50m时就 会受到噪声污染，若汽车以15m/s的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的 噪声污染？ -D 马路 65 课时提优计划作业本数学八年级上>》》园 课后拓展 6.如图，小巷左右两侧是竖起的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7m,顶端距离地面2.4m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地 面2m,那么小巷的宽度为 ( A.0.7m B.1.5m C.2.2m D.2.4m D (第6题) (第7题) (第8题) (第9题) 7.如图，在笔直的公路AB旁有一个城市书房C,C到公路AB的距离CD为80m,AC为 100m,BC为300m.一辆公交车以3m/s的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声 会使以公交车为中心170m范围内受到噪音影响，那么公交车至少 s不鸣笛才能使 在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响. 8.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB=90°，AC BC,从三角板的刻度可知AB=20cm,小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方（每块砖的 厚度相等)为 cm2. 9.如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4、5、2，蚂蚁从点A出发沿长方体的表面爬 行到M的最短路程的平方是 10.如图，某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉的距离长为250m.现要为喷泉铺设供水管道AM、 BM,供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m,BM的长为150m. (1)求供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长， (2)求喷泉B到小路AC的最短距离. 11.如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为 AA1=2km,BB:=4km,A:B,=8km.现要在高速公路上A:B1之间设一个出口P,使A、 B两个村庄到P的距离之和最小，则这个最小距离之和是多少千米？ M A B N 66》不是勾股数，故B选项不符合题意：3+4=5，是勾股数，故∠PBA=45 c选项符合感意()'+（付）（付）广，不是匀股数故D 选项不符合题意.2B解析：：AC2-BC=AB, ∴.AC2=BC+AB,.∠B=90.3.D解析：由a2=1 b=2,c=3,得a2+b=c',根据勾股定理的逆定理可判断10.(1)证明：：CD=16cm,BD=12cm,BC=20cm,16+ △ABC为直角三角形，故A选项不符合题意：由41b:c=12=400=20,∴.CD+BD=BC,.∠BDC=90°， 3:4:5,可设a=3.x,b=4x,c=5x(x≠0)，可得a2+b3=.CD⊥AB.(2)设△ABC的腰长为xcm,则AD=(x c,根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故B12)cm.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC=AD2十CD', 选项不符合题意：由∠A十∠B=∠C,根据三角形内角和定 理可以计算出∠C=90°，可判断△ABC为直角三角形，故C 2=(G-12)2+16,解得r=9,即△ABC的腰长为 选项不符合题意：由∠A￥∠B:∠C=3:4:5,根据三角形 3cm.1.(1)能，理由如下：当m=2,n=1时，a=5,b=4, 内角和定理可以计算出∠A=45,∠B=60°，∠C=75,可判 断△ABC不是直角三角形，故D选项符合题意。4.6.5解C一8，：3+4=5，a,b:c的值能为直角三角形三边的长. 析：，AC=5cm,BC=12cm,AB=13em,,.AC十BC2= (2)m2+n22mnm-n(3)是.理由如下：a°= (m2十n)2=m1十2m2n2十a,b2=(2mm)2=4m2n2,e1= AB∠C=90,斜边AB上的中线长为AB=号 (m2-n2)2=m一2m2n2+n,.b2十c2=1n°-2m°n2十 13=6.5(cm).5.25或7解析：设第三边长为x,则x2=n十4m'n2=m十2m'n十n,.a=b十c2,∴.以a,b、c为 3+或4=x2+3,*=25或x2=7.6.等腰直角解边长的三角形一定为直角三角形. 析：由题意得，4一b=0且a2十b一c2=0,则a=b且43十 3.3勾股定理的简单应用 b2=c2,∴△ABC是等腰直角三角形.7.(1)在Rt△BCD 课堂演练 中，∠C=90°，BC=3,CD=4,.BD=5,在△ABD中，AD2= 1,D解析：如图，过点C作CE⊥AB于点E,根据题意得， 132,AB+BD=12+5,.AD=AB+BD,∴.△ABD AC=AB,CE=BD=8m,CD=2m.设旗杆高xm,则AE= 是直角三角形，.∠ABD=90.(2)如图，连接AC.∠B= (r一2)m,AC=xm.在Rt△AEC中，由勾殷定理得AE2十 90°，.∴.AC2=BA2+BC2=202+152=625.,DA2+CD2= CE=AC2,即(x一2)2十8=x2,解得x=17,∴.旗杆的高度 24+7=625,.AC=DA2+DC,.△ADC是直角三角 为17m 形，∠D=90.Sm=SA十Sam=号AB·BC十 2AD.CD=×20×15+7×24X7=234. B B D (第1题) (第2题) 2.B解析：如图，过点C作CE⊥AB于点E.根据题意得 AB=10 m:CD=4 m.BD=8 m..'.CE=BD=8 m:BE= CD=4m,.AE=AB一BE=10一4=6(m),在Rt△AEC中 D 由勾股定理得AC=√AE+CE=√6+8=10(m).∴.小 课后拓展 8.C解析：：7不能表示为两个正整数的平方和7不是广 鸟至少需飞行10m,3.24解析：当吸管垂直于底面放置 时，露出杯口外的长度最大，为12一8=4(cm),当吸管底端与 义勾股数，故①正确：：13=2十3，∴.13是广义勾股数，故② D重合，另一瑞靠在B处，即如题图放置时，BD最长，露出杯 正确：两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10 口外的长度最小，连接CD,在R:△BCD中，由勾股定理得 是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③错误：两 个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义BD=√BC+CD=√8十6=10(m),∴吸管露在外面的 勾股数，但2×2=4,4不是广义勾股数，故④错误.综上所述，长度为12-10=2(cm.4.(1)如图，在R△ABC中，由勾 正确的是①②.9.45解析：如图，延长AP交格点于D,连股定理得AC2=AB一BC,:AB=7,5m,BC=4.5m, 接BD,侧PD=BD=1+2=5,PB=1+3=10,.AC=√AB-BC=√7.5-4.5=6(m).答：梯子的顶端 ∴.PD2+DB=PB,∠PDB=90,.∠DPB=∠PAB+到地面的距离为6m 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·24 2x cm.CE=AD=3x cm...BF DE=CD+CE=2x+ 3x5(cm).DF BE2r cm...AF AD-DF 3x- 2x=x(cm).在Rt△AFB中，由勾股定理得BF2十AF:= 7.5 AB,即65x户十-20-，即商墙砖块的厚度的平 方为贺m,又61解折：如图1.AN=AB十BN C—4.5+BF 4+(5+2)2=65:如图2，AM2=AC+CM=(4+5)2+ (2)如图，由题意得BF=1.5m,∴.CF=BC+BF=4.5十22=85：如图3，AM=5+(2+4)=61.综上可知，蚂蚁从点 1,5=6(m),∴.由勾股定理得CE=√EF-C= A出发沿长方体的表而爬行到M的最短路程的平方是61. √7.5-6=L.5(m)..AE=AC-CE=6-4.5=1.5(m). 答：梯子顶端向下滑动15m.5.如图，连接AE、AF根据题 意可知，AB=14m,AE=50m,∠ABE=90°，△AEF是等稷 三角形，∴，EF=2BE,在直角△ABE中，由勾股定理得BE= √/AE-AB=√50-14=48(m),∴.EF=2BE=96m, 放会给这栋居民楼带来噪声污染的时长为t=96÷15= 64(s).答：会给这栋居民楼带来6.4s的噪声污染. 图】 图2 E 马路 课后拓展 6.C解析：如图，由题意可知，BC=0.7m,DE=2m,AB= 2.4m,AC=CE.在R△ABC中，由勾股定理得AC= BC十AB=0,7+2.4=2.5(m).在R1△CDE中，由勾 图3 股定理得CD=√CE-DE=√2.5-2=1,5(m),10.(1)在R△MNB中，由勾股定理得BN=√BM-MN= .BD=BC+CD=0,7+1.5=2.2(m),∴.小巷的宽为2.2m √/150-120=90(m),.AN=AB-BN=250-90=160(m). 白 B 在Rt△ANM中，由勾股定理得AM=√AN+MN= √/1602+1202=200(m),.AM+BM=200+150=350(m). 答：供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长为350m, (2),AB=250m,AM-200m,BM=150m,250-200+ (第6题) (第7题) 150,∴.AB=BMP十AMP,,.△ABM是直角三角形， 7.70解析：如图，由题意可知，CE=170m.:∠CDE=90°， .BM⊥AC,,BM的长度即为喷泉B到小路AC的最短距 CD=80m,·由勾股定理得DE=√CE-CD=离，为150m答：喷泉B到小路AC的最短距离为150m √170-80=150(m).又：CD=80m,AC=100m,由勾1L.如图，作点B关于MN的对称点B',连接AB'交A:B,于 股定理得AD=√AC-CD=√/100-80=60(m), 点P,则B'B,=BB1,AP+BP=AP+B'P=AB',.P即为 ,,AE=AD+DE=60+150=210(m),.t=210÷3=70(s), 到A,B距离之和最小的点，过点A作AE⊥BB'于点E,则 即公交车至少0s不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者 BE=AA.AE=A B=8 km...B'E=BE+B'B= AA,十BB,=2十4=6(km).在R1△AEB'中，由勾股定理得 不受鸡简出影有。8智 解析：过点B作BF⊥AD于点AB'=√AE+EBT=√8+6=10(km).·这个最小距离 F设砌墙砖块的厚度为xcm,则BE=2rcm,AD=3rcm. 之和是10km. ∠ACB=90°，∴.∠ACD+∠ECB=90.∠ECB+∠CBE= 90°，∴.∠ACD=∠CBE.在△ACD和△CBE中， [∠ACD=∠CBE, ∠ADC=∠CEB,.△ACD≌△CBE(AAS),.CD=BE= AC=CB. 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·25