导数的概念及其意义、导数的运算课件-2025届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习 第15讲 导数的概念及其意义、 导数的运算 1.导数的概念及其意义 （1）通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的 实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想. （2）体会极限思想. （3）通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.导数运算 （1）能根据导数的定义求函数,,,,, 的导数. （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数 的导数;能求简单的复合函数(限于形如 的导数. （3）会使用导数公式表. 复习目标 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.变化率与导数 （1） 平均变化率： 概念 对于函数,把比值 ________________叫作函数 从 到 的_______变化率 几何意 义 函数在区间 上对应的图象的两端点连线的_______ 平均 斜率 3 （2） 函数在 处的导数： 概念 在 处 ，我们称常数为函数 在 _________处的导数，记作或 几何 意义 就是曲线在点处（也称在 处）的切线的 _______，其切线方程是_______________________________ 物理 意义 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率 斜率 4 （3）导函数 当时,是一个唯一确定的数.这样，当变化时,就是 的函数， 我们称为的导函数（简称导数） 的导函数有时也记作 ，即 . 5 2.导数的运算 原函数 导函数 特例或推广 基本初 等函数 的导数 公式 常函数 （ 为常数） 幂函数 ________,且 三角函 数 _______， ___________ 偶（奇）函数的导数是奇 （偶）函数，周期函数的导 数是周期函数 指数函 数 ________，且 对数函 数 _ _____，且 ， 6 原函数 导函数 特例或推广 四则运 算法则 加减法 ________________ 乘法 _______________________________ 除法 复合函数求导 复合函数的导数与函数, 的导数之间具有关系__________,这个关系用语言表达就是“对 的导数等于对的导数与对 的导数的乘积” 续表 7 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］ 已知函数，则在 上的平均变化率为____. 24 [解析] ,,所以平均变化率为 . 8 2.［教材改编］ 如果某物体的运动方程为的单位为 ， 的单位 为 ，那么该物体在 末的瞬时速度为____________. [解析] ， 该物体在末的瞬时速度为 . 9 3.［教材改编］ 曲线在点 处的切线方程为______________. [解析] 由题得， 切线的斜率 ， 则切线方程为，即 . 10 题组二 常错题 ◆ 索引：求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆与 ;忽视 与 的区别. 4.已知函数，则 __________. [解析] 方法一： . 方法二： . 11 5.已知，则 _____. [解析] ，令，可得， 所以 ，则 . 12 6.已知，则_____________， _____________. [解析] ，所以 . 13 探究点一 导数的运算 例1 求下列函数的导数： （1） ； 解： . （2） ； 解： . ［思路点拨］ 根据基本初等函数的导数公式和四则运算法则以及复合函数求导的方法求导. 14 （4） . 解： ， . （3） ； 解： . 15 [总结反思] （1）对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解 析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度;（2）利用公式求 导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 16 变式题 求下列函数的导数. （1） ； 解： . （2） . 解： . 17 探究点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程 例2（1） [2023·南京模拟] 函数的图象在点 处的切线 方程为( ) B A. B. C. D. [解析] 由，得， ， 又， 函数的图象在点 处的切线方程为， 即 .故选B. ［思路点拨］（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线的方程. 18 （2） [2022·新高考全国Ⅱ卷] 曲线 经过坐标原点的两条切线方程分别 为_ ______，__________. ［思路点拨］（2）分和两种情况讨论,当时设切点为 , 求出函数的导函数,即可求出切线的斜率,再根据切线过坐标原点和点列方程求出 ,即可求出切线方程,当 时，由曲线的对称性可得切线方程. 19 [解析] 当时，. 设过坐标原点的直线与曲线 相切于点, 由,得,所以，解得,所以 , 则该切线的方程为,即. 由曲线 的对称性，知另一条切线的方程为 . 20 [总结反思] （1）曲线在点处的切线方程为 ; （2）注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别. 21 变式题（1） 已知函数，则曲线在点 处的切线 方程为( ) B A. B. C. D. [解析] ，则切点为,所以 ， 所以切线方程为，即 .故选B. 22 （2） 过点作曲线 的切线，则切线方程为( ) C A. B. C. D. [解析] 由,得，设切点为 ， 则切线的斜率，则切线方程为. 由切线过点 ，可得， 解得 ,故切线方程为， 整理得 .故选C. 23 角度2 求切点坐标 例3 已知，若曲线在点 处的切线经 过坐标原点，则 _ ________. 1或 ［思路点拨］ 根据导数的几何意义及切线过原点写出切线方程，由切线过切点 列方程可得 的值. 24 [解析] 由题意，，则切线的斜率 ， 因为切线过原点，所以切线方程为. 又切线经过切点 ，所以， 整理可得 ，即， 则 ，可得， 即，故或 . 25 [总结反思] （1）（ 为切线斜率）的解即为切点的横坐标; （2）求解曲线的切线 问题的关键是求切点的横坐标,在求切点横坐标时应注意其取值范围. 26 变式题 已知曲线在点处的切线与直线 垂直， 则点 的横坐标为( ) B A.1 B. C.2 D. [解析] 设，点 ，则 ， 由曲线在点处的切线与直线垂直可得， 即 ，又， ,故选B. 27 角度3 求参数的值或范围 例4（1） [2023·济南二模] 已知直线与曲线相切，则实数 的值为_____. [解析] 设切点为，因为，所以 ， 所以切线的斜率，即， 又切点在曲线 上， 所以，则， . ［思路点拨］（1）设切点为，利用切点既在切线上又在曲线上求 和的值. 28 （2） [2022·新高考全国Ⅰ卷] 若曲线 有两条过坐标原点的切线， 则 的取值范围是__________________. 或 ［思路点拨］（2）设切点为 ,利用导数的几何意义,结合切线经过 坐标原点得到关于的方程,根据此方程应有两个相异的非零实数根,求得 的取值 范围即可. 29 [解析] 设切点为,则, 由 ，知， 所以关于的方程 有两个相异的非零实数根， 即关于的方程 有两个相异的非零实数根， 即关于的方程有两个相异的非零实数根， 所以且 , 解得或 . 30 [总结反思] （1）利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切 线方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组）,进而求出参数 的值或取值范围.（2）注意曲线上点的横坐标的取值范围. 31 变式题（1） 若曲线的一条切线的方程为，则实数 的 值为( ) A A. B. C. D. [解析] 因为，所以， 设曲线与直线 相切于点， 则由导数的几何意义可得，解得 ， 则.又因为点在直线 上， 所以，则 ,故选A. 32 （2） 曲线（为常数）在点处的切线与曲线 只有一个 交点，则 _________. 或 [解析] 对于函数，，所以 ， 所以切线方程为. 由 消去整理得， 又直线与曲线 只有一个交点， 所以关于的方程 有两个相等的实数根， 即，解得或 . 33 探究点三 两曲线的公切线 例5（1） 已知直线是 的图象与 的图象的公切线，则 _______. ［思路点拨］（1）设出切点坐标，求解切线方程，利用两函数图象的切线方程相同，转化求解即可. 34 [解析] 因为函数，所以， 设点是 的图象与公切线的切点， 则公切线的方程为 ，即. 因为函数,所以 ，令，解得， 可得,可知 的图象与公切线的切点坐标为， 则公切线的方程为 ，即, 所以,整理得，解得或 . 当时，公切线的方程为,此时，不符合题意，舍去； 当 时，公切线的方程为，故,. 综上所述， . 35 （2） 若曲线与曲线为常数， 有公切线，则实 数 的取值范围是___________________. ［思路点拨］（2）先利用导数结合切点分别求出两曲线的切线方程，然后根据为公切线，找到两切点坐标之间的关系，从而构造出关于一个切点横坐标的函数，转化为值域问题求解. 36 [解析] 设,, 则 ，. 设公切线与曲线 相切的切点为，， 与曲线相切的切点为，，则 ， 又,, . 设，则， 在上单调递减，，， 即 的取值范围为 . 37 [总结反思] 既与曲线相切又与曲线 相切的直线叫两曲线的公切线,这类问题 的解法步骤是: （1）设直线与曲线相切于点,与曲线 相切于点 ; （2）切线方程为,即 ,同 理切线方程也为,即 ; （3）由解出, ,从而得出切线方程. 38 变式题（1） [2023·长沙周南中学二模] 若斜率为1的直线 与曲线 和圆都相切，则实数 的值为( ) B A. 或2 B.0或2 C.0 D.2 [解析] 设直线与曲线的切点为， 由 ，得， 则，，即切点为， 所以直线 的方程为. 又直线与圆相切，所以， 解得或 .故选B. 39 （2） 已知函数,，曲线在点 处 的切线也是曲线的切线,则 的取值范围为____________. [解析] ， 则曲线在点 处的切线方程为， 整理得 ，设该切线与曲线相切于点， 因为，所以 ，则切线方程为， 整理得，则 可得 . 40 令， 则 ， 令，解得或， 令，得或 ， 又，，所以的值域为， 故 的取值范围为 . 提升习题 42 【备选理由】例1考查导数的运算与函数的性质;例2考查导数的几何意义,涉及两 条切线的切点坐标，是对原例3只求一条切线的切点坐标问题的有效补充;例3考查 两曲线的公切线问题. 43 例1 ［配例1使用］ [2023·汕头二模] 给出定义：设是函数 的导函数， 是函数的导函数，若方程有实数解，则称 为 函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数 ， 则 ( ) B A. B. C. D. 44 [解析] 由题得,则， 令，可得 ，又， 所以的图象的对称中心为 ， 则， 所以 .故选B. 45 例2 ［配例3使用］ 过点作函数 的图象的两条切线，切点坐标 分别为，，则 ( ) D A. B. C. D.2 [解析] 由题意得， 过点作函数 的图象的切线，设切点坐标为， 则，即 ， 因为，所以，则. 由题意可知, 为的两个根，故 ，故选D. 46 例3 ［配例5使用］ [2023·哈尔滨三中五模] 已知函数 ， ，若直线为和的图象的公切线，则 的值为 ( ) B A. B. C. D. [解析] 设直线与的图象相切于点 ， 与的图象相切于点. 因为，所以 ， 由，可得 ， 则， 47 即点，将点 的坐标代入直线的方程， 得，可得 . 因为，所以， 由 ，可得，则， 即点，将点 的坐标代入直线的方程， 得，可得 . 联立①②解得，所以 ，故选B. 48 $$