导数与函数的单调性课件-2025届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习 第16讲 导数与函数的单调性 1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 复习目标 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 函数的单调性与导数 导数到单调性 单调递增 在区间上，若，则 在这 个区间上单调_______ 单调递减 在区间上，若，则 在这 个区间上单调_______ 单调性到导数 单调递减 若函数在区间 上单调递减， 则 _____ 单调递减 若函数在区间 上单调递增， 则 _____ “函数在区间上的导数大（小）于0”是“在区间 上单 调递增（减）”的_______条件 递增 递减 充分 3 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］ 函数 的单调递增区间是__________. [解析] 由,解得,故的单调递增区间是 . 4 2.［教材改编］ 比较大小: ___，；___, . [解析] 设，,则， 由，得 ，由，得， 则在上单调递减，在 上单调递增， 故，故,. 设, , 则,所以函数在上单调递增, 所以 ,所以, . 5 3.［教材改编］ 已知是定义在 上的可导函数， 函数的图象如图所示，则 的单调递减 区间是__________. [解析] 因为当时,,所以当 时, ,所以的单调递减区间是 . 6 题组二 常错题 ◆ 索引：弄错可导函数在某区间上单调时导数满足的条件致误;求单调区间时忽略 定义域;讨论函数单调性时分类标准有误. 4.若函数在上单调递增，则 的取值范围是_______. [解析] 方法一：由，得或， 函数 的单调递增区间为， 函数在 上单调递增， ，,又， . 7 方法二：，依题意知对任意恒成立， 即 对任意恒成立， ，，， 又 ， . 8 5.函数 的单调递增区间为__________. [解析] 由,得,即函数的定义域为. 易知 , 令,可得,结合,得,解得 , 所以函数的单调递增区间为 . 9 6.讨论函数在上的单调性时,对参数 应分 _________________________三种情况讨论. ，， [解析] 因为,所以对应分,, 三种情况讨论. 10 探究点一 不含参函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. （1） 求函数 的单调递减区间. 解： 由题可知,的定义域为 , ,令,得 ， 故函数的单调递减区间为 . ［思路点拨］（1）首先根据题意求出,再根据求得 的单调递减 区间. 11 （2） 求函数, 的单调区间. 解： 由题知, 因为当时，，当 时，， 所以当时，，当 时， ， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为 . ［思路点拨］（2）求导后结合三角函数知识可得结果. 12 （3） 求函数 的单调递增区间. 解： 由题意,函数的定义域为 , 且.易知,令 , 则,由,得, 可得当时, ，当时,， 所以在上单调递减,在 上单调递增, 所以,即, 所以的单调递增区间为 . ［思路点拨］（3）求出函数 的导函数，令 ，利用 的单调性得到，即得 的单调递增区间. 13 [总结反思] 确定函数 单调区间的步骤: （1）确定函数 的定义域. （2）求 . （3）解不等式 ,解集在定义域内的部分为单调递增区间;解不等式 ,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 14 变式题（1） 函数 的单调递减区间为( ) D A. B. C. D. [解析] ，， 由得 , 的单调递减区间为 ,故选D. 15 （2） 函数 的单调递增区间为_____________. [解析] 因为,所以， 令 ，解得， 所以的单调递增区间为 . 16 （3） 求函数的单调区间，其中 是自然对数 的底数. 解：的定义域为， . 令，则 ， 因为，所以 恒成立， 所以函数在上单调递增，又， 所以当时， ，，函数 单调递减， 当时，，，函数 单调递增. 综上，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 . 17 探究点二 讨论含参函数的单调性 例2（1） [2023·济宁三模] 已知函数 ，讨 论函数 的单调性. ［思路点拨］（1）求导得，对 和1的大小关系进行分类讨论， 分析导数的符号变化，由此可得出函数 的单调递增区间和单调递减区间. 18 解：因为，所以函数 的定义域为， . 因为，所以由，得或 . ①当，即时，对任意的恒成立，且 不恒为零， 此时，函数的单调递增区间为 ，无单调递减区间； ②当，即时，由得或， 由 得，此时，函数的单调递增区间为， ， 单调递减区间为 ； 19 ③当，即时，由得或， 由 得，此时，函数的单调递增区间为， ， 单调递减区间为 . 综上所述，当时，函数的单调递增区间为 ，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 ； 当时，函数的单调递增区间为， ， 单调递减区间为 . （2） 已知函数， ，其 中是自然对数的底数，讨论函数 的单调性. ［思路点拨］（2）求的定义域，再求导，分，和三种 情况讨论函数 的单调性. 21 解 的定义域为， , 当时，令，解得, . ①若，则， 当时，， ，则，函数单调递增， 当时，， ，则，函数单调递增， 当时，， ，则，函数 单调递减. ②若，则，当时，， ， 当时，， ， 当时，，函数在 上单调递增. 22 ③若，则， 当时，，，则 ，函数单调递增， 当时，，，则 ，函数单调递增， 当时，，，则 ，函数单调递减. 综上所述，当时，函数在， 上单调递增， 在上单调递减； 当时，函数在 上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在 上单调递减. [总结反思] （1）利用导数讨论含参函数单调性的关键是确定导数的符号，对于含有参数的 导数符号判定问题,应就参数的范围讨论导数大于（或小于）零的不等式的解. （2）所有求解和讨论都必须在函数的定义域内. 24 变式题 讨论下列函数的单调性. （1） 函数 . 解：的定义域为，. 当 时，因为，所以恒成立，此时在 上单调递减； 当时，，令，得 ， 则当时，，在 上单调递增， 当时，，在 上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在 上单调递增，在 上单调递减. 25 （2） 函数， . 解 . ①当时，因为，所以在上恒成立， 所以在 上单调递增； ②当时，令，得, 由，得，则 在上单调递增， 由，得，则在 上单调递减. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在 上单调递减，在 上单调递增. 26 探究点三 已知函数单调性确定参数的取值范围 例3 已知函数 . （1） 若函数在区间上单调递增，求 的取值范围； 解：，则 ， 函数在区间上单调递增，等价于对任意 ， 恒成立，可得对任意 恒成立. 设，可知的图象开口向上，对称轴方程为 ， ，，解得，故的取值范围为 . ［思路点拨］（1）求导，分析可得对任意 恒成立，根据 恒成立问题结合二次函数的性质分析求解； 27 （2） 若函数在区间上存在单调递减区间，求 的取值范围 解：由（1）可得， 函数在区间 上存在单调递减区间， 等价于存在，使得成立， 可得存在 ，使得成立. 由（1）知 的图象开口向上，对称轴方程为， ，，解得，则的取值范围为 . ［思路点拨］（2）分析可得存在 ，使得 成立，根据存在 性问题结合二次函数的性质分析求解； 28 （3） 若函数在区间上不单调，求 的取值范围. 解：由（1）可得，函数在区间 上不单调， 等价于存在，使得， 可得存在 ，使得 成立. 由（1）知的图象开口向上，对称轴方程为， ,，，解得， 则的取值范围为 . ［思路点拨］（3）分析可得存在，使得 成立，根据零点 问题结合二次函数的性质分析求解. 29 [总结反思] （1）在区间上单调递增（减）,只要满足在区间 上恒 成立即可.如果能够分离参数,则分离参数后可转化为参数值与函数最值之间的关系. （2）二次函数的值在区间 上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图象的对 称轴与区间的相对位置,一般分 在区间左侧、内部、右侧三类进行讨论. 30 变式题（1） [2023·新课标Ⅱ卷] 已知函数在区间 单调 递增，则 的最小值为( ) C A. B. C. D. [解析] 由题可知在区间上恒成立， 即 对任意恒成立. 令，可得 ， 所以在区间上单调递增，所以， 故 ，所以，所以的最小值为 .故选C. 31 （2） 若函数在区间上单调，则实数 的取值 范围是______________________. 或 [解析] ， 令，得，令 ，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 . 因为函数在区间上单调， 所以或 ，解得或 . 32 探究点四 利用函数的单调性比较大小或解不等式 例4（1） （多选题）已知函数f（x）=ex+e-x+x2，则满足 的整数 的值可以是( ) BCD A. B.0 C.1 D.2 [解析] 由题意得的定义域为，且， 故 为偶函数.， 当时，，当时， ， 故在上单调递增，在上单调递减. 由 ，得，得， 即 ，解得，故选 . ［思路点拨］（1）由函数的单调性与奇偶性将原不等式转化为常规不等式后再求解. 33 （2） 设,, ，则( ) C A. B. C. D. [解析] 设,，则， 令 ，解得，当时，， 当时， ，故在上单调递增，在上单调递减. 因为 ，， ，且 ，所以 .故选C. ［思路点拨］（2）构造函数 ，利用导数判断其单调性，再结合对应 的函数值，可得答案. 34 [总结反思] 利用导数比较大小或解不等式,常常需要把比较大小或求解不等式的问题转化为利 用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或解不等式. 35 变式题（1） 已知函数，则不等式 的 解集是( ) B A. B. C. D. [解析] 因为， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以在上单调递增，而且. 由 ，得， 则，解得 .故选B. 36 （2） （多选题） 已知 , 均为锐角,且 ,则一定有 ( ) CD A. B. C. D. [解析] 由 ,得 , 令,,则,在 上单调递增. , 均为锐角,, , ,, 即 , .故选 . 37 探究点五 构造法解决与 共存不等式问题 例5（1） [2023·长春外国语学校期末] 设是定义在 上的函数，其 导函数为，满足，若，， ， 则( ) A A. B. C. D. [解析] 满足，令，则 ， 所以在上单调递减，所以， 即 ，所以 .故选A. ［思路点拨］（1）设，结合已知条件得到在 上单调递减， 从而比较，，的大小. 38 （2） 已知定义在上的函数的导函数为，且 , ，则不等式 的解集为( ) B A. B. C. D. [解析] 令,， ， ， 在 上单调递减.又，， 不等式 即为， ，故选B. ［思路点拨］（2）构造函数 ，结合已知条件可得 在上单调递减，不等式可转化为 ，根 据 的单调性可得答案. 39 [总结反思] 对于条件中同时含和 的不等式问题，其求解的基本步骤是： （1）对条件不等式变形； （2）构造新的函数 ； （3）利用导数研究 的单调性； （4）根据单调性，解不等式. 40 变式题（1） 已知函数的导函数为，对任意 ，都有 成立，则( ) C A. B. C. D. [解析] 依题意，，则， 设 ，则， 所以在上单调递减，所以 ， 即,则 .故选C. 41 （2） 已知定义在上的函数的导函数为，若 ，且满 足，则不等式 的解集为_________. [解析] 构造函数， 因为 ， 所以在上单调递增. 因为，所以 ， 则可化为，即， 又在 上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为 . 42 提升习题 43 【备选理由】例1考查导函数的图象与原函数图象的关系,从图象角度认识导数的 符号与函数单调性的关系;例2考查含参函数的单调性问题,需要对参数进行分类讨 论;例3考查根据函数的单调性求参数的取值范围,一般是通过参变分离转化为恒成 立问题,但当函数比较复杂时，需要构造新函数，正向分类讨论，具有较强的综合 性;例4考查根据函数的单调性求参数的取值范围；例5考查构造法解决 与 共存不等式问题，解题的关键是根据题意构造函数，求导后判断函数的单调 性，从而利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题. 44 例1 ［配例1使用］ （多选题）设函数 在定义域内可导， 的图象如图所示，则下列不可能是导函数 的 图象的是( ) ABC A. B. C. D. [解析] 由题图可知，当时，函数单调递增， 所以导函数 的值不为负数，故A，C不可能是导函数的图象； 当时，函数 先增、后减、再增，所以导函数 的值先正、后负、再正， 故B不可能是导函数的图象； D可能是导函数的图象.故选 . 45 例2 ［配例2使用］ 已知函数 . （1） 当时，求曲线在点 处的切线方程； 解：由 ， 得 . 当时，, , 则曲线在点处的切线方程为， 即 . 46 （2） 讨论 的单调性. 解：由（1）知， . ①当时，， 所以当时，, 单调递增， 当时，, 单调递减. ②当时，由，得, . 若，则 ， 所以当时，,在, 上单调递增， 当时，,在 上单调递减. 47 若，则,,在 上单调递增. 若，则 , 所以当时，,在, 上单调递增， 当时，,在 上单调递减. 综上可得，当时，在上单调递增，在 上单调递减； 当时，在,上单调递增，在 上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当时，在,上单调递增，在 上单调递减. 例3 ［配例3使用］ [2023·全国乙卷] 已知函数 . （1） 当时，求曲线在点 处的切线方程； 解：当时，,，且 ， 则 , 据此可得, , 所以曲线在点处的切线方程为 , 即 . 49 （2） 若函数在上单调递增，求 的取值范围. 解：由函数的解析式可得 且 ， 因为在上单调递增，所以在 上恒成立. 令，则 ， 令，， 则原问题等价于 在 上恒成立. 易知 ， 当时，,因为， 所以，在 上单调递减， 50 此时，不符合题意，故 . 令，，则 . 当，即时，因为，所以， 故, 在 上单调递增， 即在 上单调递增， 所以，则在上单调递增， 所以 ，符合题意. 当时，由，得，可得 ， 当时，,则在上单调递减， 即 在 上单调递减， 因为，所以当时，，此时 单调递减， 因为，所以当时， ，不符合题意. 综上可知，实数的取值范围是 . 例4 ［配例3使用］ [2024·沧州模拟] 已知函数 的定义域 为，任取，（其中 ）都有 成立，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 53 [解析] 因为,，所以由 ， 可得，又，所以函数在 上单调递增. 函数， 则在 上恒成立， 所以对任意恒成立.设函数 ，, 则，在 上单调递减， 所以，所以，所以实数的取值范围为 .故选A. 54 例5 ［配例5使用］ [2024·重庆一中模拟] 已知函数是奇函数 的 导函数，且满足当时， ，则不等式 的解集为( ) D A. B. C. D. [解析] 令函数，则 ， 所以函数在上单调递减， 因为，所以当 时，，当时，. 因为当时，，当 时，， 所以当时，. 55 因为 ，所以， 所以当时，， 又为奇函数，所以当 时， ， 所以不等式可化为或 解得 ，所以不等式的解集为 ，故选D. 56 $$