6.2.2 离散型随机变量的分布列 课件-2024-2025学年高二上学期北师大版（2019）选择性必修第一册

§2 离散型随机变量 及其分布列 概率是描述随机事件发生可能性大小的度量,如在掷一枚骰子的古典概型中,关心事件“出现1点”的概率,在描述新生儿性别的概型中,关心事件“新生儿是女孩”的概率,…这些不同概率模型中所提及的事件有什么共同特点?是否可以建立一个统一的概率模型来刻画这些随机事件? 情境导入 一般地,一个试验如果满足下列条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不只一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果; 这种试验就是一个随机试验,为了方便起见,也简称试验. 1.“随机试验”的概念 一般地,设A,B是非空的数集,如果使对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作： y=f(x),x∈A 随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？ 2.函数的概念 2 离散型随机变量及其分布列 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列. 课标要求 1.通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习, 培养数学抽象的素养． 2.借助分布列的求法,培养数学运算的素养. 素养要求 求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题,类似函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验. 探究点1 离散型随机变量 探究导学 有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系. 任意抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数,可能出现的结果共有6个,其样本空间为{掷出点数i,i=1,2,…,6},可简记为{1,2,3,4,5,6}.但是,还有一些试验的样本空间不是用数值而是用属性刻画的.例如,抛掷一枚均匀的硬币观察其结果,其样本空间是{正面,反面},如果引入变量X,对应于试验的两个结果,将出现正面和反面时的X值分别规定为1和0,这样,样本点就和数值对应起来.随着试验结果的确定,X的取值也就确定了. 有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的 需要为每个样本点指定一个数值. 例如,随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即 在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,ξ,η等来表示. 抽象概括 例1:已知在10件产品中有2件不合格品.试验E：从这10件产品中 任取3件,观察不合格品的件数. (1)写出该随机现象可能出现的结果； (2)试用随机变量来描述上述结果. 例题精讲 解:(1)依题意知这10件产品中有2件不合格品,8件合格品. 因此,从10件产晶中任取3件,所有可能出现的结果是:“没有不合格品”“恰有1件不合格品”“恰有2件不合格品”. (2)令随机变量X表示取出的3件产品中的不合格品的件数,则X所有可能的取值为0,1,2,对应着任取3件产品所有可能的结果.即 {X=0}表示“没有不合格品”； {X=l}表示“恰有1件不合格品”； {X=2}表示“恰有2件不合格品”. 例2 连续抛掷一枚均匀的硬币2次,用X表示这2次抛掷中出现正面 的次数,则X是 一个随机变量.分别说明下列集合所代表的随机事件： (1){X=0}； (2) {X=l}； (3) {X≤1}； (4) {X>0}. 解:(1){X=0}表示使得随机变量对应于0的那些结果组成的事件,即2次都是出现反面.所以{X=0}表示“2次都是出现反面”. (2){X=1}表示“恰有1次出现正面”. (3){X<1}表示“至多1次出现正面 (4){X>0}表示“至少1次岀现正面”. 随机变量的特点 随机变量的特点 可以用数字表示 试验之前可以判断其可能出现的所有值 在试验之前不可能确定取何值 P197练 习 1.用随机变量来描述下列随机现象可能的结果: (1)连续抛掷一枚均匀的硬币3次,出现正面的次数; (2)一个口袋中装有除颜色外完全相同的8个红球和3个黄球,任意摸出两球,摸到 黄球的个数. 2.用X表示 10 次射击中命中目标的次数,分别说明下列集合所代表的随机事件: (1){X=8}; (2){1<X≤9}; (3){X>1}; (4){X<1}. 3.同时抛掷两枚均匀的骰子,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ,则{ξ>4}表示的随机事件是( ). B.第一枚掷出5点,第二枚掷出1点 A.第一枚掷出6点,第二枚掷出2点 D.第一枚掷出6点,第二枚掷出1点 C.第一枚掷出1点,第二枚掷出6点 课堂练习 探究点2 离散型随机变量的分布列 知道了上述两点,抛掷一枚均匀的骰子掷出点数的规律也就弄明白了 .我们也常将上式列成表： 取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. 若离散型随机变量X的取值为x1,x2…,xn,…,随机变量X取xi的概率为Pi(i=1,2,…,n,…),记作P(X=xi)=Pi(i=1,2,…,n,…) ① ①式也可以列成表,如表 xi x1 x2 … xn … P(X=xi) p1 p2 … pn … 抽象概括 随机变量X的分布列完全描述了随机现象的规律:了解了随机变量X的分布列,就了解了这个随机变量的所有可能取值及取各个值的概率 例3:篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球一次得分的分布列. 解:用随机变量X表示每次罚球所得的分值.根据题意,X的可能取值为1,0,且取这两个值的概率分别为0.7,0.3,因此所求的分布列如表： X 1 0 P 0.7 0.3 若在某个试验中,每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功〃和“失败, 每次“成功”的概率均为p,每次“失败”的概率均为1-p,则称这样的试验为伯努利试验. 如果随机变量X的分布列如表： X 1 0 P p q 其中0<p<1,q=l-p,那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0-1分布或伯努利分布).例3中篮球运动员每次罚球所得的分值服从p=0.7的两点分布.两点分布不仅是最简单的,也是最重要的概率分布模型,在实际生活中有着广泛的应用. 抽象概括 例4:连续抛掷一枚均匀的骰子两次,用X表示掷出的点数之和,试求X的 分布列. 解:我们用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点数,j表示第二次掷出的点数.例如,(3,4)表示第一次掷出的点数为3,第二次掷岀的点数为4.于是,连续抛掷一枚 均匀的骰子两次,共有36种结果,结果如表6-6： 例题精讲 例5:一袋中装有6个完全相同的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现从中 随机取出3个球,用X表示取出球的最大编号,求X的分布列. 1.随机变量与函数的关系 相同点 随机变量和函数都是一种映射. 区别 随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射. 联系 随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域. 课堂小结 2.离散型随机变量的特征 (1)可用数值表示. (2)试验之前可以判断其出现的所有值. (3)在试验之前不能确定取何值. (4)试验结果能一一列出. 3.在利用分布列的性质解题时的注意点 (1)X=xi的各个取值所表示的事件是互斥的; (2)不仅要注意 ,而且要注意0≤p<l,i=1,2,…,n 4.求离散型随机变量分布列的步骤 1).明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义； 2).利用概率的有关知识,求出随机变量每个取值的概率； 3).按规范形式写出分布列. P201练 习 1.① 某座大桥一天经过的车辆数为X; ②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X; ③ 一天中某时刻的温度为X; ④ 一射手对目标进行射击,命中得1分,未命中得0分,用X表示射手在一次射击中的得分.上述问题中的X是离散型随机变量的是( ). A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ P201习题 6-2 A组 1.袋中有除颜色外完全相同的红球6个和白球5个,从袋中每次任意不放回地取出一个球,直到取出的球是白球为止.设随机变量X表示所需要的取球次数,则X的可能取值为( ). A. 1,2,…,6 B. 1,2,…,7 C. 1,2,…,11 D. 1,2,3,… 2.同时抛掷两枚均匀的骰子,设X表示掷出的点数之和,则{X=4)表示的随机试验结果是( ). A.一枚掷出3点,一枚掷出1点 B.两枚都掷出2点 C.两枚都掷出4点 D.一枚掷出3点,一枚掷出1点或两枚都掷出2点 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 a 0.29 0.22 5.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试. (1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率; (2)设ξ表示选出的3名同学中男生的人数,求ξ的分布列. 6.在一个箱子里装有编号为1,2,3,4,5的完全一样的5个球,现从中同时取出2个球,设X表示取出球的最大编号,求X的分布列. 3.一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱,工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装人了一箱,为找出该箱中的二等品,需要对该箱中的产品逐一取出进行测试 (1)求前两次取出的都是二等品的概率; (2)求第二次取出的是二等品的概率; (3)用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取出的件数,求ξ的分布列. $$