3.1 勾股定理-【课时提优计划作业本】2024-2025学年八年级数学上册（苏科版）

第3章 勾股定理 3.1勾股定理 第1课时勾股定理 课堂演练 1.(教材练习变式)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，三个正方形中的两个面积分别为25和 44,则第三个正方形的面积为 () A.69 B.18 C.19 D.20 (第1题) (第2题) (第6题) 2.如图，在△ABC中，已知AB=AC=5cm,BC=8cm,则边AB上的高为 A.2.4 cm B.3 cm C.4.8 cm D.无法确定 3.已知有一直角三角形的木板，其三边的平方和为1800，则它的斜边长为 A.10 B.20 C.30 D.40 4.在△ABC中，∠C=90° (1)若c=13,b=12,则a= (2)若a:b=3:4,c=10,则a= ,b= 5.在一个直角三角形中，已知一条直角边的长是3cm,斜边上的中线长为2.5cm,则这个直角 三角形的面积为 cm2. 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9,BC=12,则点C到AB的距离CD= 7.如图，在△ABC中，AD⊥BC,交BC于点D,AB=17,AC=10. (1)若CD=6,则AD= .BD= (2)若BC=20,求CD的长. 59 课时提优计划作业本数学八年级上>》》) 课后拓展 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=n2一1，AB=n2+1(n为大于1的正数)，则AC的长为 () A.2n B.2n C.4n D.4n2 9.(202·成都)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心、大于2BC的长 为半径作弧，分别相交于点M、N:②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°，则 AB的长为 D 图1 图2 (第9题) (第10题) (第11题) 10.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形. 若正方形A,B、C、D的面积分别为2,5、1,2，则最大的正方形E的面积是 11.(1)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=4,AB的垂直平分线分别交AB、AC 于点D、E,则AE的长为 (2)如图2，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,AB=5,AC=3,则BD的长是 12.如图，E是长方形ABCD的边BC上一点，AB=5,AD=3.将长方形ABCD沿AE折叠，点 B的对应点为B'.当点B'恰好落在边CD上时，求CE的长 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC 以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts. (1)求边BC的长 (2)当△ABP为直角三角形时，求1的值. 60》 第3章勾股定理 第2课时勾股定理的证明 课堂演练 1.(教材例题变式)我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾股定理的公式 与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”：三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》 内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明.下面四幅图中，不能证明勾股定理 的是 A 2.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边 AE、EB在一条直线上.证明时用到的面积相等的关系是 ( A.S△EA=S△(EB B.S△EDA十S△EH=S△(CDE C,Sg边慧DAE=Sg地每CDEB D.S△EDA十S△cDE十S△cEn=S标形AD b (第2题) (第3题) 3.用直角边长分别为a、b,斜边长为c的四个全等直角三角形拼成如图所示的图形.大正方形 的面积可表示为(a十b)2,还可以表示为 ,于是可列等式为 ,将等式 化简、整理，得 4.将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1、图2），边长分别为6和2.若以一个直角三角 形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1、S2,则S1一S2= 2 图1 图2 图3 5.三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》中用割补的方法构造 了“弦图”（如图1），并给出了勾股定理的证明.已知图2中涂色部分是直角边长分别为a、b, 斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理， 图1 《6 课时提优计划作业本数学八年级上》》》》 课后拓展 6.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (如图1)，某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF 围成的△DEF也是等边三角形.已知D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面 积为14，则△DEF的面积是 图1 图2 A.1 B.2 C.3 D.4 7.到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂的方法叫作“常春证法”，两 个直角三角形如图摆放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF,点F落在AC上，点C与点E重合，斜 边AB与斜边CD交于点M,连接AD、BD.若AC=9,BC=5,则四边形ACBD的面积为 C(E) (第7题) (第8题) 8.如图，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD、正方形E℉GH、 正方形MNKT的面积分别为S1,S,Sa,已知S1十S:十Sa=10,则S:的值是 9.如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C,E为AC上一点，连接BE、DE,DE的延长线交AB 于点F,已知DE=AB,∠CAD=45, (1)求证：DF⊥AB (2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC= a,AC=b,AB=e.求证：a2十b2=c. 62180°-∠B一∠ADB=180°-20°-45=115.综上所述，当定理，得a2+b=c2,即(3.x)+(4x)F=10,解得x=2(负值 B'D⊥BC时，∠BAD的度数为25或115. 含去)，a=6,b=8.5.6解析：：直角三角形斜边上的中 线长为2.5cm,.斜边长为2×2.5=5(cm).:一条直角边的 长为3cm,∴.根据勾股定理可得另一条直角边的长为4cm, ∴这个直角三角形的面积为号×3X4=6(cm).6爱解 析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，.AC+BC=AB. BC=12,AC=9,.AB=AC+BC=92+122=225, 图1 图2 9.(1)如图，线段A,B,即为所求.(2)如图，线段A,B,即为 六AB=15C真值合去.Sem=7AC·BC= AB·CD. 所求.(3)如图，点M、N及直线MN即为所求. 六CD=C-X2-9五185是折 AB 15 AD⊥BC,.∠ADB=∠AIDC=90°.AB=17,AC=10, CD=6..AD=AC-CD=10-6=8...BD= √AB-AD=√17-8=15.(2)设CD=x,则BD= 20-x.AC-CD:AD,AB:-BD =AD*,:.AC:- CD=AB2-BD,即102一x2=17-(20-x)2.解得r 211 I0.证明：BD是等边三角形ABC的中线，.BD⊥AC, 40CD-21 40 ∠ACB=60,∴∠DBC=30.BD=DE,.∠E=∠DBC=课后拓展 30°.：∠CDE+∠E=∠ACB=60°，∴∠CDE=60°-∠E=8.A解析：：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=n-1,AB 60°-30°=30°，.∠E=∠CDE.∴.CD=CE. n2十1(n为大于1的正数)，由勾股定理得AC?十BC2=AB, 第3章 勾股定理 .AC0=AB8-BC2=(n2+1)2-(n2-1)2=(n+1+n2 3.1勾股定理 1)(n十1一n2十1)=4n,.AC=√4n=2n.9.7解析： 如图，设MN交BC于点D,连接EC,由作图可知，MN是线 第1课时勾股定理 段BC的垂直平分线.∴.CE=BE=4,∴.∠ECB=∠B=45. 课堂演练 .∠AEC=∠ECB+∠B=45°+45°=90°，在R△ACE中， 1.C解析：由题意可得，AB=BC+AC,即44=BC2+ 由勾取定理得AE=√AC一CE=√一平=3.·AB 25,∴BC=19,即第三个正方形的面积为19.2.C解析： AE+BE=3+4=7. 如图，过点A作AD⊥BC于点D,过点C作CE⊥BA交BA 的延长线于点E.AB=AC=5cm,BC=8cm,AD⊥BC, ∴.BD=CD=4m,∴.AD=√AB-BD=√5- 3cm.Sae-2BC·AD-专AB·CE.CE- BC·AD_8X3=4.8(cm. AB 5 10.10解析：由题意可得，Sr=S4十Sm十Sc十Sn,.Sx B 2+5+1+2=10.11.9 解析：如图1，连接BE.在 3.C解析：设直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,R△ABC中，由勾股定理得BC=√AB-AC= 由勾股定理，得a+b2=2.:a1+b2+c=1800,.2c2= √-4=3.DE是AB的垂直平分线，AE=BE,AD 1800,即c2=900,c=30(负值舍去).4.(1)5解析：由勾 股定理，得a”+b=c2,∴a2=”一b=132-12=25,∴a= BD=AB=号，则CE=AC-AE=4-BE,在R△CBE 5(负值合去).(2)68解析：设a=3r,则b=4x.由勾股中，由勾股定理得BE=CE”+BC,即BE=(4一BE)十 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·22 3,解得BE-空AE=BE- 设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a,b(a>b). 8 根据题图1，得a十b=6.根据题图2，得a一b=2.联立，解得 a=4, .S1=16,S:=4,.S1-S:■12.5.S=c3+2× b=2, 2h2a+b+b)·b士2a+a+b)·a,c2+ab D 1 D 2abtbta'+2ab.c-a+b. 图1 图2 课后拓展 (2)2.5解析：如图2，过点D作DE⊥AB于E.在Rt△ABC 6.B解析：如图，连接BF,,D、E、F分月是BE,CF,AD的 中，由勾股定理得BC=√AB-AC=√厅-3=4中点，dSam时=Sar,5w=Sam小S△Am=S△r十 ∠C-90°，÷DC⊥AC.又：AD平分∠BAC..DE=DC. S△m=2S△w=2S△.根据题意可知，S△Am=S△r= Sae=2AC,BC=号AC·DC+2AB·DE,即号×Sam,5Am=Sar=2Se,Sar=Sam十 3X4=号×3DC+2×5DC.解得DC=1L5,∴BD=BC- SmE+S△Ae+SA0m=7SApr,又：SaAe=14, .S△wF=2. DC=4一1.5=2.5.12.由题意得，AB'=AB=5.,四边形 ABCD是长方形，.BC=AD=3,CD=AB=5,∠D=90°，在 R△ADB'中，由勾殷定理得BD=√AB一AD= √⑤-3=4，∴.B'C=CD-B'D=5-4=1.设CE=x,则 B BE=BE=BC-CE=3-x.在Rt△CEB'中，由勾股定理得7.53解析：'Rt△ABC≌Rt△DEF,.DF=AC=9.EF= B'E=B'C+CE,即(3-王P+之.解得r3BC=5,Sw5a+Sm2X9X9+2X5☒ 4 10 CE=亭13.(D在R△ABC中，由勾股定理得BC=5=53.8 解析：将四边形MVKT的面积设为x,将每 VAB一AC=V5-3=4(cm).(2)由题意得，BP= 个直角三角形的面积设为y.由题意得，S:=8y十x,S:= 1cm.分两种情况.①当∠APB=90时，如图1所示，点P与4十x5,=∴S,+S:+5,=2y+3汝10.∴4y+= 点C重合，BP=BC=4cm,∴t=4÷1=4(s):②当∠BAP= 10 90时，如图2所示，则CP=(4-4)cm,∠ACP=90,在S,=4y+=39证明：(I)AC⊥BD.∠CAD=45, R△ACP中，由勾股定理得AP=AC+CP,在Rt△ABP∴AC=DC,∠ACB=∠DCE=9O.在R△ABC和Rt△DEC 中，由勾股定理得AP=BP一AB,∴AC十CP=BP一 中，AC=DC, ,R△ABC≌Rt△DEC(HI,),,∴.∠BAC= AB,即十1-40-r-5,郁得1-空综上所述，当 AB=DE. ∠EDC,:∠DCE=90°，.∠EDC+∠CED=90°，∠CED= △ABP为直角三角形时1的值为4或票。 ∠AEF,.∠BAC+∠AEF=90°，∠AFE=90,.DF⊥ AB.(2)由(1)知，R1△ABC≌Rt△DEC,∴.EC=BC=a, DC-AC-b.SAN+SA -SAA-SA BC. CP) +C·AC-立AB,F-专An:B,即安4+ 1 图1 图2 5=一·夏 。气—三之2一一一 第2课时勾股定理的证明 DE-2..a+b=. 课堂演练 L.D2.D解析：：SABA十Saw十Sam=Se带D: 3.2勾股定理的逆定理 7b+名+号a6=u+6,化商得e-+ 1 1 课堂演练 1.C解析：0.32十0.42=0.5，能构成直角三角形，但不是整 3.c+2ab(a+b)°=c+2aba+b2=e34.12解析：数，不是勾股数，故A选项不符合题意：(3)2+(1)2≠(5)2， 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·23