3.2 勾股定理的逆定理-【课时提优计划作业本】2024-2025学年八年级数学上册（苏科版）

第3章勾股定理 3.2勾股定理的逆定理 课堂演练 1.(教材练习变式)下列四组数中，是勾股数的是 A.0.3、0.4、0.5 B.3、42、52 111 C.3、4、5 D.345 2.在△ABC中，若AC2一BC2=AB,则 A.∠A=90 B.∠B=90° C.∠C=90 D.∠A=45 3.下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是 ( A.a2=1,b2=2,c2=3 B.a:b:c=3:4:5 C.∠A+∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 4.在△ABC中，若AC=5cm,BC=12cm,AB=13cm,则边AB上的中线长为 cm. 5.给定一个三角形的两边长分别为3、4，当第三边的平方为 时，这个三角形是直角三 角形。 6.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)+(a+b-c2)2=0,则△ABC是 三角形. 7.(1)如图，已知∠C=90°，AB=12,BC=3,CD=4,AD=13,求∠ABD的度数. (2)如图，四边形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.求四边形ABCD 的面积 课后拓展 8.阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a、b的平方和，即m=a2十b,那么称m 为广义勾股数.有下面四个结论：①7不是广义勾股数：②13是广义勾股数：③两个广义勾股 数的和是广义勾股数：④两个广义勾股数的积是广义勾股数其中正确的是 () A.②④ B.①②④ C.①② D.①④ 631 课时提优计划作业本数学八年级上》>) 9.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA= (A、B、P是网格线交点). 10.如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上一点，且CD=16cm,BD 12cm. (1)求证：CD⊥AB. (2)求△ABC的腰长. 11.勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》中就有“勾三股四弦 五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫作“整数直角三 角形”：这三个正整数叫作一组“勾股数”.在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出 了下表： 3 3 4 1 1 2 3 2+1 32+1 32+2 42+3 b 4 6 12 24 2-19 32-19 3-2 42-32 其中m、n为正整数，且m>. (1)观察表格，当m=2,n=1时，对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你 的理由 (2)探究a、b、c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a= ,b= = (3)以a、b、c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由：如果不是，请 举出反例. 64>3,解得BE-空AE=BE- 设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a,b(a>b). 8 根据题图1，得a十b=6.根据题图2，得a一b=2.联立，解得 a=4, .S1=16,S:=4,.S1-S:■12.5.S=c3+2× b=2, 2h2a+b+b)·b士2a+a+b)·a,c2+ab D 1 D 2abtbta'+2ab.c-a+b. 图1 图2 课后拓展 (2)2.5解析：如图2，过点D作DE⊥AB于E.在Rt△ABC 6.B解析：如图，连接BF,,D、E、F分月是BE,CF,AD的 中，由勾股定理得BC=√AB-AC=√厅-3=4中点，dSam时=Sar,5w=Sam小S△Am=S△r十 ∠C-90°，÷DC⊥AC.又：AD平分∠BAC..DE=DC. S△m=2S△w=2S△.根据题意可知，S△Am=S△r= Sae=2AC,BC=号AC·DC+2AB·DE,即号×Sam,5Am=Sar=2Se,Sar=Sam十 3X4=号×3DC+2×5DC.解得DC=1L5,∴BD=BC- SmE+S△Ae+SA0m=7SApr,又：SaAe=14, .S△wF=2. DC=4一1.5=2.5.12.由题意得，AB'=AB=5.,四边形 ABCD是长方形，.BC=AD=3,CD=AB=5,∠D=90°，在 R△ADB'中，由勾殷定理得BD=√AB一AD= √⑤-3=4，∴.B'C=CD-B'D=5-4=1.设CE=x,则 B BE=BE=BC-CE=3-x.在Rt△CEB'中，由勾股定理得7.53解析：'Rt△ABC≌Rt△DEF,.DF=AC=9.EF= B'E=B'C+CE,即(3-王P+之.解得r3BC=5,Sw5a+Sm2X9X9+2X5☒ 4 10 CE=亭13.(D在R△ABC中，由勾股定理得BC=5=53.8 解析：将四边形MVKT的面积设为x,将每 VAB一AC=V5-3=4(cm).(2)由题意得，BP= 个直角三角形的面积设为y.由题意得，S:=8y十x,S:= 1cm.分两种情况.①当∠APB=90时，如图1所示，点P与4十x5,=∴S,+S:+5,=2y+3汝10.∴4y+= 点C重合，BP=BC=4cm,∴t=4÷1=4(s):②当∠BAP= 10 90时，如图2所示，则CP=(4-4)cm,∠ACP=90,在S,=4y+=39证明：(I)AC⊥BD.∠CAD=45, R△ACP中，由勾股定理得AP=AC+CP,在Rt△ABP∴AC=DC,∠ACB=∠DCE=9O.在R△ABC和Rt△DEC 中，由勾股定理得AP=BP一AB,∴AC十CP=BP一 中，AC=DC, ,R△ABC≌Rt△DEC(HI,),,∴.∠BAC= AB,即十1-40-r-5,郁得1-空综上所述，当 AB=DE. ∠EDC,:∠DCE=90°，.∠EDC+∠CED=90°，∠CED= △ABP为直角三角形时1的值为4或票。 ∠AEF,.∠BAC+∠AEF=90°，∠AFE=90,.DF⊥ AB.(2)由(1)知，R1△ABC≌Rt△DEC,∴.EC=BC=a, DC-AC-b.SAN+SA -SAA-SA BC. CP) +C·AC-立AB,F-专An:B,即安4+ 1 图1 图2 5=一·夏 。气—三之2一一一 第2课时勾股定理的证明 DE-2..a+b=. 课堂演练 L.D2.D解析：：SABA十Saw十Sam=Se带D: 3.2勾股定理的逆定理 7b+名+号a6=u+6,化商得e-+ 1 1 课堂演练 1.C解析：0.32十0.42=0.5，能构成直角三角形，但不是整 3.c+2ab(a+b)°=c+2aba+b2=e34.12解析：数，不是勾股数，故A选项不符合题意：(3)2+(1)2≠(5)2， 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·23 不是勾股数，故B选项不符合题意：3+4=5，是勾股数，故∠PBA=45 c选项符合感意()'+（付）（付）广，不是匀股数故D 选项不符合题意.2B解析：：AC2-BC=AB, ∴.AC2=BC+AB,.∠B=90.3.D解析：由a2=1 b=2,c=3,得a2+b=c',根据勾股定理的逆定理可判断10.(1)证明：：CD=16cm,BD=12cm,BC=20cm,16+ △ABC为直角三角形，故A选项不符合题意：由41b:c=12=400=20,∴.CD+BD=BC,.∠BDC=90°， 3:4:5,可设a=3.x,b=4x,c=5x(x≠0)，可得a2+b3=.CD⊥AB.(2)设△ABC的腰长为xcm,则AD=(x c,根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故B12)cm.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC=AD2十CD', 选项不符合题意：由∠A十∠B=∠C,根据三角形内角和定 理可以计算出∠C=90°，可判断△ABC为直角三角形，故C 2=(G-12)2+16,解得r=9,即△ABC的腰长为 选项不符合题意：由∠A￥∠B:∠C=3:4:5,根据三角形 3cm.1.(1)能，理由如下：当m=2,n=1时，a=5,b=4, 内角和定理可以计算出∠A=45,∠B=60°，∠C=75,可判 断△ABC不是直角三角形，故D选项符合题意。4.6.5解C一8，：3+4=5，a,b:c的值能为直角三角形三边的长. 析：，AC=5cm,BC=12cm,AB=13em,,.AC十BC2= (2)m2+n22mnm-n(3)是.理由如下：a°= (m2十n)2=m1十2m2n2十a,b2=(2mm)2=4m2n2,e1= AB∠C=90,斜边AB上的中线长为AB=号 (m2-n2)2=m一2m2n2+n,.b2十c2=1n°-2m°n2十 13=6.5(cm).5.25或7解析：设第三边长为x,则x2=n十4m'n2=m十2m'n十n,.a=b十c2,∴.以a,b、c为 3+或4=x2+3,*=25或x2=7.6.等腰直角解边长的三角形一定为直角三角形. 析：由题意得，4一b=0且a2十b一c2=0,则a=b且43十 3.3勾股定理的简单应用 b2=c2,∴△ABC是等腰直角三角形.7.(1)在Rt△BCD 课堂演练 中，∠C=90°，BC=3,CD=4,.BD=5,在△ABD中，AD2= 1,D解析：如图，过点C作CE⊥AB于点E,根据题意得， 132,AB+BD=12+5,.AD=AB+BD,∴.△ABD AC=AB,CE=BD=8m,CD=2m.设旗杆高xm,则AE= 是直角三角形，.∠ABD=90.(2)如图，连接AC.∠B= (r一2)m,AC=xm.在Rt△AEC中，由勾殷定理得AE2十 90°，.∴.AC2=BA2+BC2=202+152=625.,DA2+CD2= CE=AC2,即(x一2)2十8=x2,解得x=17,∴.旗杆的高度 24+7=625,.AC=DA2+DC,.△ADC是直角三角 为17m 形，∠D=90.Sm=SA十Sam=号AB·BC十 2AD.CD=×20×15+7×24X7=234. B B D (第1题) (第2题) 2.B解析：如图，过点C作CE⊥AB于点E.根据题意得 AB=10 m:CD=4 m.BD=8 m..'.CE=BD=8 m:BE= CD=4m,.AE=AB一BE=10一4=6(m),在Rt△AEC中 D 由勾股定理得AC=√AE+CE=√6+8=10(m).∴.小 课后拓展 8.C解析：：7不能表示为两个正整数的平方和7不是广 鸟至少需飞行10m,3.24解析：当吸管垂直于底面放置 时，露出杯口外的长度最大，为12一8=4(cm),当吸管底端与 义勾股数，故①正确：：13=2十3，∴.13是广义勾股数，故② D重合，另一瑞靠在B处，即如题图放置时，BD最长，露出杯 正确：两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10 口外的长度最小，连接CD,在R:△BCD中，由勾股定理得 是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③错误：两 个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义BD=√BC+CD=√8十6=10(m),∴吸管露在外面的 勾股数，但2×2=4,4不是广义勾股数，故④错误.综上所述，长度为12-10=2(cm.4.(1)如图，在R△ABC中，由勾 正确的是①②.9.45解析：如图，延长AP交格点于D,连股定理得AC2=AB一BC,:AB=7,5m,BC=4.5m, 接BD,侧PD=BD=1+2=5,PB=1+3=10,.AC=√AB-BC=√7.5-4.5=6(m).答：梯子的顶端 ∴.PD2+DB=PB,∠PDB=90,.∠DPB=∠PAB+到地面的距离为6m 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·24