4.1.1 n次方根课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教2019A版必修 第一册 4.1. n次方根和分数指数幂 第四章 指数函数与对数函数 阅读章头图和章头言回答 思考：1.本章要学习内容是什么？ 2.涉及到哪些函数？ 3.利用它们可以解决哪些实际问题？ 比如：人口增长，细胞分裂，放射性物质的衰减、强传染病在人群中传播等 1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 学习目标 3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． (重点、难点) 复习回顾 思考： 例如：① (±2)2＝４，则称±２为４的　　　； ② 23=8，则称２为8的　　　　； 平方根 立方根 如果(±2)4=16，那么±2叫做16的 　 ； 如果25=32，则2叫做32的 . 4次方根 5次方根 1.平方根、算术平方根、立方根 思考：你认为n次方根是什么？ 如果xn＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1且n∈N*. 问题：对以上计算结果进行分析，整理，你可以得到一个什么样的结论？ 1.n次方根的定义 题组1：（1）64 的3次方根； -32的5次方根； （2）4的2次方根， 16的4次方根， -81的二次方根； （3）0的2次方根， 0的3次方根 新知探究1： 当n为奇数时，a的n次方根是 。 当n为偶数时，正数a的n次方根是 ，负数没有偶次方根。 0的任何次方根都是0. 根指数 根式 被开方数 2.根式 根式的性质1: 思考：中a的取值范围是什么？ 当n为奇数时， ; 当n为偶数时， 3.根式的性质2： 思考：中a的取值范围是什么？ 总结:根式性质 根式的性质1: 当n为奇数时， 当n为偶数时， 根式的性质2: 跟踪训练 方法总结： 根式化简或求值的注意点: 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 若开偶次方根，注意要带上绝对值然后再化简;若式子中含有字母参数，展开时如有必要应对字母参数进行讨论. (1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0) 结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式. 新知探究2：根式与分数指数幂的互化 (2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? 总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式. 12 3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 1.正数的正分数指数幂的意义： 2.正数的负分数指数幂的意义： 4.分数指数幂 规定了分数指数幂以后，幂中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数. 13 【例1】把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0 (1)； (2)； (3)； (4). (1)＝. (3)＝＝＝. (4) (2) 解： 5.有理指数幂运算性质 注意括号内各字母的条件. 15 例2.求下列各式的值 例3.计算下列各式的值（式中字母都是正数） 例4.计算下列各式 例5.已知＝3，求下列各式的值． （1）；（2）；（3） (1) 即＋2＋＝9，∴＋＝7. (2)∵＋＝7，∴＝49，即＋2＋＝49.∴＋＝47. (3)＝3×(7－1)＝18. 解： 6.无理数指数幂及其运算性质 1. 无理数指数幂的意义 一般地，无理数指数幂(a>0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 2.实数指数幂的运算性质： (1)有理数指数幂的运算性质，可以进一步推广到实数指数幂，即： ①＝ (a>0，r，s∈R)； ②＝ (a>0，r，s∈R)； ③＝ (a>0，b>0，r∈R). (2)拓展：＝ (a>0，r，s∈R). 1、n次方根和根式的概念。 2、 3、 当n为奇数时，a的n次方根是 。 当n为偶数时，正数a的n次方根是 负数没有偶次方根。 0的任何次方根都是0 当n是奇数时， 当n是偶数时， 课堂小结 4.分数指数概念 (a＞0,m,n∈N*, n＞1) 5.有理指数幂运算性质 (3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 22 $$