3.1.1椭圆的定义及标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程 蔡丽 四川省安岳中学 天宫3号飞船运行轨迹 准备一条细绳(无弹性)、两个图钉和一支笔; 实验2: (1) 用图钉将绳子的两端固定在画板上的F1和F2两点,并使绳长大于F1和F2的距离; (2) 用笔尖(动点M)将绳子拉紧,笔尖在画板上慢慢移动一周,观察所画出的图形 数学实验 探究1:动点M在形成椭圆的过程中,满足了哪些条件? 实验1:当两个图钉重合在一点时,用图钉将绳子固定,拉紧绳子,画出的图形是什么? (圆) (椭圆) 问题2:在作图的过程中,绳子长度变了没有? 问题1:在作图过程中,细绳的两端F1和F2位置是固定的还是运动的? 固定的 两个定点F1和F2 绳子长度为定值 实验 2 问题3:在作图过程中,笔尖(动点M)到两个定点F1和F2的距离与绳子长度有什么关系? 绳子长度 = |MF1|+|MF2| 常数 问题4:在作图的过程中,|MF1|+|MF2| |F1F2|(比较大小) > 思考:你能尝试说一说椭圆的定义吗? 椭圆的定义 平面内到两个定点F1、 F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的 轨迹叫做椭圆. 如果动点M满足到两定点F1 、F2的距离之和为一个定值,且该定值大于两定点间的距离,即|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|(a为大于零的常数),那么动点M的轨迹是椭圆. 若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,那么动点M的轨迹是什么? 若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,那么动点M的轨迹是什么? 8 1. 改变两点F1 ,F2之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗? 2.绳长能小于两点F1 ,F2之间的距离吗? 思考: 动点M的轨迹是线段F1F2 ; 动点M没有轨迹 . 用椭圆的定义判断下列动点M的轨迹用是否为椭圆。 (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。 反馈练习1: 是 不是 线段F1F2 不是 无图形 探究2:如何求椭圆的标准方程? 新知讲解 问题1:求方程的一般步骤是什么? ①建系、 ② 设点 ③列式 ④化简 ⑤证明 想一想:(1)圆的方程是怎么求出来的? (2)椭圆方程怎么求? 研讨探究 推导方程 y x O r 设圆上任意一点P(x,y) 以圆心O为原点,建立直角坐标系 两边平方,得 1.建系 2.设坐标 3.发现等式 4.代坐标 方法步骤: 5.化简方程 (1)圆的方程的推导。 问题2:椭圆是否具有某种对称性? 你能猜想出椭圆的对称轴吗? 问题3:如何选取坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单? 探讨建立平面直角坐标系的方案 O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y 原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单;(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) (对称美、“简洁美”) 解:以F1、F2所在的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴, 建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距2c(c>0),M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的坐标分别是( c,0)、(c,0) . x F1 F2 M 0 y (问题:下面怎样化简?) (现)由椭圆的定义得: 代入坐标 椭圆的标准方程的推导 两边再平方,得 移项,再平方 因为a2(a2-c2) ≠0,所以两边同除以a2(a2-c2)得: 问题4:你能从右图中找出表示 的线段吗? 令, 可得 式椭圆方程为, F1 F2 y x O M a c b 代数a,b,c的几何意义:直角三角形OMF2的三边长,满足: 上述过程可以看到,椭圆上任一点的坐标都满足方程 方程 的解对应坐标的点都在椭圆上 则方程 为椭圆的标准方程。 它所表示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是 , 中心在坐标原点的椭圆方程 ,其中 问题5:如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢? 如果椭圆的焦点在y轴上(选取方式不同,调换x,y轴)如图所示,焦点则变成 只要将方程中 的 调换,即可得 也是椭圆的标准方程。 F1 F2 方案二 O x y M 知识小节 共同点: (1) 椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上,中心在坐标原点的椭圆; 方程左边是平方和,右边是1; (2) 椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系:a = b +c (a最大,b,c不确定); 不同点: x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上: x2项分母较大,焦点在x轴上;y2项分母较大,焦点在y轴上, 图 形 方 程 焦 点 a,b,c之间的关系 定 义 1 2 y o F F M x 1 o F y x 2 F M |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) 1、已知椭圆的方程为 ,请填空: (1) a =_,b =_,c =_,焦点坐标为_,焦距等于_ . (2)若C为椭圆上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点, 并且CF1=2,则CF2=_. 5 4 3 6 (-3,0)、(3,0) 8 小试牛刀 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:两个焦点的坐标分别是(4,0)(-4,0),椭圆上一点到两焦点距离的和等于10. 变式一:将上题焦点改为(0,4)(0,-4),结果如何? 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8 ,椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10 ,结果如何? 3.判断下列方程哪些表示椭圆?若是,求出 和焦点坐标. ( ) ( ) ( ) ( ) 是 是 不是 不是 (1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (3)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上。 1、椭圆的定义: 2、求解曲线方程的步骤: 3、椭圆的两个标准方程: 焦点在x轴: 焦点在y轴: 列等式 代坐标 化 简 建 系 设点 归纳小结 分母哪个大,焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹 标准方程 不 同 点 相 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断 再认识! x y F1 F2 P O x y F1 F2 P O 1、复习今天所学的知识 2、思考: 当m取什么值时,方程 能够构成椭圆? 当m取什么值时,椭圆的焦点在x轴上? 当m取什么值时,椭圆的焦点在y轴上? 形成概念 例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 , 求它的标准方程. 解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以 又因为 ,所以 因此, 所求椭圆的标准方程为 例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 , 求它的标准方程. 解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 ① ② 联立①②, 因此, 所求椭圆的标准方程为 2、已知方程 表示焦点在x轴 上的椭圆,则m的取值范围是 . (0,4) 变式:已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 . (1,2) 六、【自我评价,反馈调节】 若是,则判定其焦点在何轴上? 写出焦点坐标. 1、下列方程哪些表示椭圆? 2、方程 ,求方程满足下列条件的m的取值范围 ①表示一个圆;②表示一个椭圆。 FormatFactory FormatFactory $$