福建省厦门第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

试卷第 1⻚，共 4⻚ 厦⻔⼆中 2024-2025学年第⼀学期⾼⼆年段数学科期中考试卷 命卷教师：唐⽂⻰ 审卷教师：谢⼩花 班级：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿座号：＿＿＿＿＿（考试时间：120分钟） ⼀、单选题：本题共 8⼩题，每⼩题 5分，共 40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的． 1．已知直线 l过点 ，⽅向向量为 ，则原点 到 的距离为 （ ） A．1 B． C． D．3 2．若点 在圆 ： 的外部，则实数 的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 3．已知两条直线 l1：（a－1）x＋2y＋1＝0与 l2：x＋ay＋1＝0平⾏，则 a＝ （ ） A.－1 B.2 C.0或－2 D.－1或 2 4．已知点 到直线 的距离为 5，且直线 在两坐标轴上的截距相等，则满⾜条件的直线共有 （ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．若直线 与 的交点位于第⼀象限，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 6．已知⼀对不共线的向量 ， 的夹⻆为 ，定义 为⼀个向量，其模⻓为 ，其⽅向同时与向 量 ， 垂直（如图 1所示）．在平⾏六⾯体 中（如图 2所示），下列结论错误．．的个数是 （ ） ① ； ② 当 时， ； ③若 ， ，则 ； ④平⾏六⾯体 的体积 . A．1 B．2 C．3 D．4 7．⽃拱是中国建筑上特有的构件，是较⼤建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分， ⽤于⽀撑上部突出的屋檐，如图（1），其简化结构如图（2），其中 是两两互相垂直的线段， 为⽃拱，满⾜ ，且 和 都为钝⻆．若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 8．在棱⻓为 的正⽅体 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在正⽅体表⾯上运动，且满⾜ ，则点 轨迹的⻓度是 （ ） A． B． C． D．4a 试卷第 2⻚，共 4⻚ ⼆、多选题：本题共 3⼩题，每⼩题 6分，共 18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．关于空间向量，以下说法正确的是 （ ） A．若直线 l的⽅向向量为 ，平⾯ 的⼀个法向量为 ，则 B．若空间中任意⼀点O，有 ，则 四点共⾯ C．若空间向量 ， 满⾜ ，则 与 夹⻆为钝⻆ D．若空间向量 ， ，则 在 上的投影向量为 10．已知点 和 ， 是直线 上的动点，则 （ ） A． 的最⼩值是 B． 的最⼤值是 C．存在 ，使 最⼩ D．存在 ，使 最⼩ 11.在正三棱柱 中， ，点 满⾜ ，其中 ， ，则 （ ） A．当 时， 的周⻓为定值 B．当 时，三棱锥 的体积为定值 C．当 时，有且仅有⼀个点 ，使得 D．当 时，有且仅有⼀个点 ，使得 平⾯ 三、填空题：本题共 3⼩题，每⼩题 5分，共 15分． 12．已知空间中 三点的坐标分别为 ，则点 到直线 的距离 为 ． 13．如图 在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝐺为△𝐴𝐵𝐶的重⼼， 1 2𝑃𝐶 ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ,𝜆,𝜇 ∈ 0,1 ，若𝑃𝐺交平⾯𝐷𝐸𝐹于点𝑀，且𝑃𝑀⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 12𝑃𝐺 ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗，则𝜆+𝜇的最⼩值 为 ． 14．如图 在等腰直⻆三⻆形 ABC中，AB=AC=1，点 P是边 AB上异于 A，B的⼀点，光线 从点 P出发，经 BC，CA反射后⼜回到点 P，如图所示，若光线QR经过△ABC的重 ⼼G，则线段 AP的⻓度是 ；直线 PQ的斜率为 ． 四、解答题：本题共 5⼩题，共 77分。解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知直线 l1经过点 P（0，1），直线 l2经过点Q（5，0），且 l1∥ l2. （1）求 l1与 l2之间的最⼤距离，并求此时两直线的⽅程；（斜截式表示） （2）若 l1与 l2间的距离为 5，求两直线的⽅程.（⽤⼀般式表示） 试卷第 3⻚，共 4⻚ 16．（15分）如图，在矩形 和 中， ， ， ， ， ， ， 记 ， ， ． (1)将 ⽤ 表示出来； (2)当 等于多少时，线段MN的⻓度取得最⼩值？求此时 与 夹⻆的余弦值． 17．（15分）已知△ABC的三个顶点分别是 ， ， ． (1)求边 上的中线所在直线 的⽅程，求边 上的⾼所在直线 的⽅程； (2)（ⅰ）求△ABC的外接圆 （ 为圆⼼）的标准⽅程； （ⅱ）若点 的坐标是 ，点 是圆 上的⼀个动点，点 满⾜ ，求点 的轨迹⽅程，并说明轨 迹的形状． 18．（17分）如图，在△ABC中， ，D是 AC中点，E、F分别是 BA、BC边上的动点， 且 ，将 沿 EF折起，将点 B折⾄点 P的位置，得到四棱锥 P-ACFE． (1)求证： 平⾯ (2)若 ，⼆⾯⻆ 是直⼆⾯⻆，求线段 AP中点M到平⾯ PEC的距离； (3)当 时，求直线 PE与平⾯ ABC所成⻆的正弦值的取值范围． 试卷第 4⻚，共 4⻚ 19．（17分）在平⾯解析⼏何中，除了⽬前已掌握的五种直线⽅程以外，我们利⽤定点坐标和向量坐标也能得到另外 两种⽅程：已知过定点𝑃(𝑥0,𝑦0)的直线𝑙和向量?⃗⃗⃗⃗? = (𝐴,𝐵)． ①若?⃗⃗⃗⃗?为直线𝑙的⽅向向量，则直线𝑙的⽅程可写为𝑥−𝑥0𝐴 = 𝑦−𝑦0 𝐵 (𝐴𝐵 ≠ 0); ②若?⃗⃗⃗⃗?与直线𝑙的⽅向向量垂直（也称?⃗⃗⃗⃗?为直线𝑙的法向量），则直线𝑙的⽅程可写为𝐴(𝑥−𝑥0) +𝐵(𝑦−𝑦0) = 0. 我们也可以将上述⼯具扩展到空间直⻆坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧中. (1)若已知平⾯α过定点𝑀(2,3,4)，且平⾯α的⼀个法向量为?⃗⃗⃗⃗? = (1,2,2)，试求平⾯α的⼀般⽅程（空间直⻆坐标 系𝑂−𝑥𝑦𝑧中平⾯的⼀般⽅程可写为𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷 = 0，𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 ∈ 𝑅）； (2)与平⾯中求解点坐标可以将点看成是两条直线的公共点，类似地，空间中求解直线的⽅程可以将直线看成是两 个平⾯的交线．在空间直⻆坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧中，已知直线𝑙的标准式⽅程为𝑥−1= 𝑦−2 − 3 = 𝑧2，平⾯𝛼1的⼀般⽅ 程为 3𝑥+𝑦−𝑧+5= 0，求直线𝑙与平⾯𝛼1所成⻆的余弦值； (3)在空间直⻆坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧中，设平⾯𝛼2的⼀般⽅程为𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷 = 0，定点𝑃(𝑥0,𝑦0,𝑧0)，试推 导𝑃到平⾯𝛼2的距离𝑑的表达式（要有完整过程）． 试卷第 5⻚，共 4⻚ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 题号 答案 1．B 【分析】求出直线的解析式，即可求出原点 到 的距离. 【详解】由题意，在直线 中，⽅向向量为 ， ∴直线 l的斜率存在，设 ，则直线 l的斜率为： ，∴ ， ∵ 直线 l过点 ，∴ ，解得： ，∴ ，即 ， ∴原点 到 的距离为： ， 故选：B. 2．C 【分析】根据点与圆的位置关系建⽴不等式求解，并注意⽅程表示圆所满⾜的条件. 【详解】因为点 在圆 ： 的外部，所以 ，解得 ， ⼜⽅程 表示圆，所以 ，解得 ， 故实数 a的取值范围为 ． 故选：C 3．A 4．C 【分析】根据直线经过原点和不经过原点，设出直线的⽅程，即可根据点到直线的距离求解. 【详解】当直线经过原点时，则直线⽅程为𝑦 = 𝑘𝑥 𝑘 ≠ 0， 此时 到直线 的距离为 ，化简得 ，解得 ， 当直线不经过原点时，设直线⽅程 ，即 ， 此时 到直线 的距离为 ，解得 ， 故符合条件的直线有 3条， 故选：C 5．A 试卷第 6⻚，共 4⻚ 【分析】求出两条直线的交点后可求 的取值范围. 【详解】由 可得 ， 因为两条直线的交点在第⼀象限，故 且 ，故 ，故 ，解得 或 . 故选：A. 6．A 【分析】A.根据三⻆形的⾯积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据 条件求 ，即可判断；D.根据新定义和数量积的⼏何意义，即可判断. 【详解】对于A， ，⽽ ，故 ，正 确； 对于B， ，当 时， 有意义，则 ，正确； 对于C，因为 ， ，所以 ， ，所以 ，错误； 对于D， 的模⻓即为平⾏六⾯体底⾯OACB的⾯积，且⽅向垂直于底⾯，由数量积的⼏何意义可知， 就是 在垂直于底⾯ 的⽅向上的投影向量的模⻓（即为平⾏六⾯体的⾼）乘以底⾯的⾯积， 即为平⾏六⾯体的体积，正确． 7 ．D 【详解】以 为原点，以 所在的直线分别为 轴，建⽴空间直⻆坐标系， 如图所示，设 ，可得 ，所以 ， 设点 ，可得 ，则 ， 由 ，可得 ， ，可得 ， 所以 ，即 ， 所以 . 故选：D. 试卷第 7⻚，共 4⻚ 8．【答案】A 【解析】在正⽅体 中，以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建⽴空间直⻆坐标系，∴ ， ， ， ，∴ ， 设 ，则 ， ∵ ，∴ ，可得 ； 当 时， ，当 时， ， 取 ， ， ， ，连接 ， ， ， ， 则 ， ， ∴四边形 为矩形，则 ， ， 即 ， ，⼜ 和 为平⾯ 中的两条相交直线，∴ 平⾯ ， ⼜ ， ，∴ 为 的中点，则 平⾯ ， 为使 ，必有点 平⾯ ， ⼜点 在正⽅体表⾯上运动，所以点 的轨迹为四边形 ， ⼜ ， ，∴ ，则点 的轨迹不是正⽅形， 则矩形 的周⻓为 ．故选A 9．ABD 【分析】根据题意，由平⾯法向量的定义分析A，由空间向量基本定理分析B，由向量平⾏的性质分析C，由投影 向量分析D． 【详解】对于A：若直线 的⽅向向量为 ，平⾯ 的⼀个法向量为 ，易得 ，即 ， 则有 ，A正确； 对于B：在 中，由于 ，故 四点共⾯，B正确； 对于C：当 ， 反向共线时， 也成⽴，但 与 夹⻆不为钝⻆，C错误； 对于D， 在 上的投影向量为 ，D正确． 故选：ABD． 10.ABD 【详解】在平⾯直⻆坐标系中作出点 和直线 ， 由图可知，点 和 在直线 同侧， 试卷第 8⻚，共 4⻚ 设点 关于直线 的对称点为 ， 则有 ，解得 ，得 ， 则 ，当且仅当 为直线 与直线 的交点时， 有最⼩值 ， 直线 的斜率为 ，⽅程为 ， 由 ，解得 ，存在 ，使 最⼩，A选项正确； ⼜ ，当且仅当 为直线 与直线 的交点时 有最⼤值𝐴𝐵， 直线 的⽅程为 ，即 ， 由 ，解得 ，存在 ，使 最⼤，B选项正确； 最⼩值为 0，当且仅当 ，即 为线段 的垂直平分线与直线 的交点， 的中点坐标为 ，直线 的斜率为 ， 则线段 的垂直平分线⽅程为 ，即 ， 由 ，解得 ，存在 ，使 最⼩，C选项错误 设 ， ， 当 时有 最⼩值，此时 ， 所以存在 ，使 最⼩，D选项正确. 11．BD 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到⼀个三⻆形内，进⽽确定点的坐标； 对于B，将 点的运动轨迹考虑到⼀个三⻆形内，确定路线，进⽽考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进⽽考虑建⽴合适的直⻆坐标系来求解 点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进⽽考虑建⽴合适的直⻆坐标系来求解 点的个数． 【详解】易知，点 在矩形 内部（含边界）． 对于A，当 时， ，即此时 线段 ， 周⻓不是定值，故A错误； 试卷第 9⻚，共 4⻚ 对于B，当 时， ，故此时 点轨迹为线段 ，⽽ ， 平⾯ ， 则有 到平⾯ 的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当 时， ，取 ， 中点分别为 ， ，则 ， 所以 点轨迹为线段 ， 不妨建系解决，建⽴空间直⻆坐标系如图， ， ， ， 则 ， ， ，所以 或 ． 故 均满⾜，故C错误； 对于D，当 时， ，取 ， 中点为 ． ，所以 点轨迹为线段 ． 设 ，因为 ，所以 ， ，所以 ， 此时 与 重合，故D正确． 故选：BD． 12. 【详解】由点 ，可得 ， 所以点 到直线 的距离为 ， 所以点C到直线 的距离为 . 故答案为： . 13. 1（过程略） 14． ；2 【分析】根据已知，利⽤对称性、重⼼的性质，求出对称点坐标，联⽴直线⽅程进⾏求解. 【详解】建⽴如图所示的平⾯直⻆坐标系，可得 ， ， 所以直线 的⽅程为 ， 的重⼼G的坐标为 ， 设点 ， ， 分别是点 关于直线 BC和 y轴的对称点， 连接 ，所以 ，设 ，则有 ，解得 ，所以 ， 试卷第 10⻚，共 4⻚ 由光的反射原理可知， 四点共线，所以 ，即 ，解得 ，此时 ， 所以 ， ， ，直线 的⽅程为 ， 联⽴直线 的⽅程与 的⽅程有： ，解得 ，即 ， 所以直线 PQ的斜率为 . 故答案为： ，2. 15.（13分）解：（1）连接 PQ（图略），则当直线 l1，l2均与直线 PQ垂直时，l1与 l2之间的距离最⼤.................1分 因为直线 PQ的斜率为0－15－0＝－ 1 5，所以此时直线 l1与 l2的斜率均为 5，.......................3分 l1与 l2之间的最⼤距离为 （0－5） 2 ＋（1－0） 2 ＝ 26，.......................4分 直线 l1的⽅程为 y＝5x＋1，即 5x－y＋1＝0，直线 l2的⽅程为 y＝5（x－5），即 5x－y－25＝0........................6分 （2）①若 l1，l2的斜率都存在，设其斜率为 k，则 l1的⽅程为 y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0，l2的⽅程为 y＝k（x－5），即 kx－y－5k＝0........................7分 由题意得｜1+5𝑘｜ 𝑘2+1 ＝5，解得 k＝125，.......................9分 所以直线 l1的⽅程为 y＝125x＋1，即 12x－5y＋5＝0， 直线 l2的⽅程为 y＝125（x－5），即 12x－5y－60＝0...........11分 ②若 l1，l2的斜率都不存在，则 l1的⽅程为 x＝0，l2的⽅程为 x＝5， 它们之间的距离为 5，符合题意........................12分 综上所述，两直线的⽅程为 l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或 l1：x＝0，l2：x＝5.......................13分 16．（15分）(1) ；(2) . 【分析】（1）利⽤空间向量的加减运算法则化简即得 ； (2)分别求得 ， ，利⽤向量数量积的运算律求得 ， ，利⽤空 间向量的夹⻆公式计算即得结果. 【详解】（1）由图知， ；......3分 （2） .......................7分 试卷第 11⻚，共 4⻚ 当 时，有最⼩值；.......................8分 此时 ， ，.......................9分 因为 故 ， 且 ，.......................13分 设 与 的夹⻆为 ，则 ........................15分 17．（15分）(1) ， (2)（ⅰ） ；（ⅱ） ，轨迹是以 为圆⼼，半径为 的圆． 【详解】（1）解：设线段 的中点为 ，则 ， 因为 ，则边 上的中线 的⽅程为 ，即直线 的⽅程为 ，.......................2分 ⼜因为直线 的斜率为 ，所以 上的⾼所在直线 的斜率为 ， 所以 上的⾼所在直线 的⽅程为 ，即直线 的⽅程为 ........................4分 （2）解：（ⅰ）设圆 的⽅程为 （其中 ）.......................5分 因为 三点都在圆上，可得 ，解得 ，.......................8分 满⾜ ， 所以所求圆 的⽅程为 ，即 .......................9分 （ⅱ）设 的坐标是 ，点 的坐标是 ，.......................10分 因为 的坐标是 ，且 ，所以 ，解得 ，.............12分 ⼜因为点 在圆 上运动，所以点 的坐标满⾜圆 的⽅程，即 ，.......................13分 代⼊得 ，整理得 ，.......................14分 点 的轨迹⽅程是 ，轨迹是以 为圆⼼，半径为 的圆........................15分 18.【详解】（1）在四棱锥 中， ，⽽ 平⾯ ， 平⾯ ， 试卷第 12⻚，共 4⻚ 所以 平⾯ ........................3分 （2）由 ，得 ，折叠后，在四棱锥 中， ， 平⾯ ，则 平⾯ 平⾯ ，则 ， 由⼆⾯⻆ 是直⼆⾯⻆，得平⾯ 平⾯ ，平⾯ 平⾯ ， 平⾯ ， 平⾯ ，.......................4分 以 分别为 轴建⽴空间直⻆坐标系，则 ........5分 设平⾯ 法向量为 ，则 ， 令 ， 得 ，.......................7分 所求点⾯距为 .......................9分 （3）以直线 和 分别为 轴，过C作平⾯ 的垂线为 z轴，建⽴空间直⻆坐标系， 设 ， ，显然 ， ，.......................10分 ，得出 ，则 ， 则 ，.......................11分 点 与其在直线 上射影点及点 围成以线段 为斜边的直⻆三⻆形， 则 ，即 ，且 ， ，即 ，.......................12分 平⾯ 的法向量为 ，设直线 PE与平⾯ ABC所成⻆为 ， ，.......................14分 则 ，.......................15分 令 ，函数 在 上递减， ， 因此 ，则 ，解得 ，.......................16分 所以直线 PE与平⾯ ABC 所成⻆的正弦值的取值范围是 ........................17分 19解：（1）设𝐴 ∈ 𝛼2,且𝐴(𝑥,𝑦,𝑧) 试卷第 13⻚，共 4⻚ 有𝑀𝐴⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∙ ?⃗⃗⃗⃗? = 0 ........................1分 (𝑥−2,𝑦 −3,𝑧−4) ∙ (1,2,2) = 0 .........................2分 𝑥−2+2(𝑦−3) +2(𝑧−4) = 0 .........................3分 𝑥−2+2𝑦−6+2𝑧−8= 0 𝑥+2𝑦+2𝑧−16= 0 ∴ 𝛼2的⼀般⽅程为𝑥+2𝑦+2𝑧−16= 0 .........................4分 （2）∵ 𝑙的⽅程为𝑥−1= 𝑦−2 − 3 = 𝑧2 ∴设𝑙的⽅向向量为?⃗⃗⃗⃗? = (1, − 3,2) .........................5分 ∵ 𝛼1的⽅程为 3𝑥+𝑦−𝑧+5= 0 由（1）可设𝛼1的法向量为𝑛1⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ( 3,1, −1) .....................6分 设𝑙与𝛼1所成⻆为θ 有 sinθ = cos ?⃗⃗⃗⃗?,𝑛1⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ......................7分 = 3− 3−2 2 2× 5 = 1010 .......................8分 ∴ cosθ = 3 1010 ........................9分 ∴ 𝑙与𝛼1所成⻆余弦值为 3 10 10 （3）设𝛼2上任意⼀点为𝑄(𝑥,𝑦,𝑧) .......................10分 由（1）可得，𝛼2上的⼀个法向量为𝑛2⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝐴,𝐵,𝐶) .......................11分 𝑃𝑄⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥−𝑥0,𝑦−𝑦0,𝑧−𝑧0) .......................12分 设𝑃到平⾯𝛼2的投影为𝑅 .......................13分 有𝑑 = 𝑃𝑅⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑃𝑄⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ × 𝑐𝑜𝑠∠𝑅𝑃𝑄 .......................14分 = 𝑃𝑄⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ × 𝑐𝑜𝑠 𝑃𝑄⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ,𝑛2⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝑄⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ × 𝑃𝑄⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝑛2⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛2⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝑄⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝑛2⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛2⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧−(𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝑧0) 𝐴2+𝐵2+𝐶2 .......................15分 ∵ 𝑄 ∈ 𝛼2 ∴ 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧 =−𝐷 .......................16分 ∴ 𝑑 = −𝐷−(𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝑧0) 𝐴2+𝐵2+𝐶2 = 𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝑧0+𝐷 𝐴2+𝐵2+𝐶2 .......................17分