6.3.2 离散型随机变量的方差 课件-2024-2025学年高二上学期北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2 离散型随机变量的方差 以前学习数据分析的内容：包括平均数 和方差。反映数据的平均水平和离散程度。 平均水平 离散程度 数据分析 平均数 方差 随机变量 期望 方差 接下来我们研究随机变量的方差 引入： 1.离散型随机变量的数学期望 2.数学期望的性质 E(aX+b)=aE(X)+b 温故知新 设有A,B两种不同类型的灯泡,通过抽样,获得它们的“寿命”分别为X,Y(单位:h).已知X,Y的分布列如表1、表2，如果你是批发商，你会选哪种类型的灯泡？ 探究点1 离散型随机变量的方差 思考：只根据均值无法判断这两种灯泡的质量。怎样刻画随机变量的离散程度？ 随机变量X的方差 设离散型随机变量X 的概率分布为： 则(xi－EX)2描述了 (i = 1,2,...,n)相对于均值EX的偏离程度,而 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 抽象概括 知识梳理 方差：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝_______________________________________________ ＝______________为随机变量X的_____，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的_______，记为σ(X). (x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn 方差 标准差 注意：一般地，随机变量的方差是非负常数. 　　练习：(多选)下列说法正确的是 A.离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 B.若a是常数， 则D(a)＝0 C.离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度 D.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度， 　方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小 √ 随机变量的方差越小，随机变量越稳定.所以A错误. √ √ 例5 随机抛掷一枚均匀的骰子,求掷出的点数X的方差和标准差(结果精确到0. 01). 解 掷出点数X的分布列如表： 例6 甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,设ξ,η分别表示 甲、乙两人所加工出的次品件数,且ξ,和η的分布列分别如表1、表2： 试比较这两名工人谁的技术水平更高. 说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同,可以认为他们的技术水平相当. 求离散型随机变量方差的步骤 法一：(1)理解随机变量X的意义，写出X的所有取值. (2)求出X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)计算E(X). (5)计算D(X). 反思感悟 法二：DX=EX2-(EX)2 0 1 4 P 0 1 4 P 例6 请用法二计算 　　1.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ). 练一练 这3张卡片上的数字之和为ξ，ξ的可能取值为6,9,12. ∴ξ的分布列为 ∴ξ的分布列为 2.有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 4800 5600 6400 7200 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X1/元 4000 5600 7200 8800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇情况，你愿意选择哪家单位？ 练一练 因为EX1=EX2,DX1<DX2,所以两家公司月平均工资相等，但甲公司不同 职位工资相对集中，乙单位相对分散。如果你希望不同职位的工资 差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一 些，就选择乙公司。 思考：（1)离散型随机变量X加上一个常数,方差会有怎样变化？(2)离散型随机变量X乘以一个常数,方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量X加上一个常数b,仅仅使X的值产生一个平移,不改变X与其均值的离散程度,方差保持不变,即D(X+b)= D(X) 而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍,即 D(aX)=a2D(X) 因此,D(aX+b)=a2D(X) 探究点2 离散型随机变量方差的性质 课堂小结 9 P209练习 1.设随机变量X服从参数为p的两点分布,求DX. 2.已知随机变量X的分布列如下表: 求 DX 和σx. X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 课堂练习 习题6-3 A组 1.若随机变量ξ的分布列如下表,则EX的值为: 2.已知X表示抛掷两枚均匀骰子掷出的点数之和,求X的均值. X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x X乙 28 29 30 31 32 P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13 X甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 3.有甲、乙两种棉花,从中各抽取等量的样品进行检验,结果如下: 其中X表示纤维长度(单位:mm),根据纤维长度的均值和方差比较甲、乙两种棉花的质量. 4.设进人某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进人商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (3)设ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列及均值. P210 B组 1.在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张,求该顾客获得的奖品总价值ξ的分布列和均值Eξ. 2.A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员是A1,A2,A3, B队队员是B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负的概率如下表: 现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0分,设η,η分别表示A队、B队 最后所得总分.求:(1)ξ,η的分布列; (2)Eη,Eη. $$