浙江省G5联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

1 2024 学年第一学期浙江 G5 联盟期中联考 高二年级数学学科 试题 考生须知: 1.本卷 4 页满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效。 4.考试结束后,只需上交答题纸。 选择题部分 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.直线 0x 的倾斜角是 ( ) A. 0 B. 2 C. D.不存在 2.已知直线 1 2 2 0l mx y : , 2l : 2 4 0x y m ,若 1 2/ /l l ,则m ( ) A. 1 B. 4 C. 4 D.1 3.曲线C: 2 2 1 1 3 x y m m ,则“ 1m ”是“曲线C表示双曲线”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若m, n为两条直线, 为一个平面,则下列结论中正确的是 ( ) A.若 / /m , n ,则m n B.若 / /m , n ,则m与 n相交 C.若 / /m , n ,则 / /m n D.若 / /m , / /n ,则 / /m n 5.把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台,则小圆锥和圆台的高之比为 ( ) A.1 B. 2 1 C. 2 D. 2 1 6.已知 ,a b均为正实数, 1 2a b ,则 5 a b 的最大值为 ( ) A. 5 5 2 B.3 5 C. 3 2 5 D. 3 2 5 7.曲线 sin( 1)y x 与 2cos 2y x 在 , )(0x 内有 3 个交点,则 可能的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.已知抛物线 022 ppyxC: 的焦点到 2 1 y 的距离为 1,M 是抛物线C上的动点, M 到 2 1 y 的距离与 MP 之和的最小值为 1,则点 P的轨迹围成的面积是 ( ) A. 4 3 3 B. 8 3 C. 4 3 3 D. 4 2 二、多项选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分. 9. 已知复数 1z a bi , 2 ,a bi a bz R R ,且 0b ,则以下四个命题正确的是( ) A. 1 2 Rz z B. 1 2z z 为纯虚数 C. 1 2z z 为纯虚数 D. 1 2 z z 为虚数 10. 已知双曲线C: 2 2 2 2 1( 0, 0)a x y a b b 的离心率为 e,焦距为 2c,直线 y kx 与双曲 线C交于 A B、 两点,点 A位于第一象限,过点 A作 x轴的垂线,垂足为 N,点 F 为双 曲线的左焦点,则 ( ) A.若 AF BF ,则 2AB c B.若 3k ,则 2e C.若 2e ,则 2 AF AN D. 2AF AN a 11. 已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1, E F、 是棱 1CC BC、 的中点,动点 P满足 1AP AB AD AA ,其中 , , 0,1 ,则下列命题正确的是 ( ) A.若 2 , 0 ,则 1 1PD B AB 面 B.若 ,则 1D P与 1 1AC 所成角的取值范围为 6 , 2 C.若 1PD DEF面∥ ,则 2 2 0 D.若 1PD PF ,则 1,3 非选择题部分 三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分. 12.在 5G 联盟考试成绩中,从某班随机抽取8名同学的数学成绩,分数从低到高为:70,77,90, 101,115,119,138,149,则第 70 百分位数为 . 13.已知椭圆 2 2 2 2 1 0 x y a b a b 的左焦点为 ,0F c ,直线 x t 与椭圆交于点M 、N , FMN 的周长最大值为 212024 c c ,则椭圆离心率的最大值为 . 14. 已知正四面体 BCDA 的棱长为 6,E是棱 AB的中点,F 是棱CD上一动点,若P在 AF 上,使得 EP与平面 ACD所成的角为 3 ,则线段CP的长度的最小值是 . 3 四、解答题:(共 5大题,共 77分,其中第 15题 13分,第 16题、第 17题每题 15分,第 18题、第 19题每题 17分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤). 15. 在 ABC 中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b, c, 且 sin cos sin cos 3 cos 0c C B c B C a C , ( )求角C的大小; ( )已知 7c , 15ab ,求 a. 16. 已知O为坐标原点,直线 1 1 0m x y m 过定点 A,设圆C的半径为 2,圆心 在直线 : 2 0l x y 上. ( )若圆心C也在直线 2 5y x 上,求过点 A与圆C相切的直线方程; ( )若圆C上存在点M ,使得 OA OM ,求圆心C的横坐标的取值范围. 17. 如图,等腰直角三角形 ABC中, 2 ACB ,D是 AC中点,E、F 分别是 BA、BC边 上的动点,且 //EF AC,将 BEF 沿 EF 折起,将点 B折至点 P的位置,得到四棱锥 P ACFE . ( )求证: EF PC ; ( )若 2 3 BE BA ,二面角P EF C 是直二面角,求平面PEF与平面PAC夹角的余弦值; ( )当 2BC 时,是否存在这样的点 F,使得二面角 P EF C 为 3 ,且直线 PD与平 面 ACFE所成角为 4 ,若存在,求出CF 的长,若不存在,请说明理由. 4 18.已知 O 为坐标原点,椭圆 E : 2 2 2 2 1 0 x y a b a b 的左焦点为 1,0F ,且经过点 22, 5 5 M ,过点 F的直线 l与椭圆 E相交于 A B、 两点,且 A B、 在 y轴的同侧. ( )求椭圆 E的标准方程; ( )O为 ABC 的重心,直线 AC BC、 分别交 y轴于 P Q、 两点,记 PQC 和 AOB 的面 积分别为 1 2S S, ,求 1 2 S S 的取值范围. 19. 若存在 0x 满足 0 0( )f f x x ,且 0 0( )f x x ,则称 0x 为函数 ( )f x 的次不动点. 已知函数 12 , 2 12 2 , 2 ax x f x a ax x , a为常数且 0a . ( )当 1a 时,判断 2 3 是否为函数 f x 的次不动点,并说明理由; ( )已知 f x 有两个次不动点 1 2,x x , ①求 a的取值范围; ②若对任意 x R , 3f f x f f x ,且 3 1 2 x , 1 1, ,P x f f x 2 2 3, , , 0Q x f f x R x ,求 PQR 的面积的取值范围.2024学年第一学期浙江G5联盟期中联考 高二年级数学学科 答案 命题人:丽水中学 卢巧梅,赵凯菲 湖州中学 沈潮海 一、选择题: 题号 10 5 1 8 7 11 答案 AB ABD B C D A , C (第11题有选C则得6分,未选C则得0分!) 三、填空题: 12. 119 203 13. 14. 21-2 四、解答题:(共5大题,共77分,其中第15题13分,第16题、第17题每题15分,第 18题、第19题每题17分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. 【解析】(I)csinCcosB+csinBcosC+3acosC=0 即csin(B+C)+3acosC=0, .......................... 即csi...................1分 由csinA=asinC得: asine-....................5分 .sinC+3cosC-o, 2π .Ce(0.x),:C= 3 : ....................... (II)c2=a”+b?-2abcosC 三=fa+..)》.................. 'c-7,ab-15 '.a+b-8 由①......或....................分.. 16.【解析】(I)由题可知A(1.0). ...........分.. [y--x+2 由{ $y=2x+5 得圆心C(-1.3). :圆C的半径为2 '圆C的....为..........4.........分 当直线斜率不存在时,此时直线方程为x三1,与圆C相切,符合题意;....4分 当直线斜率存在时,设所求圆C的切线方程为y=k(x-1). .## 2k+3 { .=- 72. ..切线方程为y=一 12 综上所述,所求圆C的切线方程为x=1或y-- (II)·圆C的圆心在直线/:y=-x+2上,所以,设圆心C为(a,-a+2). 则圆C的....-.-)-.-..)...........:.分 又:OA=OM=1 .设M为(x.y),则x②}+v2}=1,设为圆D. .................. 所以点M应该既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点; ·2-1a+(-a+2)<2+1 ........................ .1<2a2-4a+4<9 由2a?-4a+3>0,得aER. 42+14 2 2 2+14 t<a 2 . ......................... )2 17.【详解】(I)AC1BC.AC//EF. .EF ... . ... . .F. . . ...........分 又:PFoFC=F.PF,FCC平面PFC 。 .-EF.......................分 又:·PC一平面PFC. .EF1PC (II)因为二面角P-EF-C是直二面角 D 所以平面PEF1平面EFC,平面PEFO平面EFC=EF,PF1EF,PF$C平面PEF. PF1平面EFC. 以FE,FC,FP分别为×,V,2轴建立空间直角坐标系,设AC=3. P(0.0. 2). C(0.1. 0).E(2.0. 0). 4(3.1.0)CP=(0.-1. 2). CA=(3.0. 0).......6分 易得平面PEF法向量为i=(0.1.0) .......................... 设平面PAC法向量为=(x.y,2 [mi.Cp--y+2z-0 ,令..-1. 得y=22.i.0. 所以m=(0.2.1)......8分 mi.CA-3x=0 平面PEF与平面PAC夹角为6 125 coso= i lx+4x1 ................1.. (III)分别以FE、FC所在直线分别为x轴轴;过F做BC的垂线为z轴,如图所 示建立空间直角坐标系,令CF=t, #-#_)-# 则C(0,z,0),A(2,t,0):D(1.1.0): ..........1... 设平面ACFE的法向量为i=(0.0.1). D ##2 _ 、2. ..............1..... ##}1)#20# ##6# ##6# 化简得t?= 所以(= 所以存CF= 3 ............. 3 18.【解析.-'.-.1.-.-.................1分 .a?终5.-..................4.. 二圆的标准方程为: x=my-1 #由{。 .得: (.4....5....1.-......7.分 8m 则+_4.):_45 -16 -20m+5 ...分. 4m+5 3.PClloClsin .ACB 3PC,loC AC:BC ..........1.. 3x2 3(+)} (-×)(×-x)(2x+x)(x+2x) 3(x+)} 3 .................. $(×+×)#}+ 2+ (+)} -20m{+5 x×4m{+5 (#+2) (4m2+5 _## :0< --1 ....................分 (+)4 #4}) 19.【解析】(I)当a=1时,/(x)= #-2×#2 ....................分 因为##-,但#-3 ......... 所以/f(/f(x)三x只有一个解x=0,又f(0)=0,故0不是次不动点........6分 # 当a-时,有()一{ 2 1 _<x 4a-#' 2a(1-2a)+4a2x.- 4a 4a?-4a2x,x4 4a-1 4a 所以f(/(x)=x有四个解0.2a2a4^{} “1+4a'1+2a'1+4a2}' #(0)-.)-2#144)4#14)4 2a 4a} 故只有- -是f(x)的次不动点。 ..................1.分 1+4a{1+4a} 综上所述,所求a的取值范围为a> 有f(/f(x)= 1 4a-1 4a 4a-1 4a-4ax.x> 4a 2a 4a2 所以x.= ,2= 1+4a 1+4a} .....13分 函数/(()的在增.14增4 通减, 4a 为### 所以#2404)-44#- ..............分 以5(a)-(,- #- ..........分