2.4 线段、角的轴对称性-【课时提优计划作业本】2024-2025学年八年级数学上册（苏科版）

课时提优计划作业本数学八年级上》》》 2.4线段、角的轴对称性 第1课时线段垂直平分线的性质 课堂演练 1.(教材练习变式)如图，利用网格线画线段BC的垂直平分线， 2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC= 2,则BC的长是 () A.2 B.4 C.6 D.8 (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足为E,且BE=DE,下列结论不一定成立的是() A.AB=AD B.AC=BD C.CA平分∠BCD D.△BEC≌△DEC 4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6, AC=5,则△ACE的周长为 () A.8 B.11 C.16 D.17 5.如图，在△ABC中，AC=16,边AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若△BCE 的周长为28，则BC的长为 D (第5题) (第6题) 6.如图，线段AC、AB的垂直平分线交于点O,已知OC=2,则OB= 36 第2章轴对称图形 7.如图，MN是线段AD的垂直平分线，BD交MN于点C,点E在MN上，连接AC、AE、BE. 求证：AC+BC<AE+BE, 课后拓展 8.在△ABC中，BC=10,AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E,且DE=4,则AD+ AE的值为 () A.6 B.14 C.6或14 D.8或12 9.(1)如图1，在△ABC中，MP、NQ分别垂直平分边AB、AC,交BC于点P,Q,如果BC= 20,那么△APQ的周长为 图1 图2 (2)如图2，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D,E, AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,连接AE、AG,则∠EAG= 10.如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D,C是BE上一点，BD=DC,且点C在AE的垂直平 分线上，若△ABC的周长为22cm,则DE的长为 cm. 11.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG 于点G,DE⊥DF,交AB于点E,连接EG、EF. (1)求证：BG=CF. (2)请你判断BE十CF与EF的大小关系，并说明理由. 37☑ 课时提优计划作业本数学八年级上》》》 第2课时线段垂直平分线的判定 课堂演练 1.(教材例题变式)如图，D是BC的中点，DE垂直平分AC,垂足为E,F是BA的中点.求证： DF是AB的垂直平分线. 2.(2022·宜昌)如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心、大于)BC的长为半径画弧，两 弧相交于点M、N,作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12, BC=6,则△ABD的周长为 () A.25 B.22 C.19 D.18 D (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，AC=AD,BC=BD,则有 A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB 4.如图，点D在△ABC的边BC上，如果DB=DA,那么点D在线段 的垂直平分线 上；如果BC=BD十AD,那么点D在线段 的垂直平分线上， 5.在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他 们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置在△ABC的() A.三边中线的交点处 B.三条角平分线的交点处 C.三边垂直平分线的交点处 D.三边上高的交，点处 6.已知△ABC(AB<BC),用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图 痕迹). (1)在图1中，在边BC上找一点E,使得AE十EC=BC, (2)在图2中，在边BC上找一点D,使得直线AD平分△ABC的面积. 图 图2 38 第2章轴对称圄形 课后拓展 7.如果一个三角形三边的垂直平分线的交点在这个三角形的边上，那么这个三角形是 ( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 8.如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点（即正 方形的顶点).在这张5×5的方格纸中，找出格点C,使AC=BC,则满足条件 的格点C有 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 9.利用网格线用三角尺画图， (1)在图中找一点O,使得OA=OB=OC (2)在AC上找一点P,使得P到AB、BC的距离相等. (3)在射线BP上找一点Q,使得QA=QC 10.如图，在△ABC中，∠B=∠C,点P,Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB=QC,QB=RC. 求证：点Q在PR的垂直平分线上. 11.如图，在△ABC中，AB=AC,D、E分别是AC、AB上的点，且AD=AE,连接BD、CE交 于点P (1)求证：∠BEC=∠CDB. (2)连接PA,求证：AP所在直线垂直平分BC. 39 课时提优计划作业本数学八年级上》》》 第3课时角平分线的性质与判定 课堂演练 1.(教材练习变式)尺规作图：如图，在四边形ABCD内找一点P,使得点P到AB、BC的距离 相等，并且点P到点A、D的距离也相等（不写作法，保留作图痕迹）. 2.如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB、OA重合，另一边相 A 交于点P,则OP平分∠BOA的依据是 () A.在角的内部，到角两边距离相等的，点在这个角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C.角平分线的性质 D.角平分线是轴对称图形 0 B 3.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点是 A.点M B.点N C.点P D.点Q f (第3题) (第4题) (第5题) 4.(2022·株洲)如图，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC=30),OM⊥AB于点M, ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO的度数为 5.如图，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P且与AB垂直.若点P到 BC的距离是4，则AD的长为 6.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BE=CF. 求证：AD是△ABC的角平分线. 40> 第2章轴对称图形 课后拓展 7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD 于点G.现有下列结论：①AD垂直平分EF;②EF垂直平分AD:③AD平分∠EDF:④四边 形AEDF是轴对称图形.其中错误的有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (第7题) (第8题》 (第9题) 8.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E,△ABC的面积是30cm,AB=8cm, BC=7cm,则DE cm. 9.如图，AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,过点P作PE⊥ AB于点E,若两平行线之间的距离为4，则PE= 10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB于点E,点F在AC上，BD=DF (1)求证：CF=EB. (2)若AB=12,AF=8,求CF的长. 11.如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N,连接MN.若MP平分∠AMN,NP平 分∠MNB. (1)求证：OP平分∠AOB (2)若MN=8,且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度 之和. 4 课时提优计划作业本数学八年级上》>》》 第4课时三角形的内角平分线 课堂演练 L.(教材习题变式)如图，点B、C分别在∠BAC的两边上，D是∠BAC内的一点，DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E、F,且AB=AC,DE=DF.求证：BD=CD. 2.如图，OD平分∠AOB,DE⊥OA于点E,DE=4,点F是射线OB上的任意一点，则DF的 长度不可能是 A.3 B.4 C.5 D.6 (第2题) (第3题) (第4题)》 3.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，使得该油库到三条公路的距离相等，则油库 的可选位置有 () A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 4.如图，在△ABC中，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，则 ∠BOC的度数为 5.如图，有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三角形三边的距离相等，试 找出该点（尺规作图，保留作图痕迹）， 课后拓展 6.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积 分别为50和39，则△EDF的面积为 G A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 42 第2章轴对称图形 7.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC=80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E,连接 AE,则∠CAE的度数为 (第7题) (第8题) (第9题) 8.如图，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D,若PD=5,△ABC的周长 为20，则△ABC的面积为 9.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E,S△A=12.5,AB=6,BC= 4,则DE的长为 10.如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB交AB 于点F,EG⊥AC交AC的延长线于点G,试求BF与CG的大小关系，并证明你的结论 IL.已知P为∠EAF的平分线上一点，PB⊥AE于点B,PC⊥AF于点C,M、N分别是射线 AE、AF上的点，且PM=PN. (1)当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BM=CN. (2)在(1)的条件下，AM+AN AC. (3)当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时（如图2），若AC:PC=2:1, PC=4,求四边形ANPM的面积. 图1 图2 4312.B3.D解析：A,B、C,D四个选项中的小方格的位置如 2.4线段、角的轴对称性 图所示，则A,B,C三个选项中的小方格可以和小方格①，② 第1课时线段垂直平分线的性质 组成轴对称图形，不符合题意：D选项中的小方格不能和小方 课堂演练 格①、②组成轴对称图形，符合题意， L.如图所示，直线MN即为所求 ① B C ② D 4.3解析：如图所示，将1或2或3所在的三角形涂成黑色 可以构成一个轴对称图形. 2.C解析：：DE是AB的垂直平分线，∴，BE=AE=4, .BC=BE十EC=4+2=6.3.B4.B解析：：DE垂直 平分AB,.AE=BE,.△ACE的周长为AC+CE+AE AC+CE+BE=AC+BC=5+6=1L.5.12解析：：DE是 边AB的垂直平分线，∴AE=BE.:△BCE的周长为28， .BC+CE十BE=28,.BC+CE十AE=BC+AC=28. 5.22解析：：∠BCE=56,∠BCD=90°，∴.∠DCE= AC=16,∴BC=28-16=12.6.2解析：连接OA.线段 ∠BCD-∠BCE=90-56°=34°.又由折叠的性质可知， AC,AB的垂直平分线交于点O,.OA=0C,OA=OB, ∠D'CE=∠DCE=34°，.∠BCD'=∠BCF-∠D'CE= .OB=OC=2.7.证明：连接DE:MN是线段AD的垂直 56°-34°=22 平分线，，AC=DC,AE=DE,.BD=DC+BC=AC+BC. 课后拓展 在△BDE中，BD<DE+BE,∴.AC+BC<AE+BE. 6.如图所示，答案不唯一， 课后拓展 8.C解析：AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点D、 E,∴.AD=BD,AE=CE.分两种情况：如图1，当BD与CE 无重合时，BC=1O,DE=4,,,AD十AE=BD十CE= BC一DE=10-4=6:如图2，当BD与CE有重合时，，BC= 7.如图所示， 10.DE=4...AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14. 综上所述，AD十AE的值为6或14. 8.如图所示，答案不唯一， E D 图1 图2 9.(1)20解析：：MP和NQ分别为AB.AC的垂直平分线， .AP=BP,AQ=CQ,.△APQ的周长为AP+PQ十AQ= BP+PQ+CQ=BC=20.(2)40解析：'DE垂直平分 方案1 方案2 AB,∴EA=EB,.∠EAB=∠B=50.同理∠GAC=∠C= 9.(1)如题图1，：AD∥BC,∠EFC=∠AEF=150,由折 20°，∴∠G4C+∠EAB=20°+50°=70°.∠B=50°，∠C= 叠的性质可得题图2中∠EFC=150°.(2)EF⊥FC.理由如 120°，，∠B1C=180°-∠B-∠C=180°-50°-20°=110°， 下：如题图2，∠AEF=150°，AE∥BF,∴.∠AEF+ .∠EAG=∠BAC-(∠GAC+∠EAB)=110°-70°=40. ∠BFE=180°，∴.∠BFE=180°-∠AEF=180°-150°=30°， 10.11解析：由题意知，AD是BC的垂直平分线，，AB :∠BFC=∠EFC-∠BFE=150°-30°=120°，由折叠的性 质可得题图3中∠BFC=120°，∴.∠EFC=∠BFC- AC.AB+BD-AC+CD-含Cam-号×2=n(em. ∠BFE=120°-30°=90，，.EF⊥FC. 点C在AE的垂直平分线上，.AC=CE,.DE=CD+ 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·12- CE=CD+AC=11cm.11,(1)证明：：BG∥AC,(3)如图，点Q即为所求. ∠DBG=∠DCF,D为BC的中点，BD=CD.又 :∠BDG=∠CDF,,△BGD≌△CFD(ASA),.BG=CF (2)BE十CF>EF,理由如下：△BGD≌△CFD,,,GD FD.又，DE⊥FG,,EG=EF(线段垂直平分线上的点到线 段两璃的距离相等).在△EBG中，BE十BG>EG,,∴.BE十 B CF>EF. 第2课时线段垂直平分线的判定 PB-QC. 课堂演练 10.证明：连接PQ.在△BQP和△CRQ中， ∠B=∠C, 1.证明：如图，连接AD.,DE垂直平分AC,∴.AD=CD,,D QB=RC. 是BC的中点，.BD=CD,.AD=BD.又F是BA的中 .△BQP2△CRQ(SAS),.QP=QR,∴点Q在PR的垂直 (AF=BF. 平分线上，1L,证明：(1)在△ABD和△ACE中， 点，：AF=BF.在△ADF与△BDF中，DF=DF, AB=AC. AD=BD. ∠BAD=∠CAE,.△ABD2△ACE(SAS),.∠AEC ∴.△ADF≌△BDF.∴.∠AFD=∠BFD.又∠AFD+ AD-AE. ∠BFD=180°，.∠AFD=∠BFD=90°，.DF⊥AB,.DF ∠ADB,·.180°-∠AEC=180°-∠ADB,即∠BEC= 是AB的垂直平分线。 /CDB.(2)AB=AC.AE=AD...AB-AE=AC- ∠BPE=∠CPD, AD,即EB=DC.在△EBP和△DCP中， ∠BEP=∠CDP. EB=DC. ,△EBP2△DCP(AAS),.PB=PC,.点P在BC的垂直 2.C3.A解析：：AC=AD,BC=BD,.点A在CD的垂 平分线上，，AB=AC,·点A在BC的垂直平分线上.又两 直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，∴AB垂直平分 点确定一条直线，∴AP所在直线垂直平分BC CD.4.ABAC5.C解析：，△ABC的三边垂直平分 第3课时角平分线的性质与判定 线的交点到△ABC的三个顶点的距离相等，∴凳子应放置在课堂演练 △AC的三边垂直平分线的交点处.6.(1)如图1，点E即1.如图，点P即为所求 为所求，(2)如图2，点D即为所求。 2.A解析：如图，PE⊥OA,过两把直尺的交点P作PF OB.根据题意，得PE=PF.∴.OP平分∠AOB(角的内部到 图1 图2 角两边距离相等的点在这个角的平分线上)： 课后拓展 7.C解析：三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部， 这个三角形是锐角三角形：在外部，是钝角三角形：在边上，是 直角三角形.8.A解析：如图，满足AC=BC的格点C在 线段AB的垂直平分线上，有5个. 0V2345678910 3.A解析：观察图形可知点M在∠A(OB的平分线上，.点 M到∠AOB两边的距离相等.4.15”5.8解析：如图，过 9.(1)如图，点O即为所求.(2)如图，点P即为所求 点P作PE⊥BC于点E.AB∥CD,PA⊥AB,.PD⊥CD 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·13 BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,.PA=PE,PD=,Rt△CDF≌Rt△EDB(HI),.CF=EB.(2)设CF=x, PE,..PE-PA-PD.PA+PD-AD,PE-4,..AD-EB=.AC=AF+CF=8+x.AE=AB-EB=12-. 2PE=8. (AD=AD. Rt△ACD和Rt△AED中， .Rt△ACD≌ DC=DE. Rt△AED(HL,.AC=AE,即8十x=12-x,解得x=2, .CF=2.1L.(1)证明：如图，过点P作PC⊥OA,垂足为 C,过点P作PD⊥MN,垂足为D,过点P作PE⊥OB,垂足 6.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,∠BED=∠CFD=90.为E,MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,PC=PD. :D是BC的中点，.BD=CD.在Rt△BDE和R:△CDF NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,.PD=PE, 中./BD=CD. .PC=PE,∴.()P平分∠AOB R△BDE≌Rt△CDF(HL),.DE=DF. BE=CF. .AD平分∠BAC,即AD是△ABC的角平分线， 课后拓展 7.A解析：，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是 △ABD和△ACD的高，.DE=DF,在Rt△AED和 R△AFD中，(DE=DF·:R△AED≌R△AFD(H. AD=AD. (2):△PNMN的面积是16，MN=8,号MN·PD=16. ∴AE=AF,又DE=DF,∴AD垂直平分EF,故①正确： .4PD=16,.PD=4..PD=PC=PE=4.△OMN的面 EF不一定平分AD,故②错误：，RI△AED≌RI△AFD, 积是24，.Sm形wwP=S△PwN十S△MN■16十24=40， .∠EDA=∠FDA,即AD平分∠EDF,放③正确：四边形 AEDF是销对祭图形，对称轴为线段AD所在的直线：放④正Sm十Sam=0号0M,PC+号ON·PE=0, 确综上所述，错误的有1个.8.4解析：如图，过点D作 DF⊥BC于点F,设DE的长为xcm,:BD是∠ABC的平分 ∴20MX4+号0N×4=40.0NM+0N=20,即线段OM 线，DE⊥AB,DF⊥BC.DE=DF=cm号AB· 与OV的长度之和为20. 第4课时三角形的内角平分线 DE+2BC·DF=30,即4r+3.5x=30,解得r=4DE= 课堂演练 4 cm. 1.证明：如图.连接AD.DE⊥AB,DF LAC,DE=DF, AB=AC. .∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中{∠BAD=∠CAD. AD-AD. .△ABD≌△ACD(SAS)..BD=CD 9.2解析：如图，过点P作MN⊥BC于点N,交AD于点 M.:AD∥BC,MN⊥BC,∴.MN⊥AD.:BPΨ分∠ABC, PE⊥AB,PN⊥BC,.PE=PN,同理可得PE=PM, ∴PE=PM=PN=MN-X4=2. 2.A解析：如图，过点D作DH⊥OB于点H,OD平分 ∠AOB,DE⊥OA,DH⊥OB..DH=DE=4,.DF≥4. H 10.(1)证明：：AD平分∠BAC,∠C=9D°，DE⊥AB, (DF=DB. .DE=DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中， DC=DE. 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·14 3.D解析：如图，油库的可选位置有4处 Sa+Sm+Sae=号PD·AB+号PE·BC+ PF·AC-AB+C+AC)=号x20=5a (第3题) (第5题) E G 4.110°解析：：点O到△ABC三边的距离相等..B0,CO (第8题) (第10题) 分别是∠ABC、∠ACB的平分线.·∠OBC= 9.2.5解析：过点D作DF⊥BC于点F,BD是∠ABC的 2∠ABC, 平分线.DE⊥AB.∴.DE=DF,:SAAm=S△m+S△Dc, ∠OCB= 2∠ACB.∠B0C=180'-(∠OBC+∠0CB)- C:DF+号AB·DE=125之AB=6 180°-。（∠ABC+∠ACB)=180°-2X(180°-∠A) .4DE十6DE=25,.DE=2.5.10.BF=CG.证明如下：如 图，连接EB,EC.,AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB,EGL 180-号×180-40)=10.5如图，点P即为所求. AC,.EF=EG.ED⊥BC,D是BC的中点，.EB=EC在 课后拓展 Rt△EFB和Rt△EGC中， EF=EG·:.R1△EFB≌ 6.B解析：如图，过点D作DN⊥AC于点N,并截取AM EB=EC, AE,连接DM:AD是△ABC的角平分线，∠EAD= Rt△EC(HI),,BF=CG,11.(1)证明：，P为∠EAF的 ∠MAD,又：AD-AD,AE=AM,△AED≌△AMD平分线上一点，PB⊥AE,PC⊥AF,PB=PC,∠PBM= (SAS)..DM DE,SAAMD =SAD =39,SM= PM=PN. ∠PCN=90°.在Rt△PBM和R1△PCN中， SAw-S6AD=50-39=11.:DE=DG,∴.DM=DG.又 PB=PC. DN LAC,NM =NG.SAMUN =SAGON SAMDN ∴.Rt△PBM≌R1△PCN(HL),.BM=CN.(2)2解析： 号S=×I1=55.:AD是△AC的角平分线，DF⊥在R△ABP和R△ACP中， (PB=PC. .Rt△ABP≌ PA=PA: DN=DF,R△ACP(Hi),∴.AB=AC.由(1)知，BM=CN.∴.AM+ AB,.DF=DN.在Rt△EDF和Rt△MDN中， DM=DE.AN=AM+CN+AC=AM+BM+AC=AB+AC=2AC. ,Ri△EDF2R△MDN(Hl)∴Saw=Sawv=5.5. (3)AC:PC=2￥1，PC=4,.AC=8,∴.AB=AC=8, PB=PC=4,.SHAEANPM=S△Pw十SAAPB十S△rmw= SAp+SAa Surs -SaAr+Sarm=2 AC PC+ AB.PB=号×8X4+号×8X4=2 2.5等腰三角形的轴对称性 (第6题) (第7题) 第1课时等腰三角形的性质 7.50°解析：如图，过点E分别作EN⊥BD于点N,EM⊥ 课堂演练 AC于点M,EF⊥AB交BA的延长线于点F,BE平分 1.(1)50°(2)50°或80°解析：等腰三角形的一个内角为 ∠ABC,EN⊥BD,EF⊥AB,.EF=EN.同理，EN=EM. ,EF=EM,·点E在∠FAC的平分线上，.∠CAE= 50,有两种情况.①顶角为50°：②当底角是50°时，顶角的度数 为180°一50°一50°=80°.综上所述，这个等腰三角形的顶角为 Z∠CAF.:∠BAC=80,·∠CAF=180-∠BAC= 50或80°，2.D3.B解析：设底角的度数是x°，则顶角的 180°-80°=100°，∴∠CAE=50°.8.50解析：如图.过点度数为(2x十20)°.根据题意，得x十x+2x+20=180,解得 P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,:P是△ABCx=4O.4.A解析：AB=AC,∠BAC=24,.∠B 三条角平分线的交点，.PE=PF=PD=5,.S在Am=∠ACB=78.:CD=AC,∠ACB=78°，∠ACB=∠D十 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·15