安徽省合肥市合肥一六八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年一六八中学期中考试试卷 一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分） 1．下列关系中正确的是（ ） A． R  B． 3 Q−  C． 3 Z−  D． 0 N 2．若 12 5 652 3 4a b c= = =， ， 则（ ） A． c a b  B． c b a  C．b c a  D．b a c  3．若命题 1 : 0 2 p x R x    − ， 则 p 的准确表述是（ ） A． 1 0 2 x R x    − ， B． 1 0 2 x R x    − ， C． 1 0 2 x R x    − ， 或 2 0x − = D． 1 0 2 x R x    − ， 或 2 0x − = 4．若命题 2 0: 3 2 0p x R ax ax  − + ， 是假命题，则实数 a的取值范围是（ ） A． 8 0 9 a  B． 8 0 9 a  C． 8 0 9 a  D． 8 0 9 a  5．已知关于 x的方程 ( )2 2 5 0x m x m+ + + − = 有两个大于 2的相异实数根，则实数m 的取值范围 是（ ） A． | 5 4 4m m m−   − 或 B． | 5 4m m−   − C． | 5 4m m−   − D． | 5 4 4m m m−   − 或 6．若全集U R= ,集合  2 3 | 0 | 1 x M x N y y x x −  =  = = +    ， 则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． | 0 1x x  B． | 0 1x x  C． | 0 1x x  D． | 0 1x x  7．已知函数 ( ) 2 2 x a x f x − = 则下列结论中正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的图象关于原点对称 B．当 1a = 时，函数 ( )f x 的值域为 ( )0 +， C．若方程 ( ) 1 4 f x = 没有实数根，则 1a  − D．若函数 ( )f x 在 ( )0 +， 上单调递增，则 0a  8．已知函数 ( ) 1 2 2 1 x x f x − = + 图象与函数 ( ) 3 23 3g x x x x= − + 图象有三个交点，分别为 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3x y x y x y， ， ， ， ， ，则 1 2 3 1 2 3x x x y y y+ + + + + =（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的 得 0分） 9．下列说法中正确的有（ ） A．若 0a b c   则 a a c b b c +  + B．“集合  2| 1 0A x ax x= + + = 中只有一个元素”是“ 1 4 a = ”的必要不充分条件 C．设 a b R， 则“ 0a  ”是“ 0ab  ”的必要不充分条件 D．若 x R 则 2 2 3 2 x x + + 的最小值是 2 10．函数 ( ) ( ) 2 ax b f x a b c R x c + =  + ，， 的图象可能为（ ） 11．已知 a b，均为正实数，且 1a b+ = ，则（ ） A． ab的最大值为 1 4 B． 2b a b + 的最小值为 5 C． 2 2 1 1 8 8 a b    + +      的最小值为 1 8 D． 2 2 2 1 a b a b + + + 的最小值为 1 4 三、填空题(本题共 3小题，每小题 5分，共 15分) 12．已知函数 ( )y f x= 的定义域为  1 2− ， ，则函数 ( )1 1 f x y x + = − 的定义域为＿＿＿＿＿＿． 13．已知幂函数 ( )f x 的图象经过点 2 2 2        ， ，若 ( ) ( )2 1f a f a−  − 则实数 a的取值范围是＿＿＿＿． 14．设函数 ( ) 2 2f x x x a= + + 若关于 x的不等式 ( )( ) 0f f x  的解集为空集，则实数 a的取值范围 是＿＿＿＿． 四、解答题(本题共 5小题，共 77分) 15．已知集合  | 1 2 3A x m x m= −   + ，_________________________________． （1）当 1m = 时,求 ( ) ( )R RA B A B， ； （2）若 A B A= 求实数m 的取值范围． 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答。 ①函数 ( ) 2 4f x x= − + 的定义域为集合 B ； ②不等式 2x  的解集为 B ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16．已知二次函数 ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2f x ax bx c a f x f x x= + +  + − =， 且 ( )0 1f = ． （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）解关于 x的不等式 ( ) ( ) ( )3 1 2f x t x t − + + − ． 17．中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突 破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入 98万元购进一套生产设备．预计使用 该设备后，第一年维修、保养费用 12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加 4万 元，该设备使用后，每年的总收入为 50万元，设使用 ( )*x x N 年后该设备的盈利额为 y 万元． （1）写出 y 与 x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以 12万元价格处理该设备． 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．（注：年平均盈利额为 y x   =， ） 18．定义在 R 上的函数 ( )f x 是单调函数， ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y x y R+ = + ， ， ,且 ( )0 0x f x  ， , （1）求 ( )0f ，判断函数 ( )f x 的奇偶性并说明理由； （2）判断函数 ( )f x 的单调性，并证明； （3）存在  1 1x − ， 使得 ( ) ( )4 4 2 2 0x x x xf f m− −+ + + +  成立，求参数m 的取值范围。 19．已知函数 ( ) ( ) ( )f x g x h x， ， 的定义域均为 R 定义：①若存在 n个互不相同的实数 1 2 nx x x  ， ， ， ，使得 ( )( ) ( )( )( )1 2 3i if g x h f x i n= =   ，，， ， ，则称 ( )g x 与 ( )h x 关于 ( )f x “ n维交换”;②若对任意 x R ，恒 有 ( )( ) ( )( )f g x h f x= ，则称 ( )g x 与 ( )h x 关于 ( )f x “任意交换”． (1)判断函数 ( ) 2 1g x x= + 与 ( ) 1h x x= − 是否关于．“ n维交换”，并说明理由； (2)设 ( ) ( )( ) ( )2 22 0 1f x a x a g x x bx= +  = + −， 若存在二次函数 ( )h x ，使得 ( )g x 与 ( )h x 关于 ( )f x “任意 交换”，求 ( )h x 的解析式； (3)设 ( ) ( ) 2 2 2 1 0 2 0 0 1 0 x x g x k x x h x x x x  +   = − = =  −  ， ， ， ， 若 ( )g x 与 ( )h x 关于 ( )f x x= “3维交换”，求实数 k 的取值范 围． 2024—2025学年一六八中学期中考试试卷 一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分） 1．下列关系中正确的是（ ） A． R  B． 3 Q−  C． 3 Z−  D． 0 N 2．若 12 5 652 3 4a b c= = =， ， 则（ ） A． c a b  B． c b a  C．b c a  D．b a c  3．若命题 1: 0 2 p x R x    − ， 则 p 的准确表述是（ ） A． 1 0 2 x R x    − ， B． 1 0 2 x R x    − ， C． 1 0 2 x R x    − ， 或 2 0x − = D． 1 0 2 x R x    − ， 或 2 0x − = 4．若命题 20: 3 2 0p x R ax ax  − + ， 是假命题，则实数 a的取值范围是（ ） A． 80 9 a  B． 80 9 a  C． 80 9 a  D． 80 9 a  c √ b =③滋管 D > a c > a, b 15 = 33 = 27 c 15 = 25 = 32 ∴ csb ∴ , cyb > a D √ B totR, axa3ax +2 > 0 是真命题 V ① a= O 270 成⽴ { ② 品 → 都筑saco → oca < 8 ∴ OEa < 5．已知关于 x的方程 ( )2 2 5 0x m x m+ + + − = 有两个大于 2的相异实数根，则实数m的取值范围 是（ ） A． | 5 4 4m m m−   − 或 B． | 5 4m m−   − C． | 5 4m m−   − D． | 5 4 4m m m−   − 或 6．若全集U R= ,集合  23| 0 | 1xM x N y y x x − =  = = +    ， 则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． | 0 1x x  B． | 0 1x x  C． | 0 1x x  D． | 0 1x x  7．已知函数 ( ) 2 2 x a xf x − = 则下列结论中正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的图象关于原点对称 B．当 1a = 时，函数 ( )f x 的值域为 ( )0 + ， C．若方程 ( ) 1 4 f x = 没有实数根，则 1a  − D．若函数 ( )f x 在 ( )0 + ， 上单调递增，则 0a  ≡ ⼀ c fx ) = x=+ cm 2) x +5 -m- 2 Δ> 0 ( m P - 4 ( 5-m) > x2 过 { 1 - Ʃ m > 2 -2 → mam 3 z 5 m <-4 或 m > 4 f器 , 2 → 4t 2cm 1+ 5- m >o { ∴⇒ 5< M < -4 A √ M= ( 0 , 3 ] N= [ 1, 1帅 ∞ ) M Λ GRN = CO , 1 ) x =0⼿对称 B 、 √ × x> 0 , f = " a 1 π* ) bano x- 分 tR>0 , -2 ∴ fx) >< a 2 π * = 2器 : z xr+2 x | -a =0 ⼒ 40 . L < o a = 0或 4 +4aco ac - 1 或 a= 0 8．已知函数 ( ) 1 2 2 1 x xf x −= + 图象与函数 ( ) 3 23 3g x x x x= − + 图象有三个交点，分别为 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3x y x y x y， ， ， ， ， ，则 1 2 3 1 2 3x x x y y y+ + + + + =（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的 得 0分） 9．下列说法中正确的有（ ） A．若 0a b c   则 a a c b b c +  + B．“集合  2| 1 0A x ax x= + + = 中只有一个元素”是“ 1 4 a = ”的必要不充分条件 C．设 a b R， 则“ 0a  ”是“ 0ab  ”的必要不充分条件 D．若 x R 则 2 2 3 2 x x + + 的最小值是 2 10．函数 ( ) ( )2 ax bf x a b c R x c + =  + ，， 的图象可能为（ ） B √ fx ) = 2洲 gu+x) +g (rx) = C 1- x ) β - 3 ( +P+ 3( 1+x) + ( 1 x) 3- 3 ( - x ) P + 3 c 1-x ) ≡ { 1 + x ] = ( ) + x -3 ) + 3 (1 +x) + ( 1 - x ) P( - x -2 ) + 3c⽐ + gx ) fuHx 1 +fcrx 1 = 4⼀荊前 4⼀開器fum +fux = (1 +x ) ( x " - x 2+ 3 ) +cx ) lptxr场 = (i+x ) (x 2 -x + 1 ) + ct - x ) ( x 2 + x + ) ( Hx) + g (rx ) ←≈x ++→ -x =+ x + x =+x + 1 - 3 - x 加X1、 M、J+ ym = 4 - 2f ( 1+x) +ft | *1 =2g ( 1+x 1 + g ( 1 -λ ) = 2fu 1+x) +fe 1 -x ) g (x 关于 ( 1 , )中⼩对称 f ( x ) 关于 {1 ]中⼼对称 ⼒ 1 ⼗加⼗X 3 ≈ 3 } ,州 z + H 3 = 3 ∴ X 1 +加⼗加 + } . tyzty 可 6 x BC 3 > 2> 1 Ʃ × √ √ at 0 或 bo × B a = 0 符合 ωt0 0 =0 a =本符合 D : 酱准靠F 2≥给 √ 2=吃时 Yin =r ABD D = 0 , a< o √ {咒。 √ { D = 0Cco C > 0 a=0× {“ 个 ∵ 茹 品 11．已知 a b，均为正实数，且 1a b+ = ，则（ ） A． ab的最大值为 1 4 B． 2b a b + 的最小值为 5 C． 2 21 1 8 8 a b  + +      的最小值为 1 8 D． 2 2 2 1 a b a b + + + 的最小值为 1 4 三、填空题(本题共 3小题，每小题 5分，共 15分) 12．已知函数 ( )y f x= 的定义域为  1 2− ， ，则函数 ( )1 1 f x y x + = − 的定义域为＿＿＿＿＿＿． 13．已知幂函数 ( )f x 的图象经过点 22 2        ， ，若 ( ) ( )2 1f a f a−  − 则实数 a的取值范围是＿＿＿＿． 14．设函数 ( ) 2 2f x x x a= + + 若关于 x的不等式 ( )( ) 0f f x  的解集为空集，则实数 a的取值范围 是＿＿＿＿． ACD √ × √ √ ab ≤ (tnp体⼈下 B π" 万 = 场catn 当⽬仅当 a= b 取等 =π+万 a+2 c (azt号 ) ( b=+ 5 ) ! ≥ 2吃 + 2 当⽬仅当 D =ra 时取等 , = - sa=+ 1 写 8 b上) D 令 ω+2 = m ↓1 =n. ∴ m + n = 4 = 代 ( 64 b =+ 1 + 8 la ^+bYI[ 筑 +前 = ( m崎+ 万世 ) 2 = 54 [64 a2 bi+1 + 8 la +bP - 16 abI 4 = mt的 + nt 的 - 6 千⼗万 +4 - 6⼆丽 = 代( 64 ab≥ - 16abt 9 ) = 4 (san - 1 | ' t 8[ I ≥ 或⼆活ab当⼆味取等⼆城141 m +n 12 = 代 (5+ 的4 n + 万m 则不公( 5 +2 π )上 Ʃ 公 E211 ) 当且仅当 m=2n取等 、 fax fx) -2 ≤ X ≤ 1 - 1 ≤ x ≤2 xH ≤ 2 { x -0 ⇒ Ʃ≤x < 1 X≤-2 外 (-∞ 1 ) V[ , 21 flx ) =x α ① σ< za ≤ a- yac ≡=V ) α ② 2-a ≤ a1 co ⽆解α=+ ifcx 1 = 成 ③ 2 - a > 0 > a + acl ⇌ 1 [ ≡ 51 , +∞ ) f (f) ) ≥ 0恒成正⼀ f ( x) min = fc+ ) = a- 1 宝 含 = fx ) t ≥ a1 f (t ) ≥, 0 tt ε [a+ ,+∞ ) 恒成⽴ ① a - 1 ≤+ 即 a ≤ o ② a1 > - 1 即 a > 0 f(t)mn ≥ 0 fltlm in ≥, 0 ta- 1 ) ≥ 0ft-1 ) ≥ 0 (5- 1 a - 1 ≥ 0 ∴ a 7≈ ∴ a >≥, 1 ⽆解 四、解答题(本题共 5小题，共 77分) 15．已知集合  | 1 2 3A x m x m= −   + ，_________________________________． （1）当 1m = 时,求 ( ) ( )R RA B A B， ； （2）若 A B A= 求实数m的取值范围． 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答。 ①函数 ( ) 2 4f x x= − + 的定义域为集合 B； ②不等式 2x  的解集为 B． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16．已知二次函数 ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2f x ax bx c a f x f x x= + +  + − =， 且 ( )0 1f = ． （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）解关于 x的不等式 ( ) ( ) ( )3 1 2f x t x t − + + − ． ②01 B = E2 , 2] B =E 2 , 2] " m = ) A = [0 , 5] 12 ) A Λ B =A B = [-2 ,2 ] A ≤B ① A=ψ ② A # ψ AUB = E-2,5] m+> 2 m+3 m -1 ≥ - 2 CRA= ( t∞ , 0 ) U (5 , +∞ ) mc 4 { 2M3 ≤21 CRB = t∞ , -2) V ( 21 +∞ ) m ≥ 本 ∴ +≤ m ≤ - 出 CRAUCRB = t∞ , 0 ) (I .V f ∞ ] 综上 m 范制为 σ∞ , -4) VE1 , ⼀□ fx "+ 1 )-fx) = 2 x | 2) x 2 - x + 1 < - (t+3 ) × + ct-2t ) a ( x+ 1 ) =+ b (x+ 1) + Ʃ - ax 2 -Dxt =2X x2 + (tt2) +2t× < 0 2 ax + a +b =2x x + 2( ) (x +t ) < o ①- 2 ≤ -t 即 t ≤ 2a = " { b =时 xc⼟ < -t f10 ) = 」 ② -2 > -t 即 t > 2 ∴ . c=1 ∴ f(x ) = X 2 -x + 1 -t < x <-2 徽解集为⽐2时 (2 , -t 1 t > 2 时解采为 (t,- 21 17．中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突 破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入 98万元购进一套生产设备．预计使用 该设备后，第一年维修、保养费用 12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加 4万 元，该设备使用后，每年的总收入为 50万元，设使用 ( )*x x N 年后该设备的盈利额为 y万元． （1）写出 y与 x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以 12万元价格处理该设备． 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．（注：年平均盈利额为 y x   =， ） 18．定义在 R上的函数 ( )f x 是单调函数， ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y x y R+ = + ， ， ,且 ( )0 0x f x  ， , （1）求 ( )0f ，判断函数 ( )f x 的奇偶性并说明理由； （2）判断函数 ( )f x 的单调性，并证明； （3）存在  1 1x − ， 使得 ( ) ( )4 4 2 2 0x x x xf f m− −+ + + +  成立，求参数m的取值范围。 Y = 50x -[ x * x" +4 ] -991 ① 号 = 2 x+ 40- }≤ 40- 2」98 = 12 Y = -2x^+40x - 98 当⽬仅当 x 作取等 12 ×7 + 30 = 1141万元 ) - 2x 2 -40x - 98 70 x=2 - 8 + 80 - q 与 co ② H = - 2lx - 10=+ 102 x =3 - 12+ 120G 870 第 3年开始盈利 x= 10 Ymax = 10 2. 102+ 12 = 114 利润相同 , ① ⽤时知 ,⾖ ① 好 ↓ 此令 x = Y =0 以任取⼒加且⼒ X 加GR < 例 f ( q * +4* ) < -f (2 * +2 * + m ) f 10 ) =f10 ) +f01 fx+y ) -fx ) =fM ) f (4x + 4* ) < f (- 2× -2x -m ) f 10 ) = o 令 x圳 = 九 1 D =X2 Y = x 1 -2 4 x +4 * > -2 * - 2 - * -m f(x , ) - fixz) =f (x , - x2 l |=x " B 1 - X如 co 4*+4 x + ( 2 x + 2 *) > - ⽇所: fHo ) =fox*ftx ) ∴ f [ x) - n] 20 ] = 4×+4* + . 2 ×+2-x 0 =f(x) +ft* 1 1 . fux ) > fxzl ∴ fx) 在 k上单调递减 y = (2x+ 2x ) =+ 2 * + 2 *- 2 . ful为奇函数 . 令 t=2 *+ 2- λ ≤ 2 ( zx =| tmin = 2 2 P=⽣ t= 55 2X =2 t =Ʃ 5 tE2 ≤ 三 5 + 五 平 y = tr + t-2 Ψ t= 三 5 时 Ymax = 可 ⼀下 7mm以范国为了( 列州 , 19．已知函数 ( ) ( ) ( )f x g x h x， ， 的定义域均为 R定义：①若存在 n个互不相同的实数 1 2 nx x x  ， ， ， ，使得 ( )( ) ( )( )( )1 2 3i if g x h f x i n= =   ，，， ， ，则称 ( )g x 与 ( )h x 关于 ( )f x “ n维交换”;②若对任意 x R ，恒 有 ( )( ) ( )( )f g x h f x= ，则称 ( )g x 与 ( )h x 关于 ( )f x “任意交换”． (1)判断函数 ( ) 2 1g x x= + 与 ( ) 1h x x= − 是否关于．“ n维交换”，并说明理由； (2)设 ( ) ( )( ) ( )2 22 0 1f x a x a g x x bx= +  = + −， 若存在二次函数 ( )h x ，使得 ( )g x 与 ( )h x 关于 ( )f x “任意 交换”，求 ( )h x 的解析式； (3)设 ( ) ( ) 2 2 2 1 0 2 0 0 1 0 x x g x k x x h x x x x  +  = − = =  −  ， ， ， ， 若 ( )g x 与 ( )h x 关于 ( )f x x= “3维交换”，求实数 k的取值范 围． fx ) tF gN) tG f(x )=2 nf ( gx) ) = (2 x + 1 ) z 13 ) flgx ) ÷ k | x =-2x 1 X2+ 1 X > 0 nf" ) =x 2-1 n (f1 ] = { 0 X = 0 ( 2x + 1 ) 2 =λ 2 - 1 x 2 + x < o 3为 2 +4x =092 ⽥题意得k > o 0= 16 - 4 x 3x2 < o ① X> 2 不是n 维交换 K (x2-2x) =X2+ 1 KL ] x ^ - 2kX - 1 = 0 y = ( k-1) x 2 - 2 Kx - 1 1 Hflgx ) = a ( x^+bx - 1P [ +τ ] = h (fx ) ) 过定点 ( 0 , - 1) 和 (21 -51 k > 1 有⼀个零点 hfr 1 = h (ax' + r 1 | K①≤ 1 没有零点 " h ( axrt2 ) 为偶函数 ② x < o k 1 =xr( x^ -⽐ 1 ∴ , a [ xr -bx-=+r ] =a [ (x+bx + ) 2 +] : (k- 1 ) x ^ - 2kλ+1 = 0 上 、 少 =0 } = (k- 13 x ^ - 2kx + 1 h (fx ) = a [ cx =+ P + 2]1 过定点 ∠ 11 } O和⼝ , 系 令 fx) = t 加 = 培 k ≥ ] ⽆零点 Ko< c 1 ⼀个零点 h (t 1 = a [ .道 ) “ ] ③ 0 < X ≤ 2 kt - x =+ 2 x ] =λ+ 1 =hlt 1 π t = - 6 π + 9 + 2 ] (k+ 1) X ε- 2kx +1 = 0 Y= ( k+1) x ^ - 2 kx+ 1 =π tr- 6 tt 1 la州 过定点 , ( 0 , 1 )( 51 . h (x )=π 2- 6x x + 1 ) a (at0 ) 0 < k <论没有零点 k=Ʃ⼗5 ⼀个零点 k>≡ HV5 听零点 综上 k =5 时有 3个零点 即 glx ) 和wh 关于 fx )= x维交换