6.3.2 离散型随机变量的方差课件-2024-2025学年高二上学期北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2 离散型随机变量的方差 均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,但有时两个随机变量的均值相同,其取值却存在较大的差异.如何来研究这种差异呢? 情境导入 1.离散型随机变量的数学期望 2.数学期望的性质 E(aX+b)=aE(X)+b X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 温故知新 3.2 离散型随机变量的方差 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法,会利用公式求它们的方差. 课标要求 1.通过离散型随机变量的方差的学习,体会数学抽象的素养． 2.助方差解决实际问题,提升数学运算的素养. 素养要求 问题1 有两批灯泡,其平均寿命都是1000 h,仅由这一指标还不能判断这两批灯泡质量的好坏.事实上,虽然两批灯泡的平均寿命相当,但有可能其中一批灯泡大部分的寿命集中在950 h〜1 050 h；而另一批灯泡有可能一部分寿命很长,能达到1500 h,另一部分寿命很短,只能达到500 h左右.因此,为了判断灯泡质量的好坏,还需要进一步考察灯泡寿命X与其均值EX的偏离程度.若偏离程度小,则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大,则灯泡寿命的稳定性比较差. 探究点1 离散型随机变量的方差 探究导学 设有A,B两种不同类型的灯泡,通过抽样,获得它们的“寿命”分别为X,Y(单位:h). 已知X,Y的分布列如表1、表2： 根据X,Y的分布列计算可得EX=EY=1000 h,也就是这两种灯泡的平均寿命都是1000 h. 两个均值相等 进一步观察,我们可以发现,A类型的灯泡寿命介于950 h〜1050 h, B类型的灯泡寿命介于700 h〜1300 h,直观上看,A类型的灯泡寿命X与其均值的偏离程度要小一些. 思考 怎样定量刻画随机变量的离散程度？ (1).样本的离散程度是用哪个量刻画的？ 样本方差 (2).能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢？ 随机变量X的方差 设离散型随机变量X 的概率分布为： 则(xi－EX)2描述了而(i = 1,2,...,n)相对于均值EX的偏离程度,而 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 抽象概括 例5 随机抛掷一枚均匀的骰子,求掷出的点数X的方差和标准差(结果精确到0. 01). 解 掷出点数X的分布列如表： 例6 甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,设ξ,η分别表示 甲、乙两人所加工出的次品件数,且ξ,和η的分布列分别如表1、表2： 试比较这两名工人谁的技术水平更高. 说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同,可以认为他们的技术水平相当. 离散型随机变量X加上一个常数,方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数,方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量X加上一个常数b,仅仅使X的值产生一个平移,不改变X与其均值的离散程度,方差保持不变,即D(X+b)= D(X) 而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍,即 D(aX)=a2D(X) 因此,D(aX+b)=a2D(X) 探究点2 离散型随机变量方差的性质 课堂小结 3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤： ①理解X的意义,写出X可能取的全部值; ②求X取各个值的概率,写出分布列； ③根据分布列,由期望的定义求出E(X)； ④根据方差、标准差的定义求出D(X)、σ(x) P209练习 1.设随机变量X服从参数为p的两点分布,求DX. 2.已知随机变量X的分布列如下表: 求 DX 和σx. X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 课堂练习 习题6-3 A组 1.若随机变量ξ的分布列如下表,则EX的值为: 2.已知X表示抛掷两枚均匀骰子掷出的点数之和,求X的均值. X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x X乙 28 29 30 31 32 P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13 X甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 3.有甲、乙两种棉花,从中各抽取等量的样品进行检验,结果如下: 其中X表示纤维长度(单位:mm),根据纤维长度的均值和方差比较甲、乙两种棉花的质量. 4.设进人某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进人商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (3)设ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列及均值. P210 B组 1.在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张,求该顾客获得的奖品总价值ξ的分布列和均值Eξ. 2.A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员是A1,A2,A3, B队队员是B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负的概率如下表: 现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0分,设η,η分别表示A队、B队 最后所得总分.求:(1)ξ,η的分布列; (2)Eη,Eη. $$