精品解析：江苏省盐城市七校联考2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

江苏省盐城市七校联考2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（ ） A. 该数列是公差为的等差数列 B. 该数列的图象只能在第一象限 C. 该数列是个有穷数列 D. 该数列的图象是直线上满足的点集 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的通项公式逐项分析即可得解. 【详解】由知数列为等差数列，公差为1，故A错误； 因为，所以数列的图象上有点在x轴上，故B错误； 由通项公式是知，数列是无穷数列，故C错误； 由通项公式是知该数列的图象是直线上满足的点集，故D正确. 故选：D 2. 抛物线的准线方程是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程直接可得解. 【详解】由已知抛物线，即， 则准线方程为， 解得， 故选：D. 3. 直线，，若，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行可得方程，解方程即可. 【详解】由已知， 则， 解得或， 当时，，，与重合，不成立； 当时，，，，成立； 综上所述， 故选：B. 4. 已知数列：2，0，2，0，2，0，…前六项不适合下列哪个通项公式 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入逐一验证，即得结果. 【详解】将分别代入，选项A、B、C均符合题意； 对于D，当时，不符合题意，故选D． 【点睛】本题考查由通项公式求项，考查基本求解能力. 5. 直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第一象限时所满足的条件，解得结果. 【详解】若直线斜率不存在，即不经过第一象限， 若直线斜率存在，即， 所以， 综上实数的取值范围为， 故选：C. 6. 圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心关于直线的对称点即可得解. 【详解】设，的圆心，半径， 由题意则与关于直线对称， 所以，解得， 所以圆的标准方程为， 故选：A 7. 若双曲线的实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，则这个双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合双曲线参数关系及等差数列性质可得方程，化简即可. 【详解】由已知，即 又实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列， 即，∴， 化简可得， 解得或（舍）. 故选：A. 8. 已知点，以为圆心，FO（O为坐标原点）为半径作圆F.直线与圆交于M，N两点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，若为正三角形，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆的方程为，则，由为正三角形可知点到直线的距离与半径的比是3：2，建立与等量关系，再利用基本不等式求得最小值. 【详解】设圆的方程为，其中 则, 设原点到直线的距离为， ∵为正三角形，∴，且 ， 则 设， 即，， 由，得， 所以，当且仅当时等号成立； 所以的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 曲线，下列结论正确的有（ ） A. 若曲线C表示椭圆，则且不等于0 B. 若曲线C表示双曲线，则焦距是定值 C. 若，则短轴长为 D. 若，则渐近线为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆方程判断A，根据双曲线方程判断B，代入得到具体曲线方程判断CD. 【详解】当曲线表示椭圆时，，且，即且，故A正确； 若曲线C表示双曲线，焦点在轴上时，则，所以， 当焦点在轴上时，，所以，故B错误； 当时，方程为，故，，故C正确； 当时，方程为，所以渐近线方程为，故D正确. 故选：ACD 10. 若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值可能是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围. 【详解】到点的距离为2的点在圆上， 所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上， 即两圆相交，故， 解得或， 所以实数a的取值范围为， 结合选项可知BC满足条件， 故选：BC． 11. 如图所示，2024年5月3日“嫦娥六号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，给出下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定图形，根据焦距含义直接判断A；由轨道Ⅰ和Ⅱ的相同值判断B；由变形推理判断C，D作答. 【详解】对A，观察给定图形，显然，则，故A正确； 对B，由及得，B正确； 对CD，因，即，有， 得， 令，，即有，由给定轨道图知，， 因此，，D正确；而，C不正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线（a为常实数）的倾斜角的大小是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，求出直线斜率，即可得出倾斜角. 【详解】设直线倾斜角为，直线可化为，斜率为， 则，所以. 故答案为：. 13. 若数列满足，若，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，利用代数法可得数列的周期为，即，，即可得解. 【详解】由已知，则，， 可得，进而可得，，， 即，， 所以， 故答案为：. 14. 如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为______m.（精确到0.1m） 【答案】4.3 【解析】 【分析】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，求出慢车道时，最右侧的高，用该值减去即为限制高度. 【详解】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 将点代入得， 故， 今，得， 故限高为， 故答案为：4.3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知动点满足方程. （1）试将上面的方程改写为椭圆的标准方程并求其离心率； （2）类比圆的面积公式可以得到椭圆的面积公式为，其中a，b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长，求该椭圆的面积. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给式子及椭圆的定义判断轨迹方程为椭圆，即可求出标准方程及离心率； （2）根据所给公式直接计算即可. 【小问1详解】 由， 可以看作动点到定点的距离和为常数， 所以由椭圆的定义知动点轨迹为焦点在轴上的椭圆，且， 所以， 所以椭圆的方程为：，其离心率. 【小问2详解】 由（1）知， 由所给椭圆面积公式. 16. 已知直线及圆，直线被圆截得的弦长为. （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求出圆心，半径，利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可； （2）分情况讨论直线斜率是否存在，由点到直线的距离等于半径求解. 【小问1详解】 依题意可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 由勾股定理可知，代入化简得， 解得或. 【小问2详解】 圆，由知在圆外， ①当切线方程的斜率存在时，设方程为， 由圆心到切线的距离，即，可解得， 切线方程为， ②当过斜率不存在，易知直线与圆相切， 综合①②可知切线方程为或. 17. 已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. （1）求拋物线的标准方程； （2）若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过定点，分情况确定抛物线方程； （2）联立直线与抛物线，结合韦达定理与圆过原点可得参数值. 【小问1详解】 当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； 当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； 【小问2详解】 由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为， 设，， 联立直线与抛物线，得， 则，解得， 且，，， 又以为直径的圆经过原点， 即，， 解得. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 18. 已知点在椭圆上，右准线方程为，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点. （1）求以为直径圆的方程； （2）以椭圆上、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，再过点作的垂线，试问直线是否经过某定点，若存在，求此定点；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，定点坐标 【解析】 【分析】（1）根据准线方程可知，结合点在椭圆上，可得椭圆方程，进而可得圆心与半径，可得圆的方程； （2）易知直线斜率存在且不为，则设直线，联立直线与椭圆，根据中点及韦达定理可得，再令，可得点坐标，进而可得直线，及直线恒过定点. 【小问1详解】 由已知椭圆的右准线为，即，则， 则椭圆方程为， 又椭圆过点， 则， 解得， 则，， 椭圆，， 令，解得，即， 又以为直径圆圆心为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 易知直线斜率存在且不为， 则设直线，，， 联立直线与椭圆，得， 则， 即， 且， 又、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上， 即，中点在直线上， 即，化简可得， 直线方程为， 令，则，即， 所以直线，即， 即直线恒过定点. 【点睛】方法点睛： 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 已知为双曲线的一条渐近线方程，过右焦点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且. （1）求双曲线的方程； （2）设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，且满足.求直线的斜率； （3）过圆上任意一点作切线，分别交双曲线于，两个不同点，中点为，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明：当直线斜率存在时，设直线，，， 易知直线与圆相切， 则，即， 联立直线与双曲线，得， ，即， 且，， 则，， 即 ， 即； 当直线斜率不存在时，直线或， 当方程为时，，， 此时，， 同理当方程为时，； 综上所述恒成立， 即为直角三角形，且为中点， 则. 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程及点坐标可得双曲线方程； （2）设直线，联立直线与双曲线，结合韦达定理及可得，进而可得； （3）当斜率存在时，设直线，联立直线与双曲线，结合韦达定理可得，当直线斜率不存在时，直线，可得点，坐标，可得，即可得为直角三角形，即. 【小问1详解】 由渐近线为，则，即， 则双曲线方程为，， 令，则， 又在轴上方，则，，， 所以双曲线方程为； 【小问2详解】 由（1）得， 设直线，， 联立直线与双曲线，则， ，即， 且，， 又，， 且， 则， 化简可得， 即或， 当，直线， 直线过点，不成立， 综上所述，； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件； (2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市七校联考2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式是，则下列结论中，正确的是（ ） A. 该数列是公差为的等差数列 B. 该数列的图象只能在第一象限 C. 该数列是个有穷数列 D. 该数列的图象是直线上满足的点集 2. 抛物线的准线方程是，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 直线，，若，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 4. 已知数列：2，0，2，0，2，0，…前六项不适合下列哪个通项公式 A. B. C. D. 5. 直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若双曲线的实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，则这个双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，以为圆心，FO（O为坐标原点）为半径作圆F.直线与圆交于M，N两点，且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，若为正三角形，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 曲线，下列结论正确的有（ ） A. 若曲线C表示椭圆，则且不等于0 B. 若曲线C表示双曲线，则焦距是定值 C. 若，则短轴长为 D. 若，则渐近线为 10. 若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值可能是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 11. 如图所示，2024年5月3日“嫦娥六号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，给出下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线（a为常实数）的倾斜角的大小是_______________． 13. 若数列满足，若，则的值为______ 14. 如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为______m.（精确到0.1m） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知动点满足方程. （1）试将上面的方程改写为椭圆的标准方程并求其离心率； （2）类比圆的面积公式可以得到椭圆的面积公式为，其中a，b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长，求该椭圆的面积. 16. 已知直线及圆，直线被圆截得的弦长为. （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线方程. 17. 已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. （1）求拋物线的标准方程； （2）若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 18. 已知点在椭圆上，右准线方程为，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点. （1）求以为直径圆的方程； （2）以椭圆上、两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，再过点作的垂线，试问直线是否经过某定点，若存在，求此定点；若不存在，请说明理由. 19. 已知为双曲线的一条渐近线方程，过右焦点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且. （1）求双曲线的方程； （2）设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，且满足.求直线的斜率； （3）过圆上任意一点作切线，分别交双曲线于，两个不同点，中点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $